ፍላስተን ትንተና (Vector Analysis) ክፍል 6፤ የፍላስተኖች ስሌ ብዜሮች (Part 6: Triple Products of Vectors)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 6) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም በክፍሎች 1 እስከ 4) ላይ፣ በተለይም ደግሞ በክፍል 4 እና 5 እንዲሁም ራቤጎኖች (Quadrilaterls) እና ማትገጾች (Polyhedrons) በሚሉት ጦማሮች ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት የቀደሙትን ክፍሎችና ጦማሮች ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ወርከፍ (Size)፣ ስፋት (Area) እና ጽሐር (Volume)

ወርድ፣ ርዝመት እና ከፍታ ከሚሉት ወርከፍ (size) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ወርከፍ (size) ማለት መጠን፣ ትልቅነት፣ ግዝፈት ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወረከፈ ፣ ውርክፍ (ውርኩፍ)፣ ወርካፊ፣ ውርከፋ እያለ ይሄዳል። ወረከፈ ማለት ወርከፍን ለካ ወይም ገለጸ እንደ ማለት ሲሆን፣ ውርክፍ ማለት ደግሞ የተወረከፈ ማለት ነው።
ጽሕርት (ማለትም ድስት) ከሚለው የግእዝ ቃል ጽሐር (volume) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ጽሐር ማለት ይዘት እንደ ማለት ነው፣ የሉል ጽሐር (volume of a sphere)፣ የቶቢን ጽሐር (volume of a cone) እንዲሉ።

size = ወርከፍ
area = ስፋት
volume = ጽሐር

ካልቶና (Square)

ራቤጎን (quadrilateral) ማለት አራት ጎኖች (four sides) እንዲሁም አራት ዘዌወች (four angles) ያሉት ማትጎን (polygon) ማለት ነው።
ካልቶራብ (square shape) ማለት አራቱም ጎኖቹ እኩል እንዲሁም አራቱም ዘዌወቹ እኩል የሆኑ (ማለትም አራቱም ዘዌወቹ እያንዳንዳቸው 90^o የሆኑ) ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው። ካልቶራብ (square) የሚለው ቃል የተገኘው ክልዔቱ (ማለትም ሁለት፣ ሁለተኛ) ከሚለው የግእዝ ቃል እና ራቤጎን (quadrilateral) ከሚለው ነው።
ካልቶራብ (square shape) ባጭሩ ካልቶና (square) ይባላል።

ሩንጌራብ (Rectangle)

ሩንጌራብ (rectangle) ማለት አራቱም ዘዌወቹ እኩል የሆኑ (ማለትም አራቱም ዘዌወቹ እያንዳንዳቸው 90^o የሆኑ) ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
ሩንጌራብ (rectangle) የሚለው ቃል የተገኘው ሩንጋ (perpendicular) እና ራቤጎን (quadrilateral) ከሚሉት ነው።
የሩንጌራብ (rectangle) አራቱም ዘዌወቹ እያንዳንዳቸው 90^o ስለሆኑ፣ ቢያንስ ቢያንስ የሩንጌራቡ ተቃራኒ ጎኖች (opposite sides) ርዝመቶች እኩል መሆን አለባቸው።

ሩንጌራብ (rectangle) ማለት አራቱም ዘዌወቹ ሩንጋ ዘዌወች (right angles) የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
ካልቶና (square) ደግሞ አራቱም ዘዌወቹ ሩንጋ ዘዌወች የሆኑ፣ እንዲሁም አራቱም ጎኖቹ እኩል የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ነው።
ስለዚህም ካልቶና (square) አራቱም ጎኖቹ እኩል የሆኑ ሩንጌራብ (rectangle) ነው ማለት ነው።
በሌላ አባባል ካልቶና ልዩ ሩንጌራብ (special rectangle) ነው ማለት ነው።
አሁንም በሌላ አባባል ሩንጌራብ ሲባል ካልቶናንም ያጠቃላል ወይም ይጨምራል ማለት ነው።

አቻራብ (Rhombus)

አቻራብ (rhombus) ማለት አራቱም ጎኖቹ እኩል የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
አቻራብ (rhombus) የሚለው ቃል የተገኘው አቻ (ማለትም እኩል)እና ራቤጎን (quadrilateral) ከሚሉት ነው።
ያቻራብ (rhombus) አራቱም ጎኖቹ እኩል ስለሆኑ፣ ቢያንስ ቢያንስ ያቻራቡ ተቃራኒ ጎኖች (opposite sides) ኩልኩት (parallel) መሆን አለባቸው።

