ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) ከፍል ሁለት፤ቀጤ መስመር (Part 2: Straight Line)

ርቸጋ (Derivation)

አርገቹ (ማግኘት) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ረቸገ (derive) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረቸገ (derive)፣ ርቻግ (ርችግ፣ ርቹግ) [derived]፣ ረቻጊ (deriving)፣ ርቸጋ (derivation)፣ ርችገት፣ ርቻጌ፣ ርቻጎሽ እያለ ይሄዳል።  ረቸገ (derive) ማለት አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ርቻግ (derived) ማለት ደግሞ የተረቸገ (ማለትም የተገኘ) ማለት ነው። 

derive = ረቸገ
derived = ርቻግ
derived formula = ርቻግ ቀመር
derived unit = ርቻግ ቶካድ
derivation = ርቸጋ

የመስመር ዓይነቶች

1. አግዳሚ (horizontal) ማለት ባግድም ወይም በአድማስ አቅጣጫ የሆነ ማለት ነው።  አግዳሚ መስመር (horizontal line) መስመር ማለት ደግሞ ባግድም ወይም በአድማስ አቅጣጫ የተሰመረ መስመር ማለት ነው። 
2. አግዳሚ የሚለውን ቃል መሠረት በማድረግ ወራጅ ከሚለው ቃል ወርጃሚ (vertical) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ወርጃሚ (vertical) ማለት ካግዳሚ(horizontal) ጋር 90^o የሚሠራ ማለት ነው።  አግዳሚ ቀጥታ ወደ አድማስ (horizon)እንደሆነ ሁሉ፣ ወርጃሚ ደግሞ ቀጥታ ወደ አናትማስ (zenith) ነው።  
3. ባግዳሚ (horizontal) እና በወርጃሚ (vertical) መካከል የሆነ መስመር አዝማሚ መስመር (oblique line) ወይም ዘማማ መስመር (oblique line) ይባላል። 
4. ሮጋ (ማለትም ማዕዘን) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ሩንጋ (perpendicular) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ሩንጋ መስመሮች (perpendicular lines) ማለት መጠኑ 90^o የሆነ ዘዌ (angle) በምሥራት የሚመሳበሩ (intersect) ማለትም የሚገኛኑ ወይም የሚቆራረጡ መስመሮች ማለት ነው።    
5. ኮለኮለ (ማለትም ደረደረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ኩልኩት (parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ኩልኩት መስመሮች (perpendicular lines) ማለት የረዘሙትን ያህል እንዲረዝሙ ቢደረጉ በጭራሽ የማይመሳበሩ (intersect) ማለትም የማይገናኙ ወይም የማይቆራረጡ ትይዩ መስመሮች ማለት ነው።  በሌላ አባባል ኩልኩት መስመሮች ማለት በመካከላቸው ያለው ርቀት ቋሚ የሆነ (ማለትም የማይቀንስ ወይም የማይጨምር) መስመሮች ማለት ነው። 

ተመሳባሪ መስመሮች (Intersecting Lines)

አሳበረ (መንገድ አቋረጠ፣ አግድም፣ መስቀለኛ ሄደ) ከሚለው ምስባር (intersection, intercept) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ምስባር ማለት መገናኛ፣ መቆራረጫ እንደ ማለት ነው።  ግሱም ሲረባ መሰበረ (intersect, intercept)፣ ምስብር (ምስቡር) [intersected, intercepted]፣ መስባሪ (intersecting, intercepting)፣ ምስበራ (intersecting, interception)፣ ምስብረት፣ ምስባሬ፣ ምስባሮሽ እያለ ይሄዳል።

ባንድ ነጥብ ላይ የሚመሳብሩ (ማለትም የሚገናኙ ወይም የሚቆራረጡ) ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ መስመሮች ተመሳባሪ መስመሮች (intersecting lines) ወይም መስባሪ መስመሮች (intersecting lines) ይባላሉ።  መስመሮቹ የሚመሳበሩበት (ማለትም የሚገናኙበት ወይም የሚቆራርጡብት) ነጥብ ደግሞ ምስባር ነጥብ (intersection point) ወይም ምስብረት ነጥብ (intersection point) ወይም መመሳበርያ ነጥብ (intersection point) ይባላል። 

ፈራቂ ዘዌወች (alternate angles) እና ወልታቢ ዘዌወች (corresponding angles)

