ፍላስተን ትንተና (Vector Analysis) ክፍል 5፤ የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (Part 5: Cross Product of Vectors)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 5) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም በክፍሎች 1 እስከ 4) ላይ፣ በተለይም ደግሞ በክፍል 4 ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት የቀደሙትን ክፍሎች ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ጠሽር (Gear) እና ሹርማር (Screw)

1. ጥርሳም ሿሪ ከሚለው ጠሽር (gear) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ጠሸረ (to grear)፣ ጥሽር (ጥሹር) [geared]፣ ጠሻሪ (gearing)፣ ጥሸራ (gearing) እያለ ይሄዳል። 
2. ሿሪ ሚስማር ከሚለው ሹርማር (screw) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ሾረመረ (to screw)፣ ሹርምር (screwed)፣ ሾርማሪ (screwing)፣ ሹርመራ (screwing) እያለ ይሄዳል።
3. ቀኝ ጥምል ሹርማር (right-threaded screw) ማለት በሰዓትያ (clockwise) አቅጣጫ ሲያዙሩት የሚጠብቅ ሹርማር (screw) ማለት ነው። ግራ ጥምል ሹርማር (left-threaded screw) ማለት ደግሞ በኢሰዓትያ (anticlockwise, counterclockwise) አቅጣጫ ሲያዙሩት የሚጠብቅ ሹርማር (screw) ማለት ነው።

gear = ጠሽር
gear (verb) = ጠሸረ
screw = ሹርማር
screw (verb) = ሾረመረ
screw driver = ሹርማር ነጅ፣ ሾርማሪ

ኩልኩት (Parallel)፣ ሉንታኩልኩት (Antiparallel) እና አልኩልኩት (Nonparallel) ፍላስተኖች

1. ኮለኮለ (ማለትም ደረደረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ኩልኩት (parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ኮለኮተ (be or make parallel)፣ ኩልኩት፣ ኮልኳቲ (ኮልኳች)፣ ኩልኮታ፣ ኩልኳቴ፣ ኩልኳቶሽ እያለ ይሄዳል።  ኮለኮተ ማለት ኩልኩት ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።
2. ኩልኩት (parallel) ከሚለው ቃል አልኩልኩት (non-parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
3. እንዲሁም ኩልኩት (parallel) እና ሉንታ (negative) ከሚሉት ቃሎች ሉንታኩልኩት (antiparallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።   
4. ያውቴ አቅጣጫ (same direction) ማለትም አንድ ዓይነት አቅጣጫ ያላቸው ፍላስተኖች (vectors) ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ይባላሉ።
5. ተቃራኒ አቅጣጫ (opposite directions) ያላቸው ፍልስተኖች (vectors) ሉንታኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ወይም ኢኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ይባላሉ።
6. ኩልኩት (parallel) ወይም ሉንታኩልኩት (antiparallel) ያልሆኑ ፍላስተኖች (vectors) ደግሞ አልኩልኩት ፍላስተኖች (non-parallel vectors) ይባላሉ። 

ሩንጋ (Perpendicular) እና አልሩንጋ (Non-Perpendicular) ፍላስተኖች

1. ሮጋ (ማለትም ማዕዘን) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ሩንጋ (perpendicular) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረነገ (be or make perpendicular)፣ ርንግ (ርኑግ)፣ ረናጊ፣ ርነጋ፣ ርንገት፣ ርናጌ፣ ርናጎሽ እያለ ይሄዳል።  ረነገ ማለት ሩንጋ አደረገ ወይም ሆነ ማለት ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም። 
2. ሩንጋ ፍላስተኖች (perpendicular vectors) ማለት አቅጥጫቸው በ 90^o የሚለያይ ፍላስተኖች (vectors) ማለት ነው።  
3. ሩንጋ (perpendicular) ያልሆኑ ፍላስተኖች አልሩንጋ ፍላስተኖች (non-perpendicular vectors) ይባላሉ።