አቻራብ (rhombus) ማለት አራቱም ጎኖቹ እኩል የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
ካልቶና (square) ደግሞ አራቱም ጎኖቹ እኩል የሆኑ እንዲሁም አራቱም ዘዌወቹ ሩንጋ ዘዌወች (right angles) የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ነው።
ስለዚህም ካልቶና (square) አራቱም ዘዌወቹ እኩል የሆኑ አቻራብ (rhombus) ነው ማለት ነው።
በሌላ አባባል ካልቶና ልዩ አቻራብ (special rhombus) ነው ማለት ነው።
አሁንም በሌላ አባባል አቻራብ ሲባል ካልቶናንም ያጠቃላል ወይም ይጨምራል ማለት ነው።

ኩልኬራብ (Parallelogram)

ኩልኬራብ (parallelogram) ማለት ተቃራኒ ጎኖቹ (opposite sides) ኩልኩት (parallel) እንዲሁም እኩል (equal) የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
ኩልኬራብ (parallelogram) የሚለው ቃል የተገኘው ኩልኩት (parallel) እና ራቤጎን (quadrilateral) ከሚሉት ቃሎች ነው።

ኩልኬራብ (parallelogram) ማለት ተቃራኒ ጎኖቹ ኩልኩት (parallel) እና እኩል (equal) የሆኑ ራቤጎን (quadrilateral) ማለት ነው።
ካልቶና (square)፣ ሩንጌራብ (rectangle) እና አቻራብ (rhombus) ደግሞ ተቃራኒ ጎኖቻቸው ኩልኩት (parallel) እና እኩል (equal) የሆኑ ራቤጎኖች (quadrilaterals) ናቸው።
ስለዚህም ካልቶና፣ ሩንጌራብ እና አቻራብ ልዩ ኩልኬራቦች (special parallelograms) ናቸው ማለት ነው።
በሌላ አባባል ኩልኬራብ ሲባል ካልቶናን፣ ሩንጌራብን እና አቻራብን ያጠቃላል ወይም ይጨምራል ማለት ነው።

የኩልኬራብ ሲማክ (Base) እና ከፍታ (Height)

ሲማክ (base) ማለት መሠረት እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ሰመከ (ማለትም ተጠጋ፣ ተደገፈ፣ ጥግ ያዘ፣ ድጋፍ ያዘ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።
የኩልኬራብ ሲማክ (base of parallelogram) ማለት በታች በኩል የሚገኘው የኩልኬራቡ ጎን (side) ማለት ነው።
በኩልኬራብ ሲማከ (base) እና ከሲማኩ በተቃራኒ በሚገኘው የኩልኬራቡ ጎን (side) መካከል ያለው ሩንጋ ርርቀት (perpendicular distance) የኩልኬራቡ ሩንጋ ከፍታ (perpendicular height) ወይም ባጭሩ ክፍታ (height) ይባላል።

የኩልኬራብ ስፋት

ኩልኬራብ (parallelogram) ስንል ሩንጌራብን (rectangle)፣ አቻራብን (rhombus) እና ካልቶናን (square) ያጠቃልላል።
ስለዚህም የኩልኬራብን ስፋት (area of parallelogram) የሚሰጥ ቀመር (formula)፣ የሩንጌራብን፣ ያቻራብን እንዲሁም የካልቶናን ስፋት ይሰጣል ማለት ነው።
የማናችውም ኩልኬራብ ስፋት (area of parallelogram) በኩልኬራቡ ሲማክ (base of parallelogram) እና ከፍታ (height of triangle) አንጻር በሚከተለው ቀመር (formula) ይሰጣል።

ኩልኬሳድ (Parallelepiped)

ኩልኬሳድ (parallelepiped) ማለት ስድስት ገጾች (six faces) ያሉት፣ ሁሉም ገጾቹ ኩልኬራቦች (parallelograms) የሆኑ፣ ተቃራኒ ገጾቹ ደግሞ ተካካይ (congruent) እና ኩልኩት (parallel) የሆኑ፣ ዳባ ሱርፊክ (solid figure) ማለትም ወርድ፣ ርዝመትና ከፍታ ያለው ሦስት ሚሃዊ ሱርፊክ (three-dimensional figure) ማለት ነው።
ኩልኬሳድ (parallelepiped) የሚለው ቃል የተገኘው ኩልኩል (parallel) እና ሳዴ (ማለትም ስድስት) ከሚሉት ነው።