“ነጥቦች፣ መስመሮች እና ዘዌወች”  በሚለው ጦማር ላይ በሰፊው እንደተወሳው፣ ገዘመ (ማለትም ቆረጠ፣ ከፈለ፣ አመመ) የሚለው የግእዝ ቃል transverse የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ገዘመ ማለት ቆረጠ፣ አቋረጠ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ገዘመ (transverse)፣ ግዝም (ግዙም)፣ ገዛሚ፣ ግዘማ፣ ግዝመት፣ ግዛሜ፣ ግዛሞሽእያለ ይሄዳል።

ሁለት ወይም ከዚያ በላይ መስመሮችን አቋርጦ የሚያልፍ፣ ማለትም ከሁለት ወይም ከዚያ በላይ መስመሮች ጋር የሚመሳበር (intersect) መስመር ገዛሚ መስመር (transverse line, transversal) ወይም ባጭሩ ገዛሚ ይባላል። 

ሁለት መስመሮች በገዛሚ (transversal) ሲገዘሙ፣ ፈራቂ ውስጣዊ ዘዌወች (alternate interior angles)፣ ፍራቂ ውጫዊ ዘዌወች (alternate exterior angles) እና ወልታቢ ዘዌወች (corresponding angles) የሚባሉ ስምንት ዘዌወች ይመሠረታሉ።

ወልታቢ (corresponding) የሚለው ቃል የተገኘው ወል (የጋራ) እና ከተበ (ጻፈ) ከሚሉት ቃሎች ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወለተበ (correspond)፣ ውልትብ (ውልቱብ) [corresponded]፣ ወልታቢ (corresponding)፣ ውልተባ (corresponding)፣ ውልትበት፣ ውልታቤ፣ ውልታቦሽ እያለ ይሄዳል።  ወለተበ (correspond) ማለት ተመሳሰለ እንዲሁም ተጻጻፈ ማለት ነው።

1. ፈራቂ ውስጣዊ ዘዌወች (alternate interior angles) ማለት ሁለት መስመሮች በገዛሚ (transversal) ሲገዘሙ፣ ከገዛሚው በተቃራኒ ጎን በመስመሮቹ በውስጥ በኩል የሚገኙ ዘዌወች ማለት ነው። 
2. ፈራቂ ውጫዊ ዘዌወች (alternate exterior angles) ማለት ሁለት መስመሮች በገዛሚ (transversal) ሲገዘሙ፣ ከገዛሚው በተቃራኒ ጎን በመስመሮቹ በውጭ በኩል የሚገኙ ዘዌወች ማለት ነው።
3. ወልታቢ ዘዌወች (corresponding angles) ማለት ሁለት መስመሮች በገዛሚ (transversal) ሲገዘሙ፣ ከገዛሚው በተመሳሳይ ጎን በተመሳሳይ ቅምጠቶች ላይ የሚገኙ ዘዌወች ማለት ነው። 

በገዛሚ (transversal) የሚገዘሙ ሁለት መስመሮች ኩልኩት መስመሮች (parallel lines) ከሆኑ፣ ማለትም ኩልኩት መስመሮች በገዛሚ ሲገዘሙ

1. ፈራቂ ውስጣዊ ዘዌወች (alternate interior angles) እኩል ይሆናሉ።
2. ፈራቂ ውጫዊ ዘዌወች (alternate exterior angles) እኩል ይሆናሉ።
3. ወልታቢ ዘዌወች(corresponding angles) እኩል ይሆናሉ። 

ልቹ (Unique) እና ልይጥ (Distinct)

ልዩ እና ብቹ ከሚሉት ልቹ (unique)፣ ልቹነት (uniqueness) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።  ልቹ (unique) ማለት መሰል የሌለው፣ የብቻ የሆነ ማለት ነው።  በልቹ ሁኔታ (uniquely) ማለት ደግሞ መሰል በሌለው ሁኔታ ማለት ነው።  ግሱም ሲረባ ለቸመ (make unique, uniquely determine) ፣ ልችም (ልቹም)፣ ለቻሚ፣ ልቸማ እያለ ሲሄድ፣ የንግሊዘኛ አቻ  የለውም።  ለቸመ ማለት ልቹ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ልችም ማለት ደግሞ የተለቸመ ማለት ነው።

unique = ልቹ
uniqueness = ልቹነት
unique (verb) = ለቸመ

ለየ እና መረጠ ከሚሉት ለየጠ (distinguish) የሚለውን ቃል እናገኛለን።   ለየጠ (distinguish) ማለት ከሌሎች መርጦ ለየ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ለየጠ (distinguish)፣ ልይጥ (ልዩጥ) [distinguished, distinct]፣ ለያጢ (ለያጭ) [distinguishing, distinctive]፣ ልየጣ (distinguishing)፣ ልይጠት እያለ ይሄዳል። 

distinguish = ለየጠ
distinguishable (distinguishability) = ተለያጭ፣ ተለያጭነት
distinct –  ልይጥ
distinctive (distinguishing) = ለያጢ፣ ለያጭ
distinction = ልየጣ፣ ል