ቶካድ ፍላስተኖች   

1. ቶካድ ፍላስተን (unit vector) ማለት ብክረቱ (magnitude) ቶኮ (one = 1) የሆነ ፍላስተን (vector) ማለት ነው። 
2. ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) የሚያገለግሉት አቅጣጫወችን (directions) ለማመልከት ብቻ ነው።  ከዚህ የዘለለ ሌላ ምንም ግልጋሎት የላቸውም። 
3. በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ በወንታ x-ረቲድ (positive x-axis)፣ በወንታ y-ረቲድ (positive y-axis) እና በወንታ z-ረቲድ (positive z-axis) አቅጣጫ የሚያመለክቱ ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) እንደ ቅደምተከተላቸው በወመሎች (symbols)  ወይም  ይወመላሉ (symbolized)።

የፍላስተኖች ብዜሮች ዓይነቶች

ፍላስተኖች ሦስት ዓይነት ብዜሮች (multiplications, products) ማለትም ብዜቶች አሏቸው።

1. ማናችውም ፍላስተን (vector) በማናችውም ሐዝተን (scalar) ሊበዘር (multiplied) ማለት ሊባዛ ይችላል።  ይህም ብዜር (multiplication, product) በልዩ ስም የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) ይባላል።
2. ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ሐዝተን እሴት (scalar value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ።  ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ሕዝተን ብዜር (scalar product of vectors) ወይም የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product of vectors) ይባላል።  አንዳንድ ጊዜ ደግሞ ነጥብ ብዜር (dot product) ውስጣዊ ብዜር (inner product) በመባልም ይታወቃል፣ ምንም እንኳን ውስጣዊ ብዜር (inner product) ሌሎች ዓይነት ብዜሮችን የሚጨምር የበለጠ አጠቃላይ ስያሜ ቢሆንም።   
3. ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ፍላስተን እሴት (vector value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ።  ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ፍላስተን ብዜር (vector product of vectors) ወይም የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product of vectors) ይባላል። አንዳንድ ጊዜ ደግሞ መስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጫዊ ብዜር (outer product) በመባልም ይታወቃል፣ ምንም እንኳን ውጫዊ ብዜር (outer product) ሌሎች ዓይነት ብዜሮችን የሚጨምር የበለጠ አጠቃላይ ስያሜ ቢሆንም።   

የፍላስተን ብዜር በሐዝተን

ማናቸውም ፍላስተን (vector) በማናቸውም ሐዝተን (scalar) ማለትም በማናቸውም ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ሊበዘር (multiplied) ማለትም ሊባዛ ይችላል።  በብዜሩ (multiplication) የሚገኘው ውጤት (result) ደግሞ ከተበዛሪው ፍላስተን ጋር ኩልኩት (parallel) ወይም ኢኩልኩት (antiparallel) የሆነ ሌላ ፍላስተን (another vector) ነው።  ለምሳሌ ያህል ፊደል A አንድን ፍላስተን ቢወክል፤

1. 3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።
2. በሌላ በኩል ደግሞ -3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።

ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)።

1. ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል ብንል፣
2. ፊደል α ደግሞ ፍጹም እሴቱ (absolute value) |α| የሆነን ሐዝተን (scalar) ማለት ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ይወክላል ብንል፣
3. የፍላስተን A እና የሐዝተን α ብዜር (product) ማለትም αA የራሱ ብክረት እና አቅጣጫ ያለው ሌላ ፍላስተን (another vector) ይሆናል። 
4. የፍላስተን αA ብክረት (magnitude) የሚገኘው የፍላስተንን A ብክረት በሐዝተን α ፍጹም እሴት በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው። በሌላ አባባል የፍላስተን αA ብክረት |α| x |A| ነው።
5. የፍላስተን αA አቅጣጫ (direction) ደግሞ በሐዝተን α ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) መሆን ላይ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል። 
   1. ሐዝተን α ወንታ (positive) ከሆነ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኩልኩት (parallel) ይሆናል። 
   1. ሐዝተን α ሉንታ (positive) ከሆነ ደግሞ ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ  (opposite) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኢኩልኩት (antiparallel) ይሆናል። 

የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (Dot Product)

1. ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| = A የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
2. ፈደል B ብክረቱ (magnitude) |B| = B የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
3. ዘዌ θ ደግሞ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) እንበል፣
4. የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) ማለት እሴቱ ABcosθ የሆነ ሐዝተን  (scaler) ነው። 
5. ስለዚህም የፍላስተኖች ሐዝተን ብዜር (dot product) እሴቱ ፍላስተን (vector) ሳይሆን ሐዝተን (scalar) ነው።  
6. የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) በሞከስ (notation) A∙B ይሞከሳል።  በዚህም ምክኒያት ሐዝተን ብዜር (scalar product) አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቀው ነጥብ ብዜር (dot product) በመባል ነው። 

የነጥብ ብዜር ቂሳሲናዊ ትርጓሜ (Geometrical Interpretation) 

የሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) ማለት ያንደኛው ፍላስተን ብክረት (magnitude) እና ሌላኛው ፍላስተን ባንደኛው ፍላስተን አቅጣጫ ያለው ፈገም (projection) ወይም ምንዝር (component) ብዜር (product) ማለት ነው።  ይህም መሆኑ በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል።   

የነጥብ ብዜር ጠባዮች

1. ነጥብ ብዜር (dot product) አስነዋኝ (commutative) ነው።  በሌላ አባባል በሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር ላይ የተበዛሪወቹ ፍላስተኖች ቅደምተከተል ለውጥ አያመጣም። 
2. በተጨማሪ ደግሞ ነጥብ ብዜር በድመራ (addition) ላይ ማስከፋፈል የሚያስችል አስከፋፋይ (distributive) ሁጀማ (operation) ነው። 

የኩልኩት፣ ሉንታኩልኩት እና ሩንጋ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
2. ሁለት ፍላስተኖች A እና B እኩል (equal) ከሆኑ፣ አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ስለሚሆን፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
3. ሁለት ፍላስተኖች A እና B ሉንታኩልኩት (antiparallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ተቃራኒ (opposite)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 180^o ይሆናል።
4. ሁለት ፍላስተኖች ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 90^o ይሆናል።

የቶካድ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. የቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ብክረት (magnitude) ቶኮ (one = 1) ስለሆነ፣ እያንዳንዳቸው ቶካድ ፍላስተኖች ከራሳቸው ጋር ያላቸው ነጥብ ብዜር (dot product) ቶኮ (one = 1) ነው።
2. በተጨማሪ ደግሞ ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ርስበራሳቸው ሩንጋ ስለሆኑ (perpendicular to each other)፣ አንዱ ቶካድ ፍላስተን ከሌሎቹ ቶካድ ፍላስተኖች ጋር ያለው ነጥብ ብዜር (dot product) ዳዶ (zero) ነው።  

የነጥብ ብዜር ምንዝር መልክ

1. ሁለት ፍላስተኖች A እና B በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሁለቱ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) በሚከተለው የምንዝር መልክ (component form) ሊገለጽ ይችላል።   
2. ይህን ምንዝር መልከ (component form) በመጠቀም ደግሞ፣ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለውን ዘዌ (angle) በቀላሉ ማግኘት ይቻላል።

የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (Cross Product)

1. ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| = A የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
2. ፈደል B ብክረቱ (magnitude) |B| = B የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
3. ዘዌ θ ደግሞ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) እንበል፣
4. የፍላስተኖች A እና B ፍላስተን ብዜር (vector product) ወይም  መስቀለኛ ብዜር (cross product) ማለት በሞከስ (notation) A x B የሚሞከስ ሌላ ፍላስተን (another vector) C ነው። 
   • የፍላስተን C ብክረት (magnitude) የሚገኘው የፍላስተኖች A እና B ብክረቶች (ማለትም A እና B) እንዲሁም የዘዌን θ ሳይን (ማለትም sin θ) ባንድነት በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው።
   • የፍላስተን C አቅጣጫ (direction) የሚገኘው ደግሞ በመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ (right-hand rule for cross product) መሠረት ነው።

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ (Right-hand Rule)

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ (right-hand rule for cross product) እንደሚከተለው ይታተታል። 

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ፤ በመስቀለኛ ብዜር C = A x B ላይ የተዘረጉት የቀኝ እጅ ጣቶች ከመጀመርያው ፍላስተን (first vector) A ወደ ሁለተኛው ፍላስተን (second vector) B ሲዞሩ (ሲታጠፉ)፣ አውራ ጣት ደግሞ ወደ C አቅጣጫ ያመለክታል። 

