ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) ክፍል 7፤ ኦላጋን (Part 7: Hyperbola)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 7) በቀደሙት ሁሉም ክፍሎች (ማለትም ከፍል 1 እስክ 6)  ላይ የተመሠረተ ስለሆነ፣ ይህን ጦማር ከማንበብወ በፊት የሚቀድሙትን ስድስት ክፍሎች ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ኦላጋን (Hyperbola) እና ኦላጋኖይድ (Hyperboloid)

1. ኦላጋን (hyperbola) ማለት ሁለት ቅርንጫፎች (two branches) ያሉት፣ እያንዳንዱ ቅርንጫፍ ደግሞ ልክ እንደ ኦሊጋን (parabola) እየሰፋ የሚሄድ የገበታ ቅርጽ ያለው ቂሳሲናዊ ሱርፊክ (geometrical figure) ነው። 
2. ኦሊጋን (parabola) ከሚለው ቃለ ኦሊጋኖይድ (paraboloid)፣ ፉንባ (ellipse) ከሚለው ቃል ፉንቦይድ (ellipsoid) የሚሉትን ቃሎች እንደተገኙ ሁሉ፣ ኦላጋን (hyperbola) ከሚለው ቃል ደግሞ ኦላጋኖይድ (hyperboloid) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
3. ኦላጋኖይድ (hyperboloid) ማለት ማናቸውም ኦላጋን (hyperbola) በረቲዱ (axis) ላይ እንድ ሙሉ ዙር ሲሽከረከር (rotate) የሚጠርገው (sweep) ወይም የሚዳስሰው ጸጸፍ (surface) የሚሠራው ቅርጽ ማለት ነው።      

የኦላጋን አቲኮች (Foci)፣ ፊጣወች (Vertices) እና መሀል (Center)

1. ኦሊጋን (parabola) ሲባል አቲክ (focus) የሚባል ከኦሊጋኑ ጋር ይተጎዳኘ (associated) ልዩ  ነጥብ (special point) እንዳለው ሁሉ፣ እያንዳንዱ የኦላጋን ቅርንጫፍም (each branch of hyperbola) ከቅርንጫፉ ጋር የተጎዳኘ የራሱ አቲክ (focus) አለው። 
2.  ስለዚህም ኦላጋን (hyperbola) ሲባል ልክ እንደ ፉንባ (ellipse) ሁለት አቲኮች (two foci) አሉት ማለት ነው። 
3. ኦሊጋን (hyperbola) ሲባል ፊጣ (vertex) የሚባል ለኦሊጋኑ አቲክ (focus) ዠቅርብ (closest) የሆነ በኦሊጋኑ ላይ የሚውል ልዩ ነጥብ (special point) እንዳለው ሁሉ፣ እያንዳንዱ የኦላጋን ቅርንጫፍም (each branch of hyperbola) ለአቲኩ (focus) ዠቅርብ (closest) የሆነ፣ በቅርንጫፉ ላይ የሚውል የራሱ ፊጣ (vertex) አለው። 
4. ስለዚህም ኦላጋን (hyperbola) ሲባል ልክ እንደ ፉንባ (ellipse) ሁለት ፊጣወች (two vertices) አሉት ማለት ነው።  
5. የፉንባን (ellipse) ሁለቱን አቲኮች (foci) በሚያገናኘው የቀጤ መስመር ዐጽቅ (straight line segment) መሃል ላይ የሚገኘው መሃል ነጥብ (midpoint) የፉንባው መሃል (center ellipse) እንደሚባል ሁሉ፣ የኦላጋንን (hyperbola) ሁለቱን አቲኮች (two foci) በሚያገናኘው የቀጤ መስመር ዐጽቅ (straight line segment) መሃል (center) ላይ የሚገኘው መሃል ነጥብ (midpoint) ደግሞ የኦላጋኑ መሃል (center hyperbola) ይባላል።  

የኦላጋን አቲኮች ርርቀት እና ፊጣወች ርርቀት

1. የፉንባ (ellipse) አቲኮች (foci) የሚገኙት ከፉንባው መሀል (center) እኩል ርቀቶች (equal distances) ላይ እንደሆነ ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola) አቲኮችም (foci) የሚገኙት ከኦላጋኑ መሀል (center) እኩል ርቀቶች (equal distances) ላይ ነው። 
2. የፉንባ (ellipse) አቲኮች (foci) ከፉንባው መሀል (center) ያላቸው ርርቀት (distance) በፊደል (letter) c እንደሚወከል ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola) አቲኮችም (foci) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያላቸው ርርቀት (distance) በፊደል (letter) c ይወከላል። 
3. ስለዚህም በፉንባ አቲኮች (foci of ellipse) መሀል ያለው ርርቀት (distance) 2c እንደሆነ ሁሉ፣ በኦላጋን አቲኮች (foci of hyperbola) መሀል ያለው ርርቀትም (distance) 2c ነው። 
4. የፉንባ (ellipse) ፊጣወች (foci) የሚገኙት ከፉንባው መሀል (center) እኩል ርቀቶች (equal distances) ላይ እንደሆነ ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola) ፊጣወችም (foci) የሚገኙት ከኦላጋኑ መሀል (center) እኩል ርቀቶች (equal distances) ላይ ነው። 
5. የፉንባ (ellipse) ፊጣወች (foci) ከፉንባው መሀል (center) ያላቸው ርርቀት (distance) በፊደል (letter) a እንደሚወከል ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola) ፊጣወችም (foci) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያላቸው ርርቀት (distance) በፊደል (letter) aይወከላል።
6. ስለዚህም፣ በፉንባ ፊጣወች (foci of ellipse) መሀል ያለው ርርቀት (distance) 2a እንደሆነ ሁሉ፣ በኦላጋን ፊጣወች (foci of hyperbola) መሀል ያለው ርርቀትም (distance) 2a ነው። 
7. የፉንባ (ellipse) አቲኮች ርርቀት (distance between foci) ከፉንባው ፊጣወች ርርቀት (distance between vertices) ያነሰ ስለሆነ፣ ለፉንባ ሲሆን c < a ነው። 
8. የኦላጋን (hyperbola) አቲኮች ርርቀት (distance between foci) ከፉንባው ፊጣወች ርርቀት (distance between vertices) የበለጠ ስለሆነ፣ ለኦላጋን ሲሆን c > a ነው። 

የኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (Transverse Axis) እና ጎባን ረቲድ (Conjugate Axis)

1. በፉንባ (ellipse) ሁለቱም አቲኮች (foci) እና ሁለቱም ፊጣወች (vertices) እንዲሁም በፉንባው መሀል (center) ላይ የሚያልፍ መስመር የፉንባው ዐብይ ረቲድ (major axis) እንደሚባል ሁሉ፣ በኦላጋን (hyperbola) ሁለቱም አቲኮችና (focus) ሁለቱም ፊጣወች (vertices) እንዲሁም በኦላጋኑ መሀል (center) ላይ የሚያልፍ መስመር ደግሞ የኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ይባላል።  ገዛሚ (transverse) የሚለው ቃል የተገኘው ገዘመ (ማለትም ቆረጠ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው፣ ገዝሙ እንዲሉ ቆራጩ፣ ፈላጩ ሊሉ።   
2. በፉንባ (ellipse) መሃል (center) ላይ የሚያልፍና ለፉንባው ዐብይ ረቲድ (transverse axis) ሩንጋ (perpendicular) የሆነ፣ ማለትም ከፉንባው ዐብይ ረቲድ ጋር 90^o ዘዌ (angle) የሚሠራ ቀጤ መስመር (straight line) የፉንባው ንዑስ ረቲድ (semi-major axis) እንደሚባል ሁሉ፣ በኦላጋን መሃል (center) ላይ የሚያልፍና ለኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ሩንጋ (perpendicular) የሆነ፣ ማለትም ከኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ ጋር 90^o ዘዌ (angle) የሚሠራ ቀጤ መስመር (straight line) ደግሞ የኦላጋኑ ጎባን ረቲድ (conjugate axis) ይባላል።  ጎባን (conjugate) የሚለው ቃል የተገኘው ጎባን (የሰው ሚስት ያገባ፣ ጣውንት) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። 

የኦላጋን ንፍቀገዛሚ ረቲድ (Semi-transverse Axis)  

1. በፉንባ (ellipse) ፊጣወች (vertices) መካከል ያለው ርርቀት (distance) የፉንባው ዐብይ ረቲድ ርዝመት (length of major axis) ወይም ባጭሩ ዐብይ ረቲድ (major axis) እንደሚባል ሁሉ፣ በኦላጋን (hyperbola) ፊጣወች (vertices) መካከል ያለው ርርቀት (distance) ደግሞ የኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ ርዝመት (length of transverse axis) ወይም ባጭሩ ገዛሚ ረቲድ (transverse) ይባላል። 
2. የፉንባ (ellipse) ዐብይ ረቲድ (major axis) ግማሽ ንፍቃብይ ረቲድ (seim-major axis) እንደሚባል ሁሉ፣ የኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ግማሽ ደግሞ ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) ይባላል። 
3. የፉንባ (ellipse) ንፍቃብይ ረቲድ (semi-major) የፉንባው ፊጣወች (foci) ከፉንባው መሀል (center) ያላቸው ርቀት (distance) እንደሆነ ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola) ንፍቀገዛሚ ረቲድም (semi-transverse axis) የኦላጋኑ ፊጣወች (foci) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያላቸው ርቀት (distance) ነው።
4. የፉንባ (ellipes) ንፍቃብይ ረቲድ (semi-major axis) እሴት (value) በፊደል (letter) a እንደሚወከል ሁሉ፣ የኦላጋን (hyperbola ) ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) እሴትም (value) በፊደል (letter) a ይወከላል። 

ድሻር (Quotient) እና ርሻር (Ratio)

1. የሆስሌት መሠረታዊ ሁጀማወች (The Fundamental Operations of Algebra) በሚለው ጦማር ላይ እንደተመለከትነው ድርሻ ከሚለው በመነሳት ድሸራ (division) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. የድሸራ (division) ውጤት ማለትም በመደሸር (dividing) የሚገኝ እሴት ድሻር (quotient) ይባላል።
3. ሬሽዮ ከሚለው የንግሊዘኛ ቃል በመነሳትና ድሻር (divide) የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ደግሞ ርሻር (ratio) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
4. ርሻር (ratio) ከድሻር (quotient) ጋር ተምሳሳይ ስሌት (same calculation) ያለው ቢሆንም፣ አጠቃቀሙ ግን የተለየ ነው።
5. ርሻር (ratio) የሚያገለግለው እንደ ድሻር (quotient) የደሸራ ውጤትን (result of division) ለመወከል ሳይሆን፣ ንጽጽራዊ ትልቀትን (comparative size) ለመግለጽ ነው።

የኦላጋን ቀጀላዊ ሙለት (linear eccentricity) እና ሙለት  (eccentricity)  

1. የኦላጋን አቲክ (focus) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያለው ርቀት (distance) በፊደል c እንደሚወከል አይተናል።  ይህም ርቀት የኦላጋኑ ቀጀላዊ ሙለት (linear eccentricity) ይባላል። በሌላ አባባል የኦላጋን ቀጀላዊ ሙለት (linear eccentricity of hyperbola) ማለት በኦላጋን አቲኮች መካል ያለው ርቀት እኩሌታ ነው ማለት ነው።
2. በሌላ በኩል ደግሞ የኦላጋን ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) ማለት የኦላጋኑ ፊጣ (vertex) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያለው ርቀት (distance) ማለት እንደሆነና በፊደል (letter) c እንደሚወከል አይተናል። 
3. የኦላጋን ሙለት (eccentricity) ማለት የኦላጋኑ ቀጀላዊ ሙለት (linear eccentricty) እና የኦላጋኑ ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) ርሻር (ratio) ነው ተብሎ ይበየናል (defined)። 
4. በሌላ አባባል፣ የኦላጋን ሙለት (eccentricity) ማለት የኦላጋኑን ቀጀላዊ ሙለት (linear eccentricity) በኦላጋኑ ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) በመደሸር (divide) ማለትም በማካፈል የሚገኝ እሴት ነው። 
5. የኦላጋን ሙለት (eccentricity) ማለት የኦላጋኑን ኩርባወች (curve) ዘርጣጣነት የሚገልጽ እሴት ሲሆን፣ በፊደል (letter) e ይወከላል።

የማናቸውም የፉንባ (ellipse) ሙለት (eccentricity) ሁልጊዜም ከቶኮ ያነሰ (less than one, e < 1) እንደሆነ ሁሉ፣ የማናቸውም የኦላጋን (hyperbola) ሙለት (eccentricity) ደግሞ ሁልጊዜም ከቶኮ የበለጠ (greater than one, e >1) ነው።

ሸነክ (Asymptote)

1. ባማረኛ ሻ ማለት ፈለገ፣ ተመኘ ማለት ነው፣ ምን ትሻለህ፣ ምን ያሽሃል፣ ምን አሻህ እንዲሉ።  ይህን ቃል የማይነካ ከሚለው ቃል ጋር በማጣመር ደግሞ ሸነክ (asymptote) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. ሸነክ (asymptote) ማለት የሚሻ ነገር ግን የማይነካ ማለት ነው። 
3. የሸነክ (asymptote) ግስ ሲረባ ሸነከ፣ ሽንክ (ሽኑክ)፣ ሸናኪ፣ ሽነካ እያለ ሲሄድ የእንግሊዝኛ አቻ የለውም።  ሸነከ ማለት ሸነክ (asymptote) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ሽንክ (ሽኑክ) ማለት ደግሞ የተሸነክ ማለት ነው።
4. በሌላ አማረኛ ደግሞ ሸነከ ማለት ተነኮለ፣ አጠፋ ማለት ነው፣ ማሽንክ እንዲሉ፣ ተንኮለኛ፣ ሸረኛ ሊሉ። 
5. በሒሳብሲናዊ ትርጉሙ  (mathematical meaning) ደግሞ የኩርባ ሸነክ (asymptote of a curve) ማለት ኩርባው (curve) እየረዘመ በሄደ ቁጥር ይበልጥ እና ይበልጥ እየቀረበው (approach) የሚሄድ ነገር ግን በጭራሽ የማይነካው (touch) ወይም የማያቋርጠው (intersects) ቀጤ መስመር (straight line) ማለት ነው።    

የኦላጋን ሸነኮች (Asymptotes of Hyperbola)

የኦላጋን ሸነኮች (asymptotes) በኦላጋን መሃል (center) ላይ ተመሳበረው (intersect) ማለትም ተቆራርጠው የሚያልፉና፣ የኦላጋኑ ኩርባወች (curves) እየረዘሙ በሄዱ ቁጥር እየቀርቧቸው የሚሄዱ፣ ነገር ግን የትም የማይነኳቸው ቀጤ መስመሮች (straight lines) ናቸው። 

የኦላጋን ዐበርፊጣወች (co-vertices) እና ንፍቀጎባን ረቲድ (semi-conjugate axis) 

1. እያንዳንዱ የኦላጋን አቲክ (focus) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያለው ርቀት (distance) በፊደል (letter) c እንደሚወከል አይተናል።
2. በሌላ በኩል ደግሞ እያንዳንዱ የኦላጋን ፊጣ (vertex) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያለው ርቀት በፊደል (letter) a እንደሚወከል አይተናል።
3. በተጨማሪ ደግሞ ለማናቸውም ኦላጋን c > a እንደሆነ አይተናል።  

1. በኦላጋን ጎባን ረቲድ (conjugate axis) ላይ የሚገኙ ከኦላጋኑ መሀል (cener) ያላቸው ርቀት የሆነ ነጥቦች (points)፣ የኦላጋኑ ዐበርፊጣወች (co-vertices, covertices) ይባላሉ።  
2. የኦላጋን ዐበርፊጣወች (covertices) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያላቸው ርቀት (distance) ማለትም $b=\sqrt{c^2 – b^2}$ ደግሞ የኦላጋኑ ንፍቀጎባን ረቲድ (semi-conjugate axis) ይባላል። 

የኦላጋን ዐብርፊጣወች (covertices) በኦላጋኑ ላይ የሚውሉ ነጥቦች ባይሆኑም፣ ኦላጋኑን እና የኦላጋኑን ሸነኮች (asymptotes) ለመሳል የሚረዳውን መሀላዊ ሩንጌራብ (central rectangle) ለመወሰን ይረዳሉ።

የኦላጋን ብያኔ (Definition of Hyperbola) በኦላጋን ቋሚ (Constant of Hyperbola)

1. በክብ (circle) ብያኔ (definition) መሠረት ክብ (circle) ማለት መሃል (center) ከሚባል አንድ ነጥብ ያላቸው ርቀት እኩል የሆነ የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ማለትም ባንድ ሰቴ (one plane) ላይ የሚውሉ ነጥቦች ኢዶ (locus) ነው።   በሌላ አባባል ክብ ማለት መሃል ከሚባል አንድ ነጥብ ያላቸው ርቀት ቋሚ (constant) የሆነ የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ ነው። 
2. በፉንባ (ellipse) ብያኔ (definition) መሠረት ፉንባ (ellipse) ማለት አቲኮች (foci) ከሚባሉ ሁለት ነጥቦች ያሏቸው ርቀቶች ድምር ቋሚ (constant) የሆነና ከአቲኮች ርርቀት የበለጠ (larger than distance between the foci) የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ነው።
3. በተመሳሳይ መንገድ ኦላጋን (hyperbola) ማለት አቲኮች (foci) ከሚባሉ ሁለት ነጥቦች ያሏቸው ርቀቶች ልዩነት (difference) ፍጹም እሴት (absolute value) ማለትም ወንታ እሴት (positive value) ቋሚ (constant) የሆነና ከአቲኮች ርርቀት ያነሰ (smaller than the distance between foci) የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ነው።
4. የኦላጋን ነጥብ ከኦላጋን አቲኮች (foci) ያሉት ርቀቶች ልዩነት (difference in distances) ለሁሉም የኦላጋኑ ነጥቦች እኩል (equal) ስለሆነ፣  የኦላጋኑ ቋሚ (constant of the hyperbola) ይባላል።  የሚወከለው ደግሞ በግሪክ በፊደል (letter) α ነው።

የኦላጋን ቋሚ (Constant of Hyperbola) እና የኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (Transverse Axis)

1. በኦላጋን ብያኔ (definition of hyperbola) መሠረት የኦላጋን ነጥብ ከኦላጋኑ አቲኮች (foci) ያሉት ርቀቶች ልዩነት (difference in distances) ለሁሉም የኦላጋኑ ነጥቦች እኩል ነው። 
2. በሌላ አባባል የኦላጋን ነጥቦች ከኦላጋኑ አቲኮች (foci) ያሏቸው ርቀቶች ልዩነት (difference in distances) ለሁሉም የኦላጋኑ ነጥቦች ቋሚ (constant) ነው። 
3. ይህም ቋሚ እሴት የኦላጋኑ ቋሚ (constant of the hyperbola) ሲባል በፊደል (letter) α ይወከላል።
4. በሌላ በኩል ደግሞ የኦላጋን ፊጣ (vertex) ከኦላጋኑ መሀል (center) ያለው ርቀት የኦላጋኑ ንፍቀገዛሚ ረቲድ (semi-transverse axis) እንደሚባለና በፊደል (letter) a እንደሚወከል፣  በተጨማሪ ደግሞ በኦላጋን ፊጣወች (vertices) መካከል ያለው ርርቀት የኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) እንደሚባልና እሴቱ 2a እንደሆነ አይተናል።
5. የኦላጋን ቋሚ (constant of hyperbola) ከኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ጋር እኩል (equal) ነው፣ ማለትም α = 2a ነው።
6. በሌላ አባባል የኦላጋን ቋሚ (constant of hyperbola) በኦላጋን ፊጣወች መካከል ያለው ርርቀት (distance of vertices) ነው። 
7. አሁንም በሌላ አባባል፣ በአላጋን ላይ የሚገኙ እያንዳንዳቸው ነጥቦች ከኦላጋኑ አቲኮች ያሏቸው ርቀቶች ልዩነት፣ በኦላጋኑ ፊጣወች መካከል ካለው ርርቀት ጋር እኩል ነው። 
8. የኦላጋን ቋሚ (constant of hyperbola) ከኦላጋኑ ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ጋር እኩል (equal) መሆኑን፣ ማለትም α = 2a መሆኑን፣ የኦላጋኑ ነጥቦች የሆኑትን (ማለትም በኦላጋኑ ላይ የሚውሉትን) የኦላጋኑን ፊጣወች (vertices of the hyperbola) በኦላጋን ብያኔ (definition of hyperbola) መሠረት በመተንተን (analyze) እንደሚከተለው ማሳየት ይቻላል። 

የኦላጋን ብያኔ (Definition of Hyperbola) በኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (Transverse Axis)

1. የኦላጋን ቋሚ (constant of hyperbola) ከኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ማለት በኦላጋን ፊጣወች ማካከል ካለው ርርቀት (distances between vertices) ጋር እኩል (equal) እንደሆነ አይተናል።
2. ስለዚህም የኦላጋን ብያኔ (definition of hyperbola) በኦላጋን ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) አንጻር ሲገለጽ የሚከተለውን መልክ ይይዛል። 

አፈቀኝግራ እና አፈላይታች ኦላጋኖች

1. የሁለቱ ቅርንጫፎቹ (branches) አፎች ቀጥታ ወደ ቀኝ እና ቀጥታ ወደ ግራ የተከፈቱ ኦላጋን (hyperbola) አፈቀኝግራ ኦላጋን ይባላል።  በሌላ አባባል አፈቀኝግራ ኦላጋን ማለት ገዛሚ ረቲዱ (transverse axis) ማለትም የአቲኮች መስመር (line of foci) አገዳሚ (horizontal) የሆነ ኦላጋን (hyperbola) ማለት ነው። 
2. የሁለቱ ቅርንጫፎቹ (branches) አፎች ቀጥታ ወደ ላይ እና ቀጥታ ወደ ታች የተከፈቱ ኦላጋን (hyperbola) አፈላይታች ኦላጋን ይባላል።  በሌላ አባባል አፈላይታች ኦላጋን ማለት ገዛሚ ረቲዱ (transverse axis) ማለትም የአቲኮች መስመር (line of foci) ወርጃሚ (vertical) የሆነ ኦላጋን (hyperbola) ማለት ነው። 

ያፈቀኝግራ ኦላጋን ልዩ ደርከኛ እኩልታ (Special Standard Equation)

በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ ያፈቀኝግራ ኦላጋንን (hyperbola with horizontal line of foci ) ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation)  ለማግኘት

1. የኦላጋኑ መሀል (center) የቀንጅ ስርካቱ ፈጅር (origin) ማለትም (0, 0) ላይ እንዲሆን ይደረጋል፣
2. የፉንባው ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ደግሞ ከቀንጅ ስርካቱ x-ረቲድ (x-axis) ላይ እንዲውል ይደረጋል።

እኒህን በማድረግ የሚገኘው የኦላጋኑ ልዩ ደርከኛ እኩልታ ደግሞ በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

ያፈቀኝግራ ኦላጋን (hyperbola with horizontal line of foci) እኩልታ ከአግዳሚ ፉንባ (horizontal ellipse) እኩልታ ጋር ያለው ምስስለት እና ልዩነት በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል። 

ያፈቀኝግራ ኦላጋን እኩልታ (hyperbola with horizontal line of foci) አረቻቸግ (derivation) ማለትም አገኛኘት ደግሞ በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ በግርድፉ (ማለትም ባጭሩ) ተመልክቷል።  ዝርዝሩ ደግሞ ኪስ ስለሚቀድ ላንባቢ ተትቷል። 

ያፈላይታች ኦላጋን ልዩ ደርከኛ እኩልታ (Special Standard Equation)

በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ ያፈላይታች ኦላጋንን (hyperbola with vertical line of foci ) ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation)  ለማግኘት

1. የኦላጋኑ መሀል (center) የቀንጅ ስርካቱ ፈጅር (origin) ማለትም (0, 0) ላይ እንዲሆን ይደረጋል፣
2. የፉንባው ገዛሚ ረቲድ (transverse axis) ደግሞ ከቀንጅ ስርካቱ y-ረቲድ (y-axis) ላይ እንዲውል ይደረጋል።

እኒህን በማድረግ የሚገኘው የኦላጋኑ ልዩ ደርከኛ እኩልታ ደግሞ በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

ያፈላይታች ኦላጋን (hyperbola with vertical line of foci) እኩልታ ከወርጃሚ ፉንባ (vertical ellipse) እኩልታ ጋር ያለው ምስስለት እና ልዩነት በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል። 

የረቲዶች ትመት  (Translation of Axes)

1. የቀንጅ ስርካትን (coordinate system) በተመለከተ የረቲዶች ትመት (translation of axis) ማለት የስርካቱን ረቲዶች (axes) ቅጅለታቸውን ሳይቀይሩ ቅምጠታቸውን ብቻ በመቀየር (changing position without changing orientation) ማሖስ (move) ማለትም ማንቀሳቀስ ማለት ነው። 
2. በሌላ አባባል የረቲዶች ትመት (translation of axes) ማለት የቀንጅ ስርካት ረቲዶችን (axes) አቅጣጫቸውን ሳይቀይሩ የስርካቱን ፈጅር (origin) ብቻ ማንፏቀቅ ማለት ነው።    

የኦላጋን አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (General Standard Equation)

ፊጣው (vertex) ፈጅር (origin) ማለትም (0, 0) ሳይሆን ሌላ ማናቸውም የዘፈቀደ (arbitrary) ነጥብ (h, k) ላይ የሆነ  አፈቀኝግራ ኦላጋን (hyperbola with horizontal line of foci) ወይም አፈላይታች ኦላጋን (hyperbola with vertical line of foci) ያለውን እኩልታ (equation) ለማግኘት፣

1. የረቲዶቸን ትመት (translation of axes) በመጠቀም ፊጣው (vertex) (h, k) ላይ የሆነ አዲስ ቀንጅ ስርካት (new coordinate system) ማለትም x’y’ ቀንጅ ስርካት (x’y’ coordinate system) እንመሰርታለን።
2. በዚህ አዲስ ቀንጅ ስርካት (new coordinate system) ቀንጆች (coordinates) ማለትም x’ እና y’ አንጻር የኦላጋኑን ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation) እናገኛለን።
3. የረቲዶች ትመት (translation of axes) ቀመሮችን (formulas) ማለትም (x = x’ + h  እና y = y’ + k ) በመጠቀም በቀንጆች x’ እና y’ የተጻፈውን እኩልታ በቀንጆች x እና y እንጽፈዋለን። 
4. በዚህ ዘዴ የተገኘ፣ ፊጣው ፈጅር (origin) ላይ ብቻ ሳይሆን ማናቸውም የዘፈቀደ ነጥብ (arbitrary point) ላይ ሊሆን የሚችል አፈቀኝግራ ወይም አፈላይታች ኦላጋን ያለው እኩልታ አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation) ይባላል። 

ምሳሌ፣ የሚከተለውን ኦላጋን (hyperbola) ንፍቀገዛሚ ረቲድ (transverse axis)፣ ንፍቀጎባን ረቲድ (conjugate axis)፣ መሀል (center)፣ አቲኮች (foci)፣ ፊጣወች (vertices)፣ ዐበርፊጣወች (co-vertices) እና ነሻኖች (asymptotes) ፈልግ። 

ምሳሌ፣ የሚከተለውን ኦላጋን (hyperbola) ንፍቀገዛሚ ረቲድ (transverse axis)፣ ንፍቀጎባን ረቲድ (conjugate axis)፣ መሀል (center)፣ አቲኮች (foci)፣ ፊጣወች (vertices)፣ ዐበርፊጣወች (co-vertices) እና ነሻኖች (asymptotes) ፈልግ። 

የረቲዶች ፉረት  (Rotation of Axes)

የሚከተለውን ባለሁለት ጉለም እኩልታ (second degree equation) እናጢን። 

1. ይህ እኩልታ የሚወክለው ኦላጋን (hyperbola) ይሁን፣ አይሁን ለማወቅ፣ እኩልታውን በኦላጋን አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation of hyperbola) መልክ ሊጻፍ ይችል አይችል እንደሆን ማወቅ አለብን። 
2. ይህን ለማወቅ ደግሞ በእኩልታው ውስጥ የሚገኘውን x እና y የሚበዘሩበትን (ማለትም የሚባዙበትን)  ቅይጥ ብዜር (mixed product) ማለትም Bxy ከእኩልታው ውስጥ ማስወገድ አለብን።
3. ይህን ቅይጥ ብዜር (mixed product) ከእኩልታው ውስጥ ለማስወገድ ደግሞ በሚከተለው ሱርፊክ ላይ እንደተመለከተው xy ቀንጅ ስርካትን (xy coordinate system) በፈጅሩ (origin) ዙርያ በማፉረር (rotate) የምናገኘውን አዲስ x’y’ ቀንጅ ስርካት (x’y’ coordinate system) መጠቀም አለብን። 

ቅይጥ ብዜሩን (mixed product) ለማስወገድ የሚያስፈልገው የፉረት ዘዌ  (rotation angle) መጠን በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ በተመለከተው ቀመር (formula) ይሰላል።

የቶቢናፎች ግመና ገንጊሳ  (Identification Theorem of Conics)

1. ገመና (identity) ማለት ማንነት ወይም ምንነት ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ገመና (ከሰው የሚደበቀ የራስ ሚስጥር) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ ገመነ (identify)፣ ግምን (ግሙን) [identified]፣ ገማኒ (ገማኝ) (identifier)፣ ግመና (identification, identifying) እያለ ይሄዳል።  ግመና (identification, identifying) ማለት ገመናን (identity) ማወቅ፣ ማንነትን መለየት ማለት ነው።   
2. ቶቢናፎች በጥቅል (Conics in General) በሚለው ጦማር ላይ (ማለትም ክፍል 4 ላይ) እንደተመለከትነው፣ ማናቸውም ክሌቶቢን (double cone) በሰቴ (plane) ሲቆረጥ ቶቢናፍ (conic) ወይም ቦሰቃ ቶቢናፍ (degenerate conic) ይመሰረታል። 
3. ቶቢናፍ (conic) ማለት ክብ (circle)፣ ፉንባ (ellipse)፣ ኦሊጋን (parabola) ወይም ኦላጋን (hyperbola) ማለት ሲሆን፣ ቦሰቃ ቶቢናፍ (degenerate conic) ማለት ደግሞ ነጥብ (point)፣ ቀጤ መስመር (straight line) ወይም ተመሳባሪ ቀጤ መስመሮች (intersecting straight lines) ማለት ነው።
4. የሚከተለው ገንጊሳ (theorem) ቶቦናፎችን (conics) ለመለየት የሚያገለግል ገንጊሳ (theorem) ነው።  በዚህም ምክኒያት ገንጊሳው በልዩ ስም የቶቢናፎች ግመና ገንጊሳ (identification theorem of conics) ይባላል። 