ነሻን (Fraction) እና ደባስ (reciprocal)

“አሃሲን እና ሆስሌት” በሚለው ጦማር ላይ በስፋት እንደተወሳው፣  ሸነሸነ (በቀጭኑ ሰነጠቀ) ከሚለው ቃል ነሻን (fraction) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ነሸነ (fractionalize, fractionate)፣ ንሽን (ንሹን) [fractionalized, fractionated]፣ ነሻኒ (ነሻኝ) (fractionalizing, fractionator)፣ ነሸና  (fractionalization, fractionation) እያለ ይሄዳል።  ነሸነ (factorize) ማለት በነሻን (factor) መልክ ገለጸ ማለት ሲሆን፣ ንሽን (factorized) ማለት ደግሞ የተነሸነ ማለት ነው።

ነሻን (fraction) q/p የነሻን  p/q ደባስ (reciprocal) ይባላል።  ደባስ (reciprocal) ማለት ግልባጭ እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ደቢሱ (ማለትም መመለስ፣ መቀለስ፣ መገልበጥ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ ደበሰ (reciprocate)፣ ድብስ (ድቡስ) [reciprocated]፣ ደባሲ(ደባሽ) [reciprocator]፣ ድበሳ (reciprocation)፣ ድባሴ (reciprocity) እያለ ይሄዳል።  ደበሰ (reciprocate) ማለት ገለበጠ እንደ ማለት ሲሆን፣ ድብስ (reciprocated) ማለት ደግሞ የተደበሰ ማለትም የተገለበጠ ማለት ነው።  

የግሪክ ፊደል ደልታ (Δ)

በሒሳብነክ ሰገሎች (sciences) ውስጥ በተለይም ደግሞ በራሱ በሒሳብሲን (mathematics) እንዲሁም በጉሲን (physics) እና በፓካርሲን (chemistry) ውስጥ የግሪክ ፊደል ደልታ (delta = Δ) የሚያገለግለው በእሴት (value) ላይ የተከሰተን ለውጥ (change) ለማመልከት ነው። 

1. እሴት Q በማናቸውም ክወና (process) መጀመርያ ላይ (ማለትም ክወናው ሲጀምር ወይም ሲብት) ያለው ባተሜ እሴት (initial value) Q_i ነው እንበል፣
2. በክወናው (process) ፍጻሜ ላይ (ማለትም ክወናው ሲፈጸም) ያለው ፍጻሜ እሴት (final value) ደግሞ Q_f ነው እንበል፣
3. በክወናው አማካኝነት በ Q ላይ የተከሰተው ለውጥ ማለትም የQ ለውጥ (change in Q) በግሪክ ፊደል ደልታ (Δ) ሲገለጽ ΔQ = Q_f – Q_i  ይሆናል።
4. ΔQ ማለት በ Q ላይ የተከሰተ ለውጥ ወይም የ Q ለውጥ (change in Q) ማለት ሲሆን፣ የሚነበበውም ዴልታ ኪው (delta Q) ተብሎ ነው።
5. ባተሜ (initial) የሚለው ቃል የተገኘው ባተ (ጀመረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል በመነሳትና ፍጻሜ የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ነው።

ቀጤ መስመር (Straight Line)

ቀጤ መስመር (straight line) ማለት ራሱ ስያሜው እንደሚናገረው ቀጥ ያለ መስመር ማለት ነው። ለምሳሌ ያህል የተወጠረ የክራር ጅማት ወይም የማሲንቆ ጭራ የሚሠራው መስመር ቀጤ መስመር ነው።  

ሁለት ልይጥ ነጥቦች (two distinct points) አንድን ቀጤ መስመር (straight line) ይለችማሉ (uniquely determine)፣ ማለትም በልቹ (unique) ሁኔታ ይወስናሉ።  በሌላ አባባል በሁለት የተለያዩ ነጥቦች ላይ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) አንደና አንድ ብቻ (one and only one)  ነው።

ካሁን በኋላ ቀጤ መስመር (straight line) የሚባለውን ባጭሩ መስመር (line) እንለዋለን።  በሌላ አባባል ካሁን በኋላ መስመር (line) ስንል ቀጤ መስመር  (straight line) ማለታቸን ነው ብለን እንስማማለን።  

የመስመር ዘበግ (Slope of a Line)