የኩልኬሳድ ሲማክ (Base)፣ ዴሪንሳ (Altitude) እና ጽሐር (Volume)

ኩልኬሳድ (parallelipiped) ሲባል ቅርጻቸው ኩልኬራብ (parallelogram) የሆነ ስድስት ገጾች (six faces) አሉት።
ከኩልኬሳድ (parallelipiped) ስድስት ኩልኬራባዊ ገጾች ውስጥ ማናቸውም ገጽ (any face) እንደ ኩልኬሳዱ ሲማክ (base) ሊወሰድ ይችላል።
በኩልኬሳድ ሲማክ (base) እና ለሲማኩ ተቃራኒ (opposite) እና ተካካይ (congruent) በሆነው የኩልኬሳዱ ሌላኛው ገጽ (face) መካከል ያለው ሩንጋ ርርቀት (perpendicular distance) የኩልኬሳዱ ዴሪንሳ (altitude) ይባላል።
ዴሪንሳ (altitude) የሚለው ቃል ከከፍታ (height) ጋር ተመሳሳይነት ያለው ቃል ሲሆን፣ የተገኘውም ዴሪና (ከፍታ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።
የጎን ገጾቹ (lateral faces) ለሲማኩ (bases) ሩንጋ (perpendicular) የሆኑ፣ ማለትም የጎን ገጾቹ ከሲማኩ ጋር 90^o ዘዌ የሚሠሩ ኩልኬሳድ በልዩ ስም ሩንጋ ኩልኬሳድ (right parellelipiped) ይባላል።
የጎን ገጾቹ (lateral faces) ከሲማኩ አንጻር ዘማማ (oblique) የሆኑ ኩልኬሳድ ደግሞ ዘማማ ኩልኬሳድ (oblique parallelipiped) ይባላል።
የማናቸውም ዓይነት ኩልኬሳድ ጽሐር (volume of a parallelepiped) የኩልኬሳዱን ሲማክ ስፋት (base area) በኩልኬሳዱ ከፍታ (height) ወይም ዴሪንሳ (altitude) በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ይገኛል።

ራቤገጽ (Tetrahedron)

ራብዕ ማለትም አራት ከሚለው የግእዝ ቃል እና ገጽ ከሚለው ቃል ራቤገጽ (tetrahedron, quadrahedron) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ራቤገጽ (tetrahedron) ማለት አራት ስሌጎናዊ ገጾች (four triangular faces)፣ ስድስት ቀጤ ጠርዞች (six straight edges) እና አራት ፊጣወች (four vertices) ያሉት ሦስት ሚሃዊ (three dimensional) ቅርጽ (shape) ነው።

ራቤገጽ (tetrahedron) ሲማኩም (base) ገጾቹም (faces) ስሌጎኖች (triangles) የሆኑ የኑቢሳ ልዩ ረገድ (special case of pyramid) ነው። በዚህም ምክኒያት ስሌጎናዊ ኑቢሳ (triangular prism) ይባላል።
ኑቢሳ (pyramid) ማለት ፒራሚድ የሚባለው ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ኑብያ (Nubia) እና ኩይሳ (molehill) ከሚሉት ነው። ባማረኛ ኩይሳ ማለት ምስጥ የሠራው ያፈር ቁልል ማለት ነው። ለተጨማሪ ማብራሪያ ሉሻሎችና ኑቢሳወች (Prisms and Pyramids) የሚለውን ጦማር ይመልከቱ።

የማናቸውም ዓይነት ኑቢሳ ጽሐር (volume of any type of pyramid) የኑቢሳው ሲማክ ስፋት (base area) እና የኑቢሳው ከፍታ (height) ብዜር (product) ማለትም ብዜት አንድ ሦስተኛ (1/3) ነው።
በሌላ አባባል የማናቸውም ዓይነት ኑቢሳ ጽሐር (volume) የኑቢሳውን ሲማክ ስፋት (base area) በኑቢሳው ከፍታ (height) በዝሮ (multiply) ማለትም አባዝቶ በሦስት (3) በመደሸር (divide)ማለትም በማካፈል ይገኛል።