ፈላይ (discriminant) የሚለው ቃል የተገኘው ፈለየ (ክፉውን ከበጎ ለየ) ከሚለው የግእዝ ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ፈለየ (discriminate)፣ ፍልይ (ፍሉይ) [discriminated]፣ ፈላይ (discriminator, discriminant)፣ ፍለያ (discrimination) እያለ ይሄዳል።

የቶቢናፍ እኩልታ ፉረታዊ አልጥወጣወች  (Rotational Invariances)

1. ጠዋጢ (variable) ማለት ተለዋዋጭ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ተለዋወጠ ከሚለው ነው።
2. ከዚህም አልጠዋጢ (invariant)፣ አልጠዋጢነት (invariance)፣ አልጥወጣ (invariance) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።  አልጠዋጢ (invariant) ማለት ጠዋጢ (variable) ያልሆነ ማለት ነው።
3. የጠዋጢ (variable) ግስ ሲረባ ጠወጠ (vary)፣ ጥውጥ (varied)፣ ጠዋጢ (varying, variable)፣ ጥወጣ (variation) እያለ ይሄዳል።  
4. የቶቢናፍ እኩልታ (equation of conic) ፈላይ (discriminant) የእኩልታውን መልክ ለመቀየር ሲባል በሚደረግ የረቲዶች ፉረት (rotation of axis) ሳቢያ እሴቱ (value) አይጠውጠም (does not change) ማለትም አይቀየረም። 
5. በዚህም ምክኒያት ፈላዩ (discriminant) ከረቲዶች ፉረት አንጻር አልጠዋጢ ነው (invariant under rotation of axes) ይባላል።
6. በተጨማሪ ደግሞ በቶቢናፍ እኩልታ (equation of conic) ውስጥ የሚገኙት የካልቶና ቂራጎች (squared terms) ቆኒካወች (coefficients) ድምር (ማለትም A + C ) ፉረታዊ አልጥውጥ (rotational invariant) ነው፣ ማለትም ፉረቱ የድምሩን እሴት አይለውጠውም።

ፉረታዊ አልጥውጥ (rotationally invariant) እሴቶች (values)

1. በረቲዶች ፉረት (rotation of axes) የተገኘው አዲስ አኩልታ (new equation) ትክክለኛ (correct) መሆን አለመሆኑን ለማመሳከር (check) ያገለግላሉ። 
2. ፉረታዊ አልጥወጣን (rotational invariance) $A’ + C’ = A + C$ በተመለከተ ደግሞ ከ A’ እና C’ አንደኛው ከታወቀ ሌላኛውን ለማወቅ ያገለግላሉ።   

ቅይጥ ብዜር አልባ ካልቶና እኩልታ (Quadratic Equation Without Mixed Product)

ቅይጥ ብዜር (mixed product) የሌለው አጠቃላይ ካልቶና እኩልታ (general quadratic equation) ወይም ደግሞ ቅይጥ ብዜሩ (mixed product) በረቲዶች ፉረት (rotation of axes) አማካኝነት የተወገደለት አጠቃላይ ካልቶና እኩልታ (general quadratic equation) በሚከተለው መልክ ሊጻፍ ይችላል።

ይህ አጠቃላይ እኩልታ ባጠቃላይ የሚወክለው ቶቢናፎችን [conics] (ማለትም ኮቦችን፣ ፉንባወችን፣ ኦሊጋኖችን ወይም አላጋኖችን) ወይም ደግሞ ቦሰቃ ቶቢናፎችን [degenerate conics] (ማለትም መስመሮችን እና ነጥቦችን) ሲሆን፣  የቶቢናፎቹ ዓይነት ደግሞ የ x² ቆንካ (coefficient) እና የ y² ቆንካ (coefficient) ማለትም A እና C ባሏቸው እሴቶች (values) ላይ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል ወይም ይወሰናል።  

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com