ተዛባ (አጋደለ፣ ተጣመመ) ከሚለው ቃል ዘበገ (to slope, incline)፣ ዝብግ (ዝቡግ) [sloped, inclined]፣ ዘባጊ (sloping, inclining)፣ ዝበጋ (sloping, inclining)፣ ዝባጌ (inclination) እያለ የሚሄደውን ቃል እናገኛለን።  ዘበገ (to slope) ማለት አጋደለ ማለት ሲሆን፣ ዘበግ (slope) ማለት ደግሞ የዝባጌ መጠን ማለት ነው። 

slope (inclination) =ዘበግ፣ ዝባጌ
slope (verb) = ዘበገ
sloping (inclining, inclined) = ዘባጊ  
inclined plane = ዘባጊ ሰቴ

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ የተመለከተውን መስመር እናጢን።  ይህ መስመር 2 ቶካዶች (2 units) ባቀና (ማለትም ከፍ ባለ፣ በተነሳ) ቁጥር 3 ቶካዶች (3 units) እየተኛ (ማለትም እየተጋደመ) ይሄዳል።  በዚህም ምክኒያት የዚህ መስመር ዘበግ (slope) 2/3 ነው እንላለን። 

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ የተመለከተው መስመር ደግሞ 3 ቶካዶች (3 units) ባዘቀዘቀ (ማለትም ዝቅ ባለ፣ በወረደ) ቁጥር 8 ቶካዶች (8 units) እየተኛ (ማለትም እየተጋደመ) ይሄዳል።  በዚህም ምክኒያት የዚህ መስመር ዘበግ (slope) -3/8 ነው እንላለን። 

ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ በነጥቦች A (x₁, y₁)  እና B (x₂, y₂) ላይ የሚያልፍ መስመር ዘበግ (slope) በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)።

የማናቸውም መስመር ዘበግ  (slope) የመስመሩን አዝማሚነት መለኪያ (measure) ነው።  በዚህም ምክኒያት

1. ያግዳሚ መስመር (horizontal line) ዘበግ (slope) ዳዶ (zero = 0) ነው።
2. ወደ ቀኝ ሲሄድ፣ እያቀና የሚሄድ (ማለትም እያሻቀበ ወይም እየተነሳ የሚሄድ) ሸቃቢ መስመር (ascending line) ዘበግ (slope) ወንታ (positive) ነው።
3. ወደቀኝ ሲሄድ እያዘቀዘቀ የሚሄድ(ማለትም እያቆለቆለ ወይም እያዘቀዘቀ የሚሄድ) ዘቃቢ መስመር (descending line) ዘበግ (slope) ሉንታ (negative) ነው።
4. የወርጃሚ መስመር(vertical line) ዘበግ (slope) ኢብይን (undefined) ነው፣ በዳዶ (zero = 0) መደሸር (divide) ማለትም ማካፍል ኢብይን (undefined) ነውና፣ ማለትም አይፈቀድምና።

ሸቃቢ (ascending) የሚለው ቃል የተገኘው አሻቀበ (ወደ ላይ ተነሳ፣ ከፈ አለ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ሸቀበ (ascend)፣ ሽቅብ (ሽቁብ) [ascended]፣ ሸቃቢ (ascending)፣ ሽቀባ (ascending, ascent)፣ ሽቃቤ እያለ ይሄዳል። 

ዘቃቢ (descending) የሚለው ቃል የተገኘው ደግሞ አዘቀዘቀ ከሚለው ቃል በመነሳትና ሸቃቢ (ascending) የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ነው።  ግሱም ሲረባ ዘቀበ (descend)፣ ዝቅብ (ዝቁብ) [descended]፣ ዘቃቢ (descending)፣ ዝቀባ (descending, descent)፣ ዝቃቤ እያለ ይሄዳል። 

ascend = ሸቀበ
ascending = ሸቃቢ
ascending line = ሸቃቢ መስመር
descend = ዘቀበ
descending = ዘቃቢ
descending line = ዘቃቢ መስመር

ዘበግ ዘዌ  (Angle of Inclination, Slope angle)

አግዳሚ (horizontal) x-ረቲድን (x-axis)  እሆነ ነጥብ (point) ላይ የሚያቋርጥ የማናቸውም መስመር (line) ዘበግ ዘዌ (angle of inclination, slope angle) ማለት ከነጥቡ በስተቀኝ በኩል ካለው የ x-ረቲድ (x-axis) ክፍል በመነሳት እስከ መስመሩ ድረስ በኢሰዓትያ አቅጣጫ (anticlockwise direction) የሚለካ ዘዌ (angle) ማለት ነው።