የፍላስተኖች ብዜሮች ዓይነቶች

ፍላስተኖች ሦስት ዓይነት ብዜሮች (multiplications, products) ማለትም ብዜቶች አሏቸው።

ማናችውም ፍላስተን (vector) በማናችውም ሐዝተን (scalar) ሊበዘር (multiplied) ማለት ሊባዛ ይችላል። ይህም ብዜር (multiplication, product) በልዩ ስም የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) ይባላል።
ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ሐዝተን እሴት (scalar value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ። ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ሕዝተን ብዜር (scalar product of vectors) ወይም የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product of vectors) ይባላል።
ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ፍላስተን እሴት (vector value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ። ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ፍላስተን ብዜር (vector product of vectors) ወይም የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product of vectors) ይባላል።

የፍላስተን ብዜር በሐዝተን

ማናቸውም ፍላስተን (vector) በማናቸውም ሐዝተን (scalar) ማለትም በማናቸውም ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ሊበዘር (multiplied) ማለትም ሊባዛ ይችላል። በብዜሩ (multiplication) የሚገኘው ውጤት (result) ደግሞ ከተበዛሪው ፍላስተን ጋር ኩልኩት (parallel) ወይም ኢኩልኩት (antiparallel) የሆነ ሌላ ፍላስተን (another vector) ነው። ለምሳሌ ያህል ፊደል A አንድን ፍላስተን ቢወክል፤

3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።
በሌላ በኩል ደግሞ -3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።

ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)።

ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል ብንል፣
ፊደል α ደግሞ ፍጹም እሴቱ (absolute value) |α| የሆነን ሐዝተን (scalar) ማለት ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ይወክላል ብንል፣
የፍላስተን A እና የሐዝተን α ብዜር (product) ማለትም αA የራሱ ብክረት እና አቅጣጫ ያለው ሌላ ፍላስተን (another vector) ይሆናል።
የፍላስተን αA ብክረት (magnitude) የሚገኘው የፍላስተንን A ብክረት በሐዝተን α ፍጹም እሴት በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው። በሌላ አባባል የፍላስተን αA ብክረት |α| x |A| ነው።
የፍላስተን αA አቅጣጫ (direction) ደግሞ በሐዝተን α ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) መሆን ላይ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል።
1. ሐዝተን α ወንታ (positive) ከሆነ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኩልኩት (parallel) ይሆናል።
1. ሐዝተን α ሉንታ (positive) ከሆነ ደግሞ ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኢኩልኩት (antiparallel) ይሆናል።

የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (Dot Product)

ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| = A የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
ፈደል B ብክረቱ (magnitude) |B| = B የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
ዘዌ θ ደግሞ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) እንበል፣
የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) ማለት እሴቱ ABcosθ የሆነ ሐዝተን (scaler) ነው።
ስለዚህም የፍላስተኖች ሐዝተን ብዜር (dot product) እሴቱ ፍላስተን (vector) ሳይሆን ሐዝተን (scalar) ነው።
የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) በሞከስ (notation) A∙B ይሞከሳል። በዚህም ምክኒያት ሐዝተን ብዜር (scalar product) አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቀው ነጥብ ብዜር (dot product) በመባል ነው።

የኩልኩት፣ ሉንታኩልኩት እና ሩንጋ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

ሁለት ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ያውቴ (same) ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች A እና B እኩል (equal) ከሆኑ፣ አቅጣጫቸው ያውቴ (same) ስለሚሆን፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች A እና B ሉንታኩልኩት (antiparallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ተቃራኒ (opposite) ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 180^o ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 90^o ይሆናል።

የነጥብ ብዜር ምንዝር መልክ (Component Form)

ሁለት ፍላስተኖች A እና B በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሁለቱ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) በሚከተለው የምንዝር መልክ (component form) ሊገለጽ ይችላል።
ይህን ምንዝር መልከ (component form) በመጠቀም ደግሞ፣ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለውን ዘዌ (angle) በቀላሉ ማግኘት ይቻላል።

የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (Cross Product)

ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| = A የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
ፈደል B ብክረቱ (magnitude) |B| = B የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
ዘዌ θ ደግሞ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) እንበል፣
የፍላስተኖች A እና B ፍላስተን ብዜር (vector product) ወይም መስቀለኛ ብዜር (cross product) ማለት በሞከስ (notation) A x B የሚሞከስ ሌላ ፍላስተን (another vector) C ነው።
1. የፍላስተን C ብክረት (magnitude) የሚገኘው የፍላስተኖች A እና B ብክረቶች (ማለትም A እና B) እንዲሁም የዘዌን θ ሳይን (ማለትም sin θ) ባንድነት በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው።
2. የፍላስተን C አቅጣጫ (direction) የሚገኘው ደግሞ በመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ (right-hand rule for cross product) መሠረት ነው።

የኩልኩት፣ ሉንታኩልኩት እና ሩንጋ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር

ሁለት ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ያውቴ (same) ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች A እና B እኩል (equal) ከሆኑ፣ አቅጣጫቸው ያውቴ (same) ስለሚሆን፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች A እና B ሉንታኩልኩት (antiparallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ተቃራኒ (opposite) ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 180^o ይሆናል።
ሁለት ፍላስተኖች ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 90^o ይሆናል።

የመስቀለኛ ብዜር ምንዝር መልክ (Component Form)

ሁለት ፍላስተኖች A እና B በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሁለቱ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) በሚከተለው የምንዝር መልክ (component form) ሊገለጽ ይችላል።
ይህን የመስቀለኛ ብዜርን (cross product) ምንዝር መልከ (component form) የሚሰጠውን ቀመር (formula) ደግሞ የመስቀለኛ ብዜርን (cross product) ሉንታ አስነዋኝ ጠባይ (anticommutative property) እና አስከፋፋይ ጠባይ (distributive property) እንዲሁም የቶካድ ፍላስተኖችን (unit vectors) መስቀለኛ ብዜር ጠባይ በመጠቀም በቀላሉ መረቸግ (derive) ማለትም ማግኘት ይቻላል።

የነጥብ ብዜር እና መስቀለኛ ብዜር ንጽጽር

ላዶ (Adjacent) እና ማዶ (Opposite)

ዶላ (ማለትም ጎረቤት) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ላዶ (adjacent) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ላዶ ማለት ጎረቤት እንደ ማለት ነው።
ላዶ ላይ አፍራሽ አል በመጨመር ደግሞ አልላዶ ወይም ባጭሩ አላዶ (non-adjacent) የሚለውን የላዶ አሉታ እናገኛለን። አላዶ (non-adjacent) ማለት ላዶ ያልሆኑ፣ ማለትም ጎረቤት ያልሆኑ ማለት ነው።
ማዶ (opposite) ማለት በማዶ በኩል የሚገኝ፣ ትይዩ የሆነ ማለት ነው።

adjacent = ላዶ
non-adjacent = አላዶ
opposite = ማዶ

የኩልኬራብ ስፋት በመስቀለኛ ብዜር

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው ያንድ ኩልኬራብ (parallelogram) ላዶ ጎኖቾ (adjacent sides) ማለትም ጉርብት ጎኖች ሁለት ፍላስተኖች A እና B ናቸው እንበል።
በነዚህ ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) ደግሞ θ እንበል።
ከሁለቱ ፍላስተኖች አንዱ (እንበል A) ያለው ብክረት (magnitude) (ማለትም A) የኩልኬራቡ ሲማክ (base) እንደሆነ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።
ይህ ከሆነ ደግሞ የኩልኬራቡ ከፍታ (height) በሌላኛው ፍላስተን ብክረት (ማለትም B ) እና በዘዌ θ አንጻር ሲገለጽ Bsinθ ይሆናል።
ስለዚህም የኩልኬራቡ ስፋት (ማለትም የኩልኬራቡ ሲማክ እና ከፍታ ብዜር) ABsinθ ይሆናል ማለት ነው።
በሌላ አባባል የኩልኬራቡ ስፋት የፍላስተኖች A እና B መስቀለኛ ብዜር (cross product) ብክረት (magnitude) ማለትም |A x B| ነው ማለት ነው።

ምሳሌ፣ ፊጣወቹ (vertices) ነጥቦች (0, 0), (5, 9), (12, 11) እና (7, 2) የሆኑ ኩልኬራብ (parallelogram) ያለውን ስፋት (area) በመስቀለኛ ብዜር (cross product) ዘዴ ፈልግ።