ማሳሰቢያ (Caution)፤  የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብን (right-hand rule for cross product) በምንጠቀምበት ጊዜ

1. ቀኝ እጃችንን መጠቀም እንዳለብን መዘንጋት የለበንም (ማለትም ግራ እጃችንን እንዳንጠቀም መጠንቀቅ አለብን፣ በተለይም ደግሞ ግራኝ ከሆን)
2. ተበዛሪወቹ ፍላስተኖች ከቀኝ እጃችን መዳፍ (palm) ፊትጌ (ማለትም በፊት በኩል) መሆን እንዳለባቸው መዘንጋት የለብንም።
3. የቀኝ እጅ ጣቶች የሚዞሩት ከመጀመርያው ፍላስተን ወደ ሁለተኛው ፍላስተን መሆኑን መዘንጋት የለብንም።   

የቀኝ እጅ ደንብ ሌሎች መልኮች

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ (right-hand rule for cross product) በሚከተሉት ተጨማሪ ሦስት መልኮች ሊገለጽ ይችላል። 

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ፤ በመስቀለኛ ብዜር C = A x B ላይ የቀኝ እጅ አውራ ጣት ወደ መጀመርያው ፍላስተን (first vector) A ፣ የተዘረጉት የቀኝ እጅ ጣቶች ወደ ሁለተኛው ፍላስተን (second vector) B ሲያመለክቱ፣  የቀኝ እጅ መዳፍ ደግሞ ወደ C ያመለክታል። 

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ፤ በመስቀለኛ ብዜር C = A x B ላይ የቀኝ እጅ ጠቋሚ ጣት ወደ መጀመርያው ፍላስተን (first vector) A ፣ መሃል ጣት ወደ ሁለተኛው ፍላስተን (second vector) B ሲያመለክት፣  አውራ ጣት ደግሞ ወደ C ያመለክታል። 

የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብ፤ በመስቀለኛ ብዜር C = A x B ላይ ቀኝ ጥምል ሹርማር (right-threaded screw) ከመጀመርያው ፍላስተን (first vector) A ወደ ሁለተኛው ፍላስተን (second vector) B ሲዞር፣  ሹርማሩ እየጠበቀ በመሄድ ወደ C ያመለክታል። 

የመስቀለኛ ብዜር ሩንጋ ጠባይ

1. የመስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጤት C = A x B ለሁለቱም ተበዛሪ ፍላስተኖች A እና B ሁልጊዜም ሩንጋ (perpendicular) ነው።
2. በሌላ አባባል፣ የመስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጤት C = A x B ሁልጊዜም የሚውለው ሁለቱ ተበዛሪ ፍላስተኖች A እና B ለሚውሉበት የጋራ ሰቴ (plane) ሩንጋ (penpendicular) በሆነ ሰቴ (plane) ላይ ነው።

የመስቀለኛ ብዜር ሉንታ አስነዋኝነት

1. መስቀለኛ ብዜር (cross product) አስነዋኝ (commutative) አይደለም። 
2. በሌላ አባባል በሁለት ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) ላይ የተበዛሪወቹን ፍላስተኖች ቅደምተከተል መለወጥ በብዜሩ እሴት ላይ ለውጥ ያመጣል። 
3. በትክክል ለመናገር ደግሞ በሁለት ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) ላይ የተበዛሪወቹን ፍላስተኖች ቅደምተከተል መለወጥ የብዜሩን ፍላስተን አቅጣጫ ወደ ተቃራኒ አቅጣጫ ይለውጠዋል።
4. በሌላ አባባል የፍላስተን B x A አቅጣጫ የፍላስተንን A x B አቅጣጫ ተቃራኒ ነው።
5. አሁንም በሌላ አባባል ፍላስተን B x A የፍላስተን A x B ሉንታ (negative) ነው።
6. በዚህም ምክኒያት መስቀለኛ ብዜር (cross product) ሉንታ አስነዋኝ (anticommutative) ወይም ኢአስነዋኝ (anticommutative) ነው ይባላል።   

የመስቀለኛ ብዜር ጠባዮች

1. መስቀለኛ ብዜር (cross product) አስነዋኝ (commutative) ሳይሆን ሉንታ አስነዋኝ (Anticommutative) እንደሆነ ተመልክተናል።
2. በተጨማሪ ደግሞ መስቀለኛ ብዜር (cross product) በድመራ (addition) ላይ ማስከፋፈል የሚያስችል አስከፋፋይ (distributive) ሁጀማ (operation) ነው። 

የኩልኩት፣ ሉንታኩልኩት እና ሩንጋ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
2. ሁለት ፍላስተኖች A እና B እኩል (equal) ከሆኑ፣ አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ስለሚሆን፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
3. ሁለት ፍላስተኖች A እና B ሉንታኩልኩት (antiparallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ተቃራኒ (opposite)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 180^o ይሆናል።
4. ሁለት ፍላስተኖች ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 90^o ይሆናል።

የቶካድ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር

1. የቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ብክረት (magnitude) ቶኮ (one = 1) ስለሆና፣ ቶካድ ፍላስተኖች $\hat{i} , \hat {j}, \hat{k}$ ደግሞ ርስበራሳቸው ሩንጋ ስለሆኑ (perpendicular to each other)፣ የቶካድ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጤት ሊሆን የሚችለው ዳዶ (zero = 0) ወይም ሌላ ቶካድ ፍላስተን (another unit vector) ነው። 
2. የርስበርስ መስቀለኛ ብዜር ውጤት ዳዶ (zero = 0) ስለሆነ (ማለትም A x A = 0 ስለሆነ)፣  እያንዳንዳቸው ቶካድ ፍላስተኖች $\hat{i} , \hat{j}, \hat{k}$ ከራሳቸው ጋር ያላቸው መስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጤት ዳዶ (zero = 0) ነው።
3. የመስቀለኛ ብዜር ቀኝ እጅ ደንብን (right-hand rule for cross product) በመጠቀም ደግሞ ከቶካድ ፍላስተኖች $\hat{i} , \hat{j} , \hat{k}$ ውስጥ ማናቸውም ሁለቱ (any two unit vectors) ያላቸው መስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጤት ሦስተኛውን ቶካድ ፍላስተን (the third unit vector) ራሱን (itself) ወይም ሉንታውን (its negative) እንደሆነ በቀላሉ ማየት ይቻላል። 

የመስቀለኛ ብዜር ምንዝር መልክ (Component Form)

1. ሁለት ፍላስተኖች A እና B በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሁለቱ ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) በሚከተለው የምንዝር መልክ (component form) ሊገለጽ ይችላል። 
2. ይህን የመስቀለኛ ብዜርን (cross product) ምንዝር መልከ (component form) የሚሰጠውን ቀመር (formula) ደግሞ የመስቀለኛ ብዜርን (cross product) ሉንታ አስነዋኝ ጠባይ (anticommutative property) እና አስከፋፋይ ጠባይ (distributive property) እንዲሁም የቶካድ ፍላስተኖችን (unit vectors) መስቀለኛ ብዜር ጠባይ በመጠቀም በቀላሉ መረቸግ (derive) ማለትም ማግኘት ይቻላል። 

የመስቀለኛ ብዜር ብክረት በነጥብ ብዜር አንጻር

የማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product) ብክረት (magnitude)፣ በሁለቱ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) እሴት አንጻር በሚከተለው ቀመር (formula) ሊገለጽ ይችላል። 

ይህን ቀመር (formula) በሚከተለው መንገድ በቀላሉ መረቸግ (derive) ማለትም ማግኘት ይቻላል።  

ምሳሌ፤ ለሚከተሉት በምንዝር መልክ (component form) ለተሰጡ ሁለት ፍላስተኖች A እና B የፍላስተኖቹን መስቀለኛ ብዜር (cross product)  C = A x B እና የመስቀለኛውን ብዜር ብክረት (magnitude) ማለትም |C| = |A x B| ፈልግ።  

የነጥብ ብዜር እና መስቀለኛ ብዜር ንጽጽር

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com