የኩልኩት መስመሮች ዘበጎች  (Slopes of Parallel Lines)

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ ሁለት መስመሮች ኩልኩት (parallel) ከሆኑ፣ ዘበግ ዘዌወቻቸው (inclination angles) ወልታቢ ዘዌወች (corresponding angles) ይሆናሉ፣ ስለሆኑም እኩል (equal) ይሆናሉ።  ስለዚህም ኩልኩት መስመሮች (parallel lines) እኩል ዘበግ (equal slope) አላቸው ማለት ነው። 

በግልባጭ (conversely) አነጋገር ደግሞ እኩል ዘበግ (equal slope) ያላቸው መስመሮች ሁሉ ኩልኩት (parallel) ናቸው ማለት ነው። 

የሩንጋ መስመሮች ዘበጎች  (Slopes of Perpendicular Lines)

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ ሁለት መስበሮች ሩስበራሳቸው ሩንጋ (perpendicular) ከሆኑ፣ ዘበጎቻቸው (slopes) የርስበራሳቸው ሉንታ ደባሶች (negative reciprocals) ይሆናሉ። 

x-ምስባር (x-intercept) እና  y-ምስባር (y-intercept)

በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ

1. የቀጤ መስመር (straight line) x-ምስባር (x-intercept) ማለት መስመሩ ከ x-ረቲድ (x-axis) ጋር የሚመሳበርበት (intersect) ማለትም x-ረቲድን የሚቆርጥበት ነጥብ (point) ማለት ነው።
2. የመስመሩ y-ምስባር (y-intercept) ማለት ደግሞ መስመሩ ከy-ረቲድ (y-axis) ጋር የሚመሳበርበት ነጥብ ማለት ነው።

የመስመር እኩልታ (Equation of a Line)

የመስመር እኩልታ (equation of line) ማለት በመስመሩ ላይ የሚገኝ እያንዳንዱ ነጥብ (point) ያለውን x-ቀንጅ (x-coordinate) ከነጥቡ y-ቀንጅ (y-coordinate) ጋር የሚያዛምድ እኩልታ (equation) ማለት ነው። 

በሌላ አባባል የመስመር እኩልታ (equation of a line) ማለት በመስመሩ ላይ የሚገኙ ነጥቦች (points) ሁሉም ውነት (true) የሚያደርጉት፣ ከመስመሩ ውጭ የሚገኙ ነጥቦች ደግሞ ሁሉም ውሸት (false) የሚያደርጉት እኩልታ ማለት ነው።   የመስመር እኩልታ

1. መስመሩ ወርጃሚ (vertical) ወይም አልወርጃሚ (nonvertical) መሆኑን ይነገረናል።
2. መስመሩ አልወርጃሚ (nonvertical) ከሆነ የመስመሩን ዘበግ (slope) እንዴት እንደምናሰላ (calculate) ይነግረናል። 
3. መስመሩ ለማናቸውም x-እሴት (x-value) ያለውን y-እሴት (y-value)፣ እንዲሁም ለማናቸውም y-እሴት (y-value) ያለውን x-እሴት (x-value) እንዴት እንደምናሰላ ይነግረናል።
4. በመስመሩ የሚወከሉ ቱማወችን (data) እጥር ምጥን ባለ አጠቃላይ መልክ ለመግለጽና ተመሳሳይ ቱማወችን ለመተንበይ (predict) ይረዳናል። ቱማ (datum) እና ቱማወች (data) የሚሉት ቃሎች የተገኙት ቱማ (ውነት፣ ሐቅ) ከሚለው የወላይትኛ ቃል ነው።  ከዚህም (ለምሳሌ ያህል) ቱማ ማዕከል (data center) ወይም ባጭሩ ቱማከል (data center) የሚለውን ቃል እናገኛለን።      

የወርጃሚ (Vertical) እና ያግዳሚ (Horizontal) መስመሮች እኩልታወች

1. በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ ማናችውም ወርጃሚ መስመር (vertical line) x-ረቲድን (x-axis) የተወሰነ ነጥብ (a, 0) ላይ ይቆርጠዋል።
2. በወርጃሚ መስመሩ ላይ የሚውሉት የቀሩት ሁሉም ነጥቦች ከነጥብ (a, 0) ቀጥታ በስተላይ (directly above) ወይም ቀጥታ በስተታች (directly below) ናቸው።  
3. ይህ ማለት ደግሞ በመስመሩ ላይ የሚገኝ የማናቸውም ነጥብ  P (x, y) x-ቀንጅ (x-coordinate) x = a  ሲሆን፣ y-ቀንጅ (y-coordinate) ደግሞ ማናቸውም እሴት (any value) ሊኖረው ይችላል ማለት ነው። 
4. በሌላ አባባል በመስመሩ ላይ የሚውሉት የሁሉም ነጥቦች ቀንጆች (coordinates) x = a የሚለውን እኩልታ (equation) ያሟላሉ (satisfy) ማለት ነው። 
5. ስለዚህም የመስመሩ እኩልታ(equation of the line) x = a ነው ማለት ነው። 