የስሌጎን ስፋት በመስቀለኛ ብዜር

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ ላዶ ጎኖቹ (adjacent sides) ፍላስተኖች A እና B የሆኑ ስሌጎን (triangle) ያለው ስፋት (area) እነዚሁ ፍላስተኖች ላዶ ጎኖቹ የሆኑ ኩልኬራብ (parallelogram) ያለውን ስፋት ግማሽ (one-half) ነው።
ስለዚህም፣ የስሌጎን ስፋት (area of triangle) በመስቀለኛ ብዜር (cross product) አንጻር ሲገለጽ እንደሚከተለው ይሆናል።

ምሳሌ፣ ፊጣወቹ (vertices) ነጥቦች (-3, -1), (3, 5) እና (4, -6) የሆኑ ስሌጎን (triangle) ያለውን ስፋት (area) በመስቀለኛ ብዜር (cross product) ዘዴ ፈልግ።

የፍላስተኖች ስሌ ብዜሮች ዓይነቶች

የሁለት ፍላስተኖች (two vectors) A እና B ነጥብ ብዜር (dot product) ማለትም A∙B ውጤቱ ሐዝተን (scalar) ነው።
የሁለት ፍላስተኖች (two vectors) A እና B መስቀለኛ ብዜር (cross product) ማለትም AxB ውጤቱ ፍላስተን (vector) ነው።
የሁለት ፍላስተኖችን ነጥብ ብዜር (dot product) እና መስቀለኛ ብዜር (cross product) ከሌላ ሦስተኛ ፍላስተን ጋር በማጣመር ሁለት ዓይነት ስሌ ብዜሮችን (triple products) እናገኛለን።
የመጀመርያው ዓይነት ስሌ ብዜር A∙(B x C) የሚለው ነው። የዚህ ስሌ ብዜር ውጤት (result) ሐዝተን (scalar) ስለሆነ፣ ስሌ ብዜሩ ሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) በመባል ይታወቃል።
ሁለተኛው ዓይነት ስሌ ብዜር A x (B x C) የሚለው ነው። የዚህ ስሌ ብዜር ውጤት (result) ፍላስተን (vector) ስለሆነ፣ ስሌ ብዜሩ ፍላስተን ስሌ ብዜር (vector triple product) በመባል ይታወቃል።
ነጥብ ብዜር (dot product) እና መስቀለኛ ብዜር (cross product) የሚበየኑት (defined) ማለት ትርጉም ያላቸው ለፍላስተኖች (vectors) ብቻ ስለሆነ፣ በመልክ (A∙B) x C የሚጻፍ ስሌ ብዜር (triple product) ኢብይን (undefined) ነው፣ ማለትም ትርጉም የለውም። ለዚህ ምክኒያቱ ደግሞ A∙B ውጤቱ ሐዝተን (scalar) ስለሆነና፣ የሐዝተን (scalar) እና የፍላስተን (vector) መስቀለኛ ብዜር (cross product) ስለሌለ፣ ማለትም የሐዝተን እና የፍላስተን መስቀለኛ ብዜር ኢብይን (undefined) ስለሆነ ነው።

ሐዝተን ስሌ ብዜር (Scalar Triple Product)

ሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A, B, እና C በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሦስቱ ፍላስተኖች ሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) በሚከተለው የሦስት በሦስት (3 by 3) ገበቃ (matrix) ወሳጊ (determinant) ይሰጣል።

ይህን የሦስት ፍላስተኖችን (three vectors) የሐዝተን ስሌ ብዜር ቀመር (scalar triple product formula) የሁለት ፍላስተኖችን (two vectors) የነጥብ ብዜር ቀመር (dot product formula) እና የመስቀለኛ ብዜር ቀመር (cross product formula) በመጠቀም በሚከተለው መንገድ በቀላሉ መረቸግ (derive) ማለትም ማግኘት ይቻላል።

የሐዝተን ስሌ ብዜር ኡደታዊ ጠባይ

በሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) ላይ የተበዛሪወቹን ፍላስተኖች (vectors) ስድረት (order) ሳይቀይሩ ፍላስተኖቹን ማዘዋወር የብዜሩን እሴት አይለውጠውም።
ይህም የሐዝተን ስሌ ብዜር ጠባይ ኡደታዊ ጠባይ (cyclic property) ይባላል።

የሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) እሴት (vector) የሦስት በሦስት (3 by 3) ገበቃ (matrix) ወሳጊ (determinant) ነው።
ባማናችወም ገበቃ (matrix) ላይ ደግሞ የገበቃውን ማናችውንም ሁለት ረድፎች (any two rows) ወይም ማናችውንም ሁለት ዐምዶች (any two columns) ቦታቸውን ማቀያየር (interchange)፣ የሚቀይረው የገበቃውን ወሳጊ (determinant) ፍጹም እሴት (absolute value) ሳይሆን ምልከቱን (sign) ብቻ ነው፣ ማለትም ወንታ (positive) የነበረውን ሉንታ (negative)፣ ሉንታ (negative) የነበረውን ደግሞ ወንታ (positive) ማድረግ ብቻ ነው።
ይህን ሐቅ (fact) በመጠቀም የሐዝተን ስሌ ብዜርን (sclar triple product) ኡደታዊ ጠባይ (cyclic property) እንደሚከተለው ማረጋገጥ ይቻላል።

የሐዝተን ስሌ ብዜር ቂሳሲናዊ ትርጓሜ (Geometrical Interpretation)

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው የሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A, B እና C ሐዝተን ስሌ ብዜር (cross product) ፍጹም እሴት (absolute value) ማለትም |A∙(B x C)| ሦስቱ ፍላስተኖች የሚመሠርቱት ኩልኬሳድ (parallelepiped) ያለውን ጽሐር (volume) ይሰጣል።

የራቤገጽ ጽሐር (Volume of Tetrahedron)

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው በሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A, B እና C የሚመሠረት ራቤገጽ (tetrahedron) ያለው ጽሐር (volume) የፍላስተኖቹ ሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) ፍጹም እሴት (absolute value) ማለትም |A∙(B x C)| አንድ ስድስተኛ (1/6) ነው።

ወልሰቴ (Coplanar) እና ወልቄጠማ (Collinear) ፍላስተኖች

የሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A B, እና C ሐዝተን ስሌ ብዜር (vector triple product) ማለትም A ∙ (B x C) ፍጹም እሴት (absolute value) ማለትም |A ∙ (B x C)| ሦስቱ ፍላስተኖች የሚመሠርቱት ኩልካፊክ (parallelepiped) ያለውን ጽሐር (volume) እንደሚሰጥ አይተናል።
ስለዚህም የ A ∙ (B x C) እሴት (value) ዳዶ (zero = 0) ነው ማለት ሦስቱ ፍላስተኖች ኩልካፊክ (parallelepiped) የማይመሠርቱ ማለትም ባንድ ሰቴ (one plane) ላይ የሚውሉ ፍላስተኖች ናቸው ማለት ነው።
ባንድ ሰቴ ላይ የሚውሉ ፍላስተኖች ወልሰቴ ፍላስተኖች (coplanar vectors) ይባላሉ።
ስለዚህም ሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A B, እና C ወልሰቴ (coplanar)የሚሆኑት A ∙ (B x C) = 0 ከሆነ ብቻ ነው ማለት ።

ወልሰቴ ፍላስተኖች (coplanar vectors) ኩልኩልት (parallel)፣ ሉንታኩልኩት (antiparallel) ወይም አልኩልኩት (non-parallel) ሊሆኑ ይችላሉ።
ኩልኩት (parallel) ወይም ሉንታኩልኩት (antiparallel) የሆኑ ፍላስተኖች ባንድ ቀጤ መስመር (one straight line) ላይ ስለሚውሉ ወልቄጠማ ፍላስተኖች (collinear vectors) ይባላሉ።

ፍላስተን ስሌ ብዜር (Vector Triple Product)

የሦስት ፍላስተኖች (three vectors) A B, እና C ፍላስተን ስሌ ብዜር (vector triple product) ማለትም A x (B x C) በሚከተለው ባክ ሳብ ደንብ (bac-cab rule) በሚባል ቀመር (formula) ይሰጣል።
ሦስቱን ፍላስተኖች A B, እና C በምንዝር መልክ (component form) በመጻፍ እና የመስቀለኛ ብዜርን ምንዝር መልክ (component form of cross product) በመጠቀም የባክ ሳብ ደንብን (bac-cab rule) ትክክለኛነት ማረጋገጥ ይቻላል፣ ምንም እንኳን የማረጋገጡ ሂደት የተንዛዛና አሰልች ቢሆንም።

ምሳሌ፤ የሚከተሉትን ፍላስትኖች (vectors) A, B እና C ሐዝተን ስሌ ብዜር (scalar triple product) A∙(B x C) እና ፍላስተን ስሌ ብዜር (vector triple product) A x (B x C) ፈልግ።

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com