ፍላስተን ትንተና (Vector Analysis) ክፍል 4፤ የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (Part 4: Dot Product of Vectors)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 4) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም በክፍሎች 1 እስከ 3) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት የቀደሙትን ክፍሎች ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ምልክት (Sign)፣ ወመል (Symbol) እና ሞከስ (notation)

1. ምልክት (sign) ማለት ለማመልከት የሚያገለግል ማለት ነው፣ የእኩልነት ምልክት (equality sign)፣ የመደመር ምልክት (addition sign)፣ የመቀነስ ምልክት (subtraction sign) እንዲሉ። 
2. ወካይ ምልክት ከሚለው ሐረግ ወመል (symbol) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ወመል (symbol) ከምልክት (sign) ጋር ተመሳሳይነት ያለውና አብዛኛውን ጊዜ የሚተካካ (interchangeable) ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወመለ (symbolize)፣ ውምል (symbolized)፣ ወማሊ (ወማይ) [symbolizer]፣ ውመላ (symbolization) እያለ ይሄዳል።
3. ወመለ (symbolize) ማለት ወመል (symbol) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ውምል (symbolized) ማለት ደግሞ የተወመለ ማለትም ወመል (symbol) የተደረገ ማለት ነው።
4. ሞከስ (notation) ማለት የምልከቶች (signs) ወይም የወመሎች (symbols) ስርካት (system) እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ መኮሰየ (ሞክሸ ሆነ፣ በስም ተመሳሰለ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ሞከሰ፣ ሙክስ፣ ሞካሲ (ሞካሽ)፣ ሙከሳ፣ ሙክሰት፣ ሙካሴ፣ ሙካሶሽ እያለ ሲሄድ፣ የንግሊዛኛ አቻ የለውም። 

sign = ምልክት
symbol = ወመል
symbolize =  ወመለ
notation = ሞከስ፣ ሙከሳ
notation (verb) = ሞከሰ

ገብዲስ (maximum) እና ጨቅሊስ (minimum)

1. ገብዲስ (maximum) ማለት የመጨረሻ ትልቅ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ግብዳ (ማለትም ግዙፍ) ከሚለው ቃል ነው። 
2. እንዲሁም ጨቅሊስ (minimum) ማለት የመጨረሻ ትንሽ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ሙጭቅላ (ማለትም ትንሽ)  ከሚለው ቃል ነው።  
3. የገብዲስ ግስ ሲረባ ገበደሰ (maximize)፣ ግብድስ (maximized)፣ ገብዳሲ (maximizer)፣ ግብደሳ (maximization) እያለ ይሄዳል።
4. የጨቅሊስ ግስ ሲረባ ጨቀለሰ (minimize)፣ ጭቅልስ (minimized)፣ ጨቅላሲ (minimizer)፣ ጭቅለሳ (minimization) እያለ ይሄዳል።

maximum  =  ገብዲስ
maximize = ገበደሰ
maximization = ግብደሳ
minimum = ጨቅሊስ
minimize  = ጨቀለሰ
minimization = ጭቅለሳ

ሃዝተን (Scalar) እና ፍላስተን (Vector)

1. አሐዝ (ማለትም ቁጥር) ከሚለው የግእዝ ቃል ሐዝተን (scalar) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ፍላጻ (ማለትም ቀስት) ከሚለው ያማረኛና የግእዝ ቃል ደግሞ ፍላስተን (vector) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. በጉሲን (physics) እና በሒሳብሲን (mathematics) ውስጥ ሐዝተን (scalar) ማለት ብክረት (magnitude) ማለትም መጠን (amount) ብቻ ያለው አቅጣጫ (direction) ግን የሌለው ሙቀትን (temperature) የመሰለ ነገር ማለት ነው። በሌላ አባባል ሐዝተን ማለት በቁጥር ብቻ የሚገለጽ ነገር ማለት ነው። ስለዚህም ሐዝተን ስንል አንድ የተወሰነ ቁጥር ማለታችን ነው። 
3. በሌላ በኩል ደግሞ ፍላስተን (vector) ማለት ብክረትም (amount) አቅጣጫም (direction) ያለው ነገር ማለት ነው። 
4. ለምሳሌ ያህል ፍልሰት (displacement) አቅጣጫም (direction) ብክረትም (magnitude) ያለው ፍላስተን (vector) ነው። 
5. ፍላስተን (vector) እና ፍልሰት (displacement) እንዳይምታቱብወት።  ፍልሰት የፍላስተን ዓይነት ነው።    

scalar =  ሐዝተን
vector = ፍላስተን
direction of vector =  የፍላስተን አቅጣጫ
magnitude of vector = የፍላስተን ብክረት