በተመሳሳይ ሁኔታ

1. ማናችውም አግዳሚ መስመር (horizontal line) y-ረቲድን (y-axis) የተወሰነ ነጥብ (0, b) ላይ ይቆርጠዋል። 
2. ባግዳሚ መስመሩ ላይ የሚውሉት የቀሩት ሁሉም ነጥቦች ከነጥብ (0, b) ቀጥታ በስተቀኝ (directly to the right) ወይም ቀጥታ በስተግራ (directly to the left) ናቸው። 
3. ይህ ማለት ደግሞ በመስመሩ ላይ የሚገኝ የማናቸውም ነጥብ  P(x, y) y-ቀንጅ (x-coordinate) y = b  ሲሆን፣ x-ቀንጅ (x-coordinate) ደግሞ ማናቸውም እሴት (any value) ሊኖረው ይችላል ማለት ነው። 
4. በሌላ አባባል በመስመሩ ላይ የሚውሉት የሁሉም ነጥቦች ቀንጆች (coordinates) y = b የሚለውን እኩልታ (equation) ያሟላሉ (satisfy) ማለት ነው። 
5. ስለዚህም የመስመሩ እኩልታ(equation of the line) y = b ነው ማለት ነው። 

ያልወርጃሚ (Nonvertical) መስመሮች እኩልታወች

አልወርጃሚ (nonvertical) ማለት ወርጃሚ (vertical) ያልሆነ ማለት ነው።  ስለዚህም አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) ማለት አግዳሚ መስመር (horizontal line) ወይም አዝማሚ መስመር (slanted line, oblique line) ማለት ነው።  በሌላ አባባል አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) አግዳሚ መስመርን (horizontal line) እና አዝማሚ መስመርን (slanted line, oblique line) የሚያካትት አጠቃላይ ቃል ነው ማለት ነው። 

የማናቸውም አልወርጃሚ መስመር እኩልታ (equation of nonvertical line) በሚከተሉት ስድስት መልኮች (three forms) ሊጻፍ ይችላል። 

1. የመስመር እኩልታ ነጥብ–ዘበግ መልክ (point-slope form) ወይም ባጭሩ ነጥብ–ዘበግ እኩልታ (point-slope equation)
2. የመስመር እኩልታ ዘበግ–ምስባር መልክ (slope-intercept form) ወይም ባጭሩ ዘበግ–ምስባር እኩልታ (slope-intercept equation) 
3. የመስመር እኩልታ ሁለት–ነጥብ መልክ (two-point form) ወይም ባጭሩ ሁለት–ነጥብ እኩልታ (two-point equation)
4. የመስመር እኩልታ ሁለት–ምስባር መልክ (two-intercept form) ወይም ባጭሩ ሁለት–ምስባር እኩልታ (two-intercept equation)
5. የመስመር እኩልታ ሩንጋ–መልክ (normal form) ወይም ባጭሩ ሩንጋ እኩልታ (normal equation)
6. የመስመር እኩልታ አጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ መልክ (general linear equation form)  ወይም ባጭሩ አጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ (general linear equation)

በተራ ቁጥር (2) ላይ ዘበግ–ምስባር መልክ (slope-intercept form) እና ዘበግ–ምስባር እኩልታ (slope-intercept equation) የሚሉትን ላማረኛ አጠራር እንዲመቹና ከተራ ቁጥር (1) ጋር እንዲመሳሰሉ  ምስባር–ዘበግ መልክ (intercept-slope form) ወይም ባጭሩ ምስባር–ዘበግ እኩልታ (intercept-slope equation) እንላቸዋለን።   

ነጥብ -ዘበግ እኩልታ (Point-slope Equation)

በማናቸውም አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) ላይ የሚገኝ ያንድ ነጥብ ቀንጆች (coordinates) P (x₁, y₁) እና የመስመሩ ዘበግ (slope) m ከታወቁ ፣ የመስመሩ እኩልታ (equation of the line) ሊታወቅ ይችላል።  ይህም የመስመሩ እኩልታ መልክ (form) ነጥብ-ዘበግ መልክ (point-slope form) ወይም ባጭሩ ነጥብ-ዘበግ እኩልታ (point-slope equation) ይባላል።

ምስባር -ዘበግ እኩልታ (Intercept-slope Equation)

የማናቸውም አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) ዘበግ (slope) m እና y-መስባር (y-intercept) b ማለትም መስመሩ y-ረቲድን (y-axis) የሚያቋርጥበት ነጥብ (point) ያለው y ቀንጅ (y coordinate) ከታወቁ ፣ የመስመሩ እኩልታ (equation of the line) ሊታወቅ ይችላል።  ይህም የመስመሩ እኩልታ መልክ (form) ዘበግ-ምስባር መልክ (slope-intercept form) ወይም ባጭሩ ዘበግ-ምስባር እኩልታ (slope-intercept equation) ወይም ደግሞ ላማረኛ አጠራር እንዲመች ምስባር-ዘበግ እኩልታ (intercept-slope equation) ይባላል።

ሁለት -ነጥብ እኩልታ (Two-point Equation)

በማናቸውም አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) ላይ የሚገኙ ሁለት ነጥቦች ቀንጆች (coordinates) P₁ (x₁, y₁) እና P₂ (x₂, y₂) ከታወቁ ፣ የመስመሩ እኩልታ (equation of the line) ሊታወቅ ይችላል።  ይህም የመስመሩ እኩልታ መልክ (form) ሁለት-ነጥብ መልክ (two-point form) ወይም ባጭሩ ሁለት-ነጥብ እኩልታ (two-point equation) ይባላል።

ሁለት -ምስባር እኩልታ (Two-intercept Equation)

የማናቸውም አልወርጃሚ መስመር (nonvertical line) x-ምስባር (x-intercept) a እና y-መስባር (y-intercept) b ከታወቁ ፣ የመስመሩ እኩልታ (equation of the line) ሊታወቅ ይችላል።  ይህም የመስመሩ እኩልታ መልክ (form) ሁለት-ምስባር መልክ (slope-intercept form) ወይም ባጭሩ ሁለት-ምስባር እኩልታ (slope-intercept equation) ይባላል።

ዣጭር ርቀት (Shortest Distance)

ያማረኛ አነጻጸር (comparison) የተንዛዛ ከመሆኑም በላይ አሻሚነት አለው።  ለምሳሌ ያህል ትልቅ በሚለው ቅጽል ለማነጻጸር ስንፈልግ፣ በጣምትልቅ፣ እጅግበጣምትልቅ እንላለን።  በጣም ትልቅ ስንል ግን ያንድን ነገር ትልቅነት እየገለጽን ወይም ደግሞ የሁለት ነገሮችን ትልቅነት እያነጻጸርን ሊሆን ይችላል።  ይህን አሻሚነትና መንዛዛት ለማስወገድ ስል፣ ላማረኛ ንጽጽርን በሚከተለው መንገድ ፈጥሬለታለሁ።

ለምሳሌ ያህል ጥሩ (good) የሚለውን ብንወስድ፣ በጣምጥሩለማለት ፐጥሩ (better) እንላለን፣ እጅግበጣምጥሩለማለት ደግሞ ዠጥሩ (best) እንላለን።  ፊደሎች ፐ እና ዠ ለንጽጽር የተመረጡበት ምክኒያት፣ በነዚህ ፊደሎች የሚጀምሩ ብዙ ቃሎች ስለሌሉ ነው።

short, shorter, shortest =አጭር፣ ፐአጭር፣ ዠአጭር(ዣጭር)
shortest distance = ዣጭር ርቀት

ዣጭር ርቀት (shortest distance) ከሁሉም ያጠረ ርቀት ማለትም መትሐት ርቀት (least) ወይም ጨቅሊስ ርቀት (minimum distance) ማለት ነው። 

ባንድ መስመር (line) እና መስመሩ ላይ በማይውል ነጥብ (point not on the line) መካከል ያለው ዣጭር ርርቀት (shortest distance) ከነጥቡ ወደ መስመሩ የሚሰመረውና ከመስመሩ ጋር ሩንጋ ዘዌ (right angle = 90^o) የሚሰራው ሩንጋ የቀጤ መስመር ዐጽቅ (perpendicular line segment) ወይም ባጭሩ ሩንጋ ዐጽቅ (perpendicular segment) ነው። 

የቀጤ መስመር ሩንጋ እኩልታ (Normal Equation of a Line)

በሒሳብሲን (mathematics) እና ጉሲን (physics) ውስጥ normal ማለት perpendicular ማለት ነው።  ስለዚህም ሩንጋ (perpendicular, normal) የሚለው ያማረኛ ቃል ሁለቱንም የእንግሊዘኛ ቃሎች ይተካል ማለት ነው።  የንግሊዘኛው normal የተገኘው norma (ማዕዘን) ከሚለው የላቲን (Latin) ቃል ነው።   

1. በመከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ አንድ መስመር ከፈጅር (origin) ያለው ዣጭር ርቀት (shortest distance) p ነው እንበል። 
2. እንዲሁም ፈጅርን (origin) ከመስመሩ ጋር የሚያገኛነው ሩንጋ አፅቅ (perpendicular segment) ከወንታ x-ረቲድ (positive x-axis) ጋር የሚሰራው ዘዌ (angle) በኢሰዓትያ አቅጣጫ (anticlockwise direction) ሲለካ α ነው እንበል። 
3. በእሴቶች p እና α አንጻር የመስመሩ እኩልታ በሚከተለው የቀጤ መስመር እኩልታ ሩንጋ መልክ (normal form of equation of line) ወይም ባጭሩ የቀጤ መስመር ሩንጋ እኩልታ (normal equation of a line) በሚባል እኩልታ ይሰጣል።   

የቀጤ መስመር ሩንጋ እኩልታ (normal equation of a line) ርቸጋ (derivation) ማለትም አገኛኘት በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል።   

አጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ (General Linear Equation)

ከዚህ በላይ የተመለከትናቸው ሁሉም የቀጤ መስመሮች እኩልታወች (equations of lines) የሚከተለው አጠቃላይ ሃድቶናዊ እኩልታ (general linear equation) ልዩ ረገዶች (special cases) ናቸው።  እዚህ አጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ (general linear equation) ላይ A, B እና C ቋሚ ወናብ ቁጥሮች (constant real numbers) ናችው።  

1. የማናችውም ቀጤ መስመር እኩልታ (equation of straight line) በዚህ አጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ(general linear equation) መልክ ሊገለጽ ይችላል። 
2. በግልባጩ ደግሞ ባጠቃላይ ሃድቶና እኩልታ (general linear equation) መልክ ሊገለጽ የሚችል የማናቸውም እኩልታ (equation) ድቻፍ (graph) ሁልጊዜም ቀጤ መስመር (straight line) ነው። 
3. የቋሚ C እሴት ዳዶ (zero =0 ) ሲሆን፣ መስመሩ በፈጅር (origin) ላይ ያልፋል። 

ድርሞ (Summary)

ድርሞ (summary) ማለት ማጠቃለያ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ድምር የሚለውን ቃል በትንሹ በመለወጥ ነው።  ግሱም ሲረባ ደረመ (summarize)፣ ድርም (ድሩም) [summarized]፣ ደራሚ (summarizing)፣ ድረማ (summarization)፣ ድርመት፣ ድራሜ፣ ድራሞሽ እያለ ይሄዳል።  ድረማ እና ድራማ እንዳይምታቱብወት። 

summary = ድርሞ
summarize = ደረመ
summarization = ድረማ

የነጥብና የመስመር ዣጭር ርርቀት (Shortest Distance)

ያንድ መስመር እኩልታ ባጠቃላይ ሃድቶናዊ እኩልታ (general linear equation) መልክ ከተገለጸ፣ በመስመሩ  እና መስመሩ ላይ በማይውል ነጥብ (point not on the line) መካከል ያለው ዣጭር ርቀት (shortest distance) በሚከተለው ቀመር (formula) ይሰጣል።

በዚህ አጠቃላይ ቀመር (general formula) መሠረት፣ ማናቸውም መስመር ከፈጅር (origin) ያለው ዣጭር ርቀት (shortest distance) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል።

የነጥብና የመስመር ዣጭር ርርቀት (shortest distance) ቀመር (formula) ርቸጋ (derivation) ማለትም አገኛኘት በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል። 

የሁለት መስመሮች ምስባር ነጥብ እና ምስባር ዘዌ

የሁለት መስመሮች እኩልታወች በምስባር-ዘበግ መልክ (intercept-slope form) ከተሰጡ፣ የመስመሩቹ ምስባር ነጥብ (intersection point) ማለትም መስመሮቹ የሚቆራረጡበት ነጠብ፣ እንዲሁም ምስባር ዘዌ (intersection angle) ማለትም መስመሮቹ  ምስባር ነጥብ (intersection point) ላይ የሚሠሩት ዘዌ (angle) በሚከተሉት ቀመሮች ይሰጣሉ። 

የኩልኩት መስመሮች ርርቀት

በሁለት ኩልኩት መስመሮች (parallel lines) መካከል ያለው ርርቀት (distance) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል።

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com