ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ከፍል 1፤ ገበቃወችና የገበቃወች ድመራ (Part 1: Matrices & Matrix Addition)

ቄጠማ (Linear) እና አልቄጠማ (Nonlinear)

ቀጠ ያለ ከሚለው ቄጠማ (linear) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ቀጠመ (linearize)፣ ቅጥም (ቅጡም) [linearized]፣ ቀጣሚ [linearizing]፣ ቅጠማ (linearization) እያለ ይሄዳል።
ቄጠማ (linear) ከሚለው ቃል አልቄጠማ (nonlinear) የሚለውን ቃል እናገኛለን። አልቄጠማ (nonlinear) ማለት ቄጠማ (linear) ያልሆነ ማለት ነው። ቄጠማ እና አልቄጠማ ከሚሉት ቃሎች ደግሞ የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን።

linear = ቄጠማ፣ ቄጠማዊ
linear system = ቄጠማ ስርካት
linear analysis = ቄጠማ ትንተና
linear equation = ቄጠማ እኩልታ
linearize = ቀጠመ
nonlinear = አልቄጠማ
nonlinear system = አልቄጠማ ስርካት
nonlinear equation = አልቄጠማ እኩልታ

ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra)

አሃዝ (ቁጥር) እና ስሌት ከሚሉት አስሌት (arithmetic)፣ አስሌታዊ (arithmetical)፣ አስሌተኛ (arithmetician) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።
በተመሳሳይ መንገድ ሆሄ (ፈደል) እና ስሌት ከሚሉት ሆስሌት (algebra)፣ ሆስሌታዊ (algebraic, algebraical)፣ ሆስሌተኛ (algebraist) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።
ቄጠማ ሆስሌት (linear algebra) ማለት የቄጠማ እኩልታወች ስርካቶች (systems of linear equations) የሚተነተኑበት (analyze) የሒሳብሲን ዘርፍ (branch of mathematics) ነው።

arithmetic = አስሌት፣ አሃሲን
algebra = ሆስሌት
linear algebra = ቄጠማ ሆስሌት

ምልክት (Sign) እና ወመል (Symbol)

ምልክት (sign) ማለት ለማመልከት የሚያገለግል ማለት ነው፣ የእኩልነት ምልክት (equality sign)፣ የመደመር ምልክት (addition sign)፣ የመቀነስ ምልክት (subtraction sign) እንዲሉ።
ወካይ ምልክት ከሚለው ሐረግ ወመል (symbol) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ወመል (symbol) ከምልክት (sign) ጋር ተመሳሳይነት ያለውና አብዛኛውን ጊዜ የሚተካካ (interchangeable) ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወመለ (symbolize)፣ ውምል (symbolized)፣ ወማሊ (ወማይ) [symbolizer]፣ ውመላ (symbolization) እያለ ይሄዳል።
ወመለ (symbolize) ማለት ወመል (symbol) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ውምል (symbolized) ማለት ደግሞ የተወመለ ማለትም ወመል (symbol) የተደረገ ማለት ነው።

sign = ምልክት
symbol = ወመል
symbolize = ወመለ
symbolization = ውመላ

ቅንፍ (parenthesis)፣ ሐንፍ (brace) እና ሳንፍ (bracket)

ቅንፍ የሚለው ያማረኛ ቃል parenthesis የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። ግሱም ሲረባ ቀነፈ፣ ቅኑፍ፣ ቀናፊ፣ ቅነፋ እያለ ይሄዳል። ቀነፈ ማለት ቅንፍ ሠራ ማለት ሲሆን፣ ቅኑፍ ማለት ደግሞ የተቀነፈ ማለት ነው።
ሐረግ እና ቅንፍ ከሚሉት ቃሎች ሐንፍ (brace) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ሐነፈ፣ ሕንፍ (ሕርኑፍ)፣ ሐናፊ፣ ሕነፋ እያለ ይሄዳል።
ሳጥን እና ቅንፍ ከሚሉት ሳንፍ (bracket) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ሳንፍ ፣ ሳኑፍ ፣ ሳናፊ፣ ሳነፋ እያለ ይሄዳል። የሳንፍ እርባታ ከሰነፍ እርባታ ጋር እንዳይምታታብወት።
ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ ቅንፍን ለራሱ ለቅንፍ፣ ለሐንፍ እና ለሳንፍ እንደ ወል ስም (የጋራ ስም) እንጠቀምበታለን። በሌላ አባባል ቅንፍ ስንል ራሱን ቅንፍ ወይም ሐንፍ ወይም ሳንፍ ማለታች ነው።
ሐንፍ እና ሳንፍ ልክ እንደ ቅንፍ ሲነበቡ ይጠበቃሉ፣ ማለትም /ሐንፍ\ እና /ሳንፍ\ ናቸው።

parenthesis = ቅንፍ
brace =ሐንፍ
bracket = ሕንፍ

ሰደር (order)፣ ረድፍ (row)እና ዐምድ (column)