ኩልኩት (Parallel)፣ ሉንታኩልኩት (Antiparallel) እና አልኩልኩት (Nonparallel) ፍላስተኖች

1. ኮለኮለ (ማለትም ደረደረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ኩልኩት (parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ኮለኮተ (be or make parallel)፣ ኩልኩት፣ ኮልኳቲ (ኮልኳች)፣ ኩልኮታ፣ ኩልኳቴ፣ ኩልኳቶሽ እያለ ይሄዳል።  ኮለኮተ ማለት ኩልኩት ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።
2. ኩልኩት (parallel) ከሚለው ቃል አልኩልኩት (non-parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
3. እንዲሁም ኩልኩት (parallel) እና ሉንታ (negative) ከሚሉት ቃሎች ሉንታኩልኩት (antiparallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።   
4. ያውቴ አቅጣጫ (same direction) ማለትም አንድ ዓይነት አቅጣጫ ያላቸው ፍላስተኖች (vectors) ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ይባላሉ።
5. ተቃራኒ አቅጣጫ (opposite directions) ያላቸው ፍልስተኖች (vectors) ሉንታኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ወይም ኢኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ይባላሉ።
6. ኩልኩት (parallel) ወይም ሉንታኩልኩት (antiparallel) ያልሆኑ ፍላስተኖች (vectors) ደግሞ አልኩልኩት ፍላስተኖች (non-parallel vectors) ይባላሉ። 

ሩንጋ (Perpendicular) እና አልሩንጋ (Non-Perpendicular) ፍላስተኖች

1. ሮጋ (ማለትም ማዕዘን) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ሩንጋ (perpendicular) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረነገ (be or make perpendicular)፣ ርንግ (ርኑግ)፣ ረናጊ፣ ርነጋ፣ ርንገት፣ ርናጌ፣ ርናጎሽ እያለ ይሄዳል።  ረነገ ማለት ሩንጋ አደረገ ወይም ሆነ ማለት ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም። 
2. ሩንጋ ፍላስተኖች (perpendicular vectors) ማለት አቅጥጫቸው በ 90^o የሚለያይ ፍላስተኖች (vectors) ማለት ነው።   
3. ሩንጋ (perpendicular) ያልሆኑ ፍላስተኖች አልሩንጋ ፍላስተኖች (non-perpendicular vectors) ይባላሉ።

የፍላስተኖች እኩልነት (Equality of Vectors)

ፍላስተኖች (vectors) ሲባሉ ያቅጣጫ (direction) እና የብክረት (magnitude) የሚባሉ ሁለት ጠባዮች (properties) ስላላቸው፣ እኩል ሊሆኑ የሚችሉት ሁለቱም ጠባዮቻቸው እኩል ከሆኑ ብቻ ነው።  ስለዚህም ሁለት ፍላስተኖች እኩል ናቸው የሚባሉት

1. እኩል ብክረት (equal magnitude) ካላቸው እና በተጨማሪ ደግሞ
2. ያወቴ አቅጣጫ (same direction) ማለት አንድ ዓይነት አቅጣጫ ካላቸው፣ ማለትም ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ከሆኑ ብቻ ነው። 

የፍላስተን ሉንታ (Negative of a Vector)

ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) የርስበራሳቸው ሉንታወች (negatives of each other) ናቸው የሚባሉት እኩል ብክረት (equal magnitude) እና በተጨማሪ ደግሞ ተቃራኒ አቅጣጫወች (opposite directions) ካላቸው ብቻ ነው።  ስለዚህም፣ ፍላስተን B  የፍላስተን A ሉንታ (negative)ነው የሚባለውና በመልክ B = -A የሚጻፈው

1. ብክረቱ (magnitude) ከፍላስተን A ብክረት ጋር እኩል ከሆነና በተጨማሪ ደግሞ
2. አቅጣጫው (direction) የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) ከሆነ ብቻ ነው። 

ቶካድ ፍላስተኖች   

1. ቶካድ ፍላስተን (unit vector) ማለት ብክረቱ (magnitude) ቶኮ (one = 1) የሆነ ፍላስተን (vector) ማለት ነው። 
2. ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) የሚያገለግሉት አቅጣጫወችን (directions) ለማመልከት ብቻ ነው።  ከዚህ የዘለለ ሌላ ምንም ግልጋሎት የላቸውም። 
3. በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ በወንታ x-ረቲድ (positive x-axis)፣ በወንታ y-ረቲድ (positive y-axis) እና በወንታ z-ረቲድ (positive z-axis) አቅጣጫ የሚያመለክቱ ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) እንደ ቅደመተከተላቸው በወመሎች (symbols)  ወይም  ይወመላሉ (symbolized)።

ፈገም (Projection) እና ፍገማ (Projecting)

1. ባማረኛ ፈገመ ማለት ባፍጢም ደፋ፣ አወደቀ ማለት ነው። ይህም ቃል project የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።
2. ግሱም ሲረባ ፈገመ (to project)፣ ፍግም (ፍጉም) [projected]፣ ፈጋሚ (projector)፣ ፍገማ (projection, projecting)፣ ፍግመት፣ ፍጋሜ፣ ፍጋሞሽ እያለ ይሄዳል። 
3. ፈገሚ (to project) ማለት የሚፈግም ማለት ሲሆን፣ ፈገም (projection) ማለት ደግሞ የተፈገመ ማለት ነው። 

project (verb)  –  ፈገመ
projection  – ፈገም
projection (projecting) – ፍገማ

የፍላስተን ምንዝር (Component of a Vector)

ማናችው ፍላስተን (vector) በሆነ አቅጣጫ ያለው ፈገም (projection)፣ ፍላስተኑ በዚያ አቅጣጫ ያለው ምንዝር (component) በመባል ይታወቃል። 

ፍላስተን B በፍላስተን A አቅጣጫ ያለው ፈገም (projection) ለፍላስተን A ኩልኩት (parallel) ስለሆነ፣ የኩልኩልነትን ምልከት (| |) በመጠቀም በሞከስ (notation) B_{| |} ይሞከሳል። 

የፍላስተን ሩንጌራባዊ ምንዝሮች (Rectangular Components of a Vector)

ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካትን (rectangular coordinate system) በተመለከተ ማናቸውም ፍላስተን (vector) በቀንጅ ስርካቱ ረቲዶች (axes) ላይ ያሉት ፈገሞች (projections) የፍላስተኑ ሩንጌራባዊ ምንዝሮች (rectangular components) ይባላሉ። 

1. ፍላስተኑ x-ረቲድ (x-axis)  ያለው ፈገም (projection) የፍላስተኑ x-ምንዝር (x-component) ይባላል። 
2. ፍላስተኑ y-ረቲድ (x-axis) ላይ ያለው ፈገም (projection) የፍላስተኑ y-ምንዝር (y-component) ይባላል። 
3. ፍላስተኑ z-ረቲድ (x-axis) ላይ ያለው ፈገም (projection) የፍላስተኑ z-ምንዝር (z-component) ይባላል። 

የፍላስተን ምንዝሮች ቀመር

በ xy-ቀንጅ ስርካት (xy-coordinate system) ላይ የማናቸውም ፍላስተን (vector) x እና y ምንዝሮች (x and y components) በፍላስተኑ ብክረት (magnitude) እና ፍላስተኑ ከ x-ረቲድ (x-axis) ጋር በሚሰራው ዘዌ (angle) አንጻር በሚከተሉት ቀመሮች ይሰጣሉ። 

የፍላስተን ምንዝሮች ወንታነት ወይም ሉንታነት

የፍላስተን x እና y ምንዝሮች (x and y components) ወንታ እሴት (positive value) ወይም ሉንታ እሴት (negative value) ሊኖራቸው ይችላል።  የፍላስተኖቹ ወንታነት (positiveness) ወይም ሉንታነት (negativeness) የሚወሰነው ደግሞ የፍላስተኑ ራስ (head of vector) በሚውልበት የ xy-ቀንጅ ስርካት (xy-coordinate system) ሩቤ (quadrant) ላይ ነው።

1. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው ባንደኛው ሩቤ (first quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x እና y ምንዝሮች ሁለቱም ወንታ (positive) ይሆናሉ።
2. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው በሁለተኛው ሩቤ (second quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x ምንዝር (x-component)  ሉንታ (negative) ሲሆን፣ የፍላስተኑ y ምንዝር (y component) ደግሞ ወንታ (positive) ይሆናል። 
3. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው በሶስተኛው ሩቤ (third quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x እና y ምንዝሮች ሁለቱም ሉንታ (negative) ይሆናሉ።
4. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው ባራተኛው ሩቤ (fourth quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x ምንዝር (x-component)  ወንታ (positive) ሲሆን፣ የፍላስተኑ y ምንዝር (y component) ደግሞ ሉንታ (negative) ይሆናል። 

የፍላስተን ብክረት እና አቅጣጫ ስሌት

ያንድ ፍላስተን (vector) ምንዝሮች (components) ከታወቁ፣ ራሱን ፍላስተኑን፣ የፍላስተኑን ብክረት (magnitude) እና የፍላስተኑን አቅጣጫ (direction) በሚከተሉት ቀመሮች መሠረት ማስላት (calculate) ይቻላል። 

የፍላስተኖች ብዜሮች ዓይነቶች

ፍላስተኖች ሦስት ዓይነት ብዜሮች (multiplications, products) ማለትም ብዜቶች አሏቸው።

1. ማናችውም ፍላስተን (vector) በማናችውም ሐዝተን (scalar) ሊበዘር (multiplied) ማለት ሊባዛ ይችላል።  ይህም ብዜር (multiplication, product) በልዩ ስም የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) ይባላል።
2. ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ሐዝተን እሴት (scalar value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ።  ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ሕዝተን ብዜር (scalar product of vectors) ወይም የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product of vectors) ይባላል። አንዳንድ ጊዜ ደግሞ ነጥብ ብዜር (dot product) ውስጣዊ ብዜር (inner product) በመባልም ይታወቃል፣ ምንም እንኳን ውስጣዊ ብዜር (inner product) ሌሎች ዓይነት ብዜሮችን የሚጨምር የበለጠ አጠቃላይ ስያሜ ቢሆንም።   
3. ማናቸውም ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ፍላስተን እሴት (vector value) እንዲሰጡ ሁነው ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ።  ይህም ብዜር (product) በልዩ ስም የፍላተኖች ፍላስተን ብዜር (vector product of vectors) ወይም የፍላስተኖች መስቀለኛ ብዜር (cross product of vectors) ይባላል። አንዳንድ ጊዜ ደግሞ መስቀለኛ ብዜር (cross product) ውጫዊ ብዜር (outer product) በመባልም ይታወቃል፣ ምንም እንኳን ውጫዊ ብዜር (outer product) ሌሎች ዓይነት ብዜሮችን የሚጨምር የበለጠ አጠቃላይ ስያሜ ቢሆንም።   

የፍላስተን ብዜር በሐዝተን

ማናቸውም ፍላስተን (vector) በማናቸውም ሐዝተን (scalar) ማለትም በማናቸውም ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ሊበዘር (multiplied) ማለትም ሊባዛ ይችላል።  በብዜሩ (multiplication) የሚገኘው ውጤት (result) ደግሞ ከተበዛሪው ፍላስተን ጋር ኩልኩት (parallel) ወይም ኢኩልኩት (antiparallel) የሆነ ሌላ ፍላስተን (another vector) ነው።  ለምሳሌ ያህል ፊደል A አንድን ፍላስተን ቢወክል፤

1. 3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።
2. በሌላ በኩል ደግሞ -3A ማለት ብክረቱ (magnitude) የፍላስተንን A ብክረት ሦስት እጥፍ የሆነ፣ አቅጣጫው (direction) ደግሞ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) የሆነ ፍላስተን ማለት ነው።

ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ የፍላስተን ብዜር በሐዝተን (multiplication of a vector by a scalar) በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)።

1. ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል ብንል፣
2. ፊደል α ደግሞ ፍጹም እሴቱ (absolute value) |α| የሆነን ሐዝተን (scalar) ማለት ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) ወናብ ቁጥር (real number) ይወክላል ብንል፣
3. የፍላስተን A እና የሐዝተን α ብዜር (product) ማለትም αA የራሱ ብክረት እና አቅጣጫ ያለው ሌላ ፍላስተን (another vector) ይሆናል። 
4. የፍላስተን αA ብክረት (magnitude) የሚገኘው የፍላስተንን A ብክረት በሐዝተን α ፍጹም እሴት በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው። በሌላ አባባል የፍላስተን αA ብክረት |α| x |A| ነው።
5. የፍላስተን αA አቅጣጫ (direction) ደግሞ በሐዝተን α ወንታ (positive) ወይም ሉንታ (negative) መሆን ላይ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል። 
   1. ሐዝተን α ወንታ (positive) ከሆነ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኩልኩት (parallel) ይሆናል። 
   1. ሐዝተን α ሉንታ (positive) ከሆነ ፣ የፍላስተን αA አቅጣጫ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ  (opposite) ይሆናል፣ ማለትም ፍላስተን αA ከፍላስተን A ጋር ኢኩልኩት (antiparallel) ይሆናል። 

የፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (Dot Product)

1. ፈደል A ብክረቱ (magnitude) |A| = A የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
2. ፈደል B ብክረቱ (magnitude) |B| = B የሆነን ፍላስተን (vector) ይወክላል እንበል፣
3. ዘዌ θ ደግሞ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለው ትንሹ ዘዌ (small angle) እንበል፣
4. የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) ማለት እሴቱ ABcosθ የሆነ ሐዝተን  (scaler) ነው። 
5. ስለዚህም የፍላስተኖች ሐዝተን ብዜር (dot product) እሴቱ ፍላስተን (vector) ሳይሆን ሐዝተን (scalar) ነው።   
6. የፍላስተኖች A እና B ሐዝተን ብዜር (scalar product) በሞከስ (notation) A∙B ይሞከሳል።  በዚህም ምክኒያት ሐዝተን ብዜር (scalar product) አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቀው ነጥብ ብዜር (dot product) በመባል ነው። 

ምሳሌ፤ ከዚህ በታች የተመለከቱት የፍልሰት ፍላስተኖች (displacement vectors) A እና B ያላቸውን ነጥብ ብዜር (dot product) A∙B ፈልግ።

የነጥብ ብዜር ቂሳሲናዊ ትርጓሜ (Geometrical Interpretation) 

የሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) ማለት ያንደኛው ፍላስተን ብክረት (magnitude) እና ሌላኛው ፍላስተን ባንደኛው ፍላስተን አቅጣጫ ያለው ፈገም (projection) ወይም ምንዝር (component) ብዜር (product) ማለት ነው።  ይህም መሆኑን በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል።   

የነጥብ ብዜር ጠባዮች

1. ነጥብ ብዜር (dot product) አስነዋኝ (commutative) ነው።  በሌላ አባባል በሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር ላይ የተበዛሪወቹ ፍላስተኖች ቅደምተከተል ለውጥ አያመጣም። 
2. በተጨማሪ ደግሞ ነጥብ ብዜር በድመራ (addition) ላይ ማስከፋፈል የሚያስችል አስከፋፋይ (distributive) ሁጀማ (operation) ነው። 

የኩልኩት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
2. የዳዶ ዘዌ (angle) ኮሳይን (cosine) ደግሞ እሴቱ ቶኮ (one = 1) ነው፣ ማለትም cos 0^o = 1 ነው።
3. ስለዚህም የኩልኩት ፍላስተኖች  (parallel vectors) ነጥብ ብዜር እሴት የፍላስተኖቹ ብክረቶች (magnitudes) ብዜር ነው ማለት ነው።
4. የኮሳይን ቀዘድ (cosine function) ገብዲስ እሴት (maximum value) ደግሞ ቶኮ (one = 1) ነው።
5. ስለዚህም የሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር እሴት ገብዲስ (maximum) የሚሆነው፣ ሁለቱ ፍላስተኖች ኩልኩት (parallel) ሲሆኑ ነው ማለት ነው።

የራስ በራስ ነጥብ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች A እና B እኩል (equal) ከሆኑ፣ አቅጣጫቸው ያውቴ (same)  ስለሚሆን፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ ዳዶ (zero) ይሆናል።
2. የዳዶ ዘዌ (angle) ኮሳይን (cosine) ደግሞ እሴቱ ቶኮ (one = 1) ነው፣ ማለትም cos 0^o = 1 ነው።
3. ስለዚህም ማናቸውም ፍላስተን ከራሱ ጋር የሚኖረው ነጥብ ብዜር (dot product) እሴት የፍላስተኑ ብክረት ካልቶና (square of magnitude) ነው ማለት ነው።

የሉንታኩልኩት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች A እና B ሉንታኩልኩት (antiparallel) ከሆኑ፣ ማለትም አቅጣጫቸው ተቃራኒ (opposite)  ከሆነ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 180^o ይሆናል።
2. የ 180^o ኮሳይን (cosine) ደግሞ እሴቱ ሉንታ ቶኮ (negative one = -1) ነው፣ ማለትም cos 180^o = -1 ነው።
3. ስለዚህም የሉንታኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ነጥብ ብዜር (dot product) እሴት የፍላስተኖቹ ብክረቶች (magnitudes) ብዜር ሉንታ (negative) ነው ማለት ነው።
4. የኮሳይን ቀዘድ (cosine function) ጨቅሊስ እሴት (minimum value) ደግሞ ሉንታ ቶኮ (negative one = -1) ነው።
5. ስለዚህም የሁለት ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር እሴት ጨቅሊስ (maximum) የሚሆነው፣ ሁለቱ ፍላስተኖች ሉንታኩልኩት (parallel) ሲሆኑ ነው ማለት ነው።

የሩንጋ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. ሁለት ፍላስተኖች ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ በመካከላቸው ያለው ዘዌ 90^o ይሆናል።
2. የ 90^o ኮሳይን (cosine) ደግሞ እሴቱ ዳዶ (zero = 0) ነው፣ ማለትም cos 90^o = 0 ነው።
3. ስለዚህም የሩንጋ ፍላስተኖች  (perpendicular vectors) ነጥብ ብዜር (dot product) እሴት ዳዶ (zero = 0) ነው ማለት ነው።

የነጥብ ብዜር ወንታንት ወይም ሉንታነት

1. የፍላስተን ብክረት (magnitude) የፍላስተኑን መጠን የሚያመለከት እሴት ስለሆነ ሁልጊዜም ወንታ (always positive) ነው።  በሌላ አባባል የፍላስተን ብክረት ዳዶ (zero) ወይም ወንታ (positive) እንጅ፣ ሉንታ (negative) ሊሆን አይችልም።
2. ስለዚህም የሁለት ፍላስተኖችን ነጥብ ብዜር (dot product) እሴት ወንታነት (positiveness) ወይም ሉንታነት (negativeness) የሚወስነው በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ባለው ዘዌ (angle) ነው ማለት ነው።
3. በሁለት ፍላስተኖች አቅጣጫወች መከከል ያለው ዘዌ በ 0^o እና 90^o መካከል ከሆነ፣ የፍላስተኖቹ ነጥብ ብዜር እሴት ወንታ (positive) ይሆናል።
4. በሌላ በኩል ደግሞ በሁለት ፍላስተኖች አቅጣጫወች መከከል ያለው ዘዌ በ 90^o እና 180^o መካከል ከሆነ፣ የፍላስተኖቹ ነጥብ ብዜር እሴት ሉንታ (negative) ይሆናል።

የቶካድ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር

1. የቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ብክረት (magnitude) ቶኮ (one = 1) ስለሆነ፣ እያንዳንዳቸው ቶካድ ፍላስተኖች ከራሳቸው ጋር ያላቸው ነጥብ ብዜር (dot product) ቶኮ (one = 1) ነው።
2. በተጨማሪ ደግሞ ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ርስበራሳቸው ሩንጋ ስለሆኑ (perpendicular to each other) ፣ አንዱ ቶካድ ፍላስተን ከሌሎቹ ቶካድ ፍላስተኖች ጋር ያለው ነጥብ ብዜር (dot product) ዳዶ (zero) ነው።  

የነጥብ ብዜር ምንዝር መልክ

1. ሁለት ፍላስተኖች A እና B በምንዝር መልክ (component form) ከተገለጹ፣ የሁለቱ ፍላስተኖች ነጥብ ብዜር (dot product) በሚከተለው የምንዝር መልክ (component form) ሊገለጽ ይችላል።   
2. ይህን ምንዝር መልከ (component form) በመጠቀም ደግሞ፣ በሁለቱ ፍላስተኖች አቅጣጫወች መካከል ያለውን ዘዌ (angle) በቀላሉ ማግኘት ይቻላል።  

የነጥብ ብዜር (dot product) ምንዝር መልከን (component form) የሚሰጠውን ቀመር (formula) የነጥብ ብዜርን (dot product) አስነዋኝ ጠባይ (commutative property) እና አስከፋፋይ ጠባይ (distributive property) እንዲሁም የቶካድ ፍላስተኖችን (unit vectors) ነጥብ ብዜር ጠባይ በመጠቀም በመከተለው መንገድ በቀላሉ መረቸግ (derive) ማለትም ማግኘት ይቻላል። 

ምሳሌ፤ ለሚከተሉት በምንዝር መልክ (component form) ለተሰጡ ሁለት ፍላስተኖች A እና B የፍላስተኖቹን ነጥብ ብዜር (dot product) እንዲሁም በፍላስተኖቹ አቅጣጫወች መካከል ያለውን ዘዌ (angle) ፈልግ።  

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com