ሰደረ (ደረደረ፣ በመደዳ አስቀመጠ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ሰደር (order) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ሰረባ ሰደረ (to order)፣ ስድር (ስዱር) [ordered]፣ ሰዳሪ (ordering)፣ ስደራ (ordering)፣ ስድረት፣ ስዳሬ፣ ስዳሮሽ እያለ ይሄዳል። ሰደረ (to order) ማለት ሰደር ሠራ እንደ ማለት ሲሆን፣ ስድር (ስዱር) [ordered] ማለት ደግሞ የተሰደረ ማለት ነው።
ባማረኛ በየረደፉ ማለት በየተራው ማለት ነው። ከዚህም ረድፍ (row) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ረደፈ፣ ርድፍ (ርዱፍ)፣ ርዳፊ፣ ርደፋ፣ ርድፈት፣ ርዳፌ፣ ርዳፎሽ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም (በንግሊዘኛ to row ማለት መቅዘፍ ማለት ነው) ። ረደፈ ማለት ረድፍ ሠራ እንደ ማለት ሲሆን፣ ርድፍ (ርዱፍ) ማለት ደግሞ የተረደፈ ማለት ነው።
ባማረኛ ዐምድ ማለት ምሰሶ ማለት ነው። ይህም ቃል column የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። ግሱም ሲረባ ዐመደ፣ ዕምድ (ዕሙድ)፣ ዐማዲ፣ ዕመዳ፣ ዕምደት፣ ዕማዴ፣ ዕማዶሽ እያለ ይሄዳል። ዐመደ ማለት ዐምድ ሠራ (ደገፈ፣ ተሸከመ) ማለት ሲሆን፣ ዕምድ (ዕሙድ) ማለት ደግሞ የታመደ ማለት ነው።

order = ሰደር
order (verb) = ሰደረ
ordered pair = ስድር ጥንድ
row = ረድፍ
row (verb) = ረደፈ
column = ዐምድ

ኒሳቅ (array) እና ገበቃ (matrix)

ኒሳቅ (array) ማለት በረድፍ (row) እና በዓምድ (column) የተደረደረ ድርድር እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ነሰቀ (ሰደረ፣ ደረደረ፣ ገጣጠመ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።
የኒሳቅ ግስ ሲረባ ነሰቀ (to array)፣ ንስቅ (ንሱቅ) [arrayed]፣ ነሳቂ (arraying)፣ ንሰቃ (arraying)፣ ንስቀት፣ ንሳቄ፣ ንሳቆሽ እያለ ይሄዳል። ነሰቀ (to array) ማለት ኒሳቅ ሠራ እንደማለት ሲሆን፣ ንስቅ (ንሱቅ) (arrayed) ማለት ደግሞ የተነሰቀ ማለት ነው።
ገበቃ (matrix) የሚለው ቃል የተገኘው ገበታ እና ሰደቃ ከሚሉት ቃሎች ነው። ባማረኛ ሰደቃ ማለት ሞሰብ ማለት ሲሆን፣ ባረበኛ ደግሞ ሰደቃ ማለት ለድሆች የሚቀርብ ምግብ ማለት ነው።
የገበቃ (matrix) ግስ ሲረባ ገበቀ፣ ግብቅ (ግቡቅ)፣ ገባቂ፣ ግበቃ፣ ግብቀት፣ ግባቄ፣ ግባቆ እያለ ሲሄድ፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም። ገበቀ ማለት ገበቃ ሠራ እንደማለት ሲሆን፣ ግብቅ (ግቡቅ) ማለት ደግሞ የተገበቀ ማለት ነው።

array = ኒሳቅ
array (verb) = ነሰቀ
matrix = ገበቃ
matrix (verb) = ገበቀ

ኤም በ ኤን ገበቃ (m by n matrix)

ገበቃ (matrix) ማለት በትልቅ ቅንፍ (large parenthesis) ወይም ትልቅ ሳንፍ (large bracket) የታቀፈ፣ በረድፎች (rows) እና ዐምዶች (columns) የተደረደረ የቁጥሮች እና የመሳሰሉት ሩንጌራባዊ ኒሳቅ (rectangular array) ማለት ነው።
የገበቃ ረድፎች ቁጥር (number of rows) በፊደል (letter) m ሲወከል፣ የገበቃው ዐምዶች ቁጥር (number of columns) ደግሞ በፊደል (letter) n ይወከላል።
የረድፎቹ ቁጥር (number of rows) m የዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) n የሆነ ገበቃ m x n matrix (ኤም በ ኤን ገበቃ) ይባላል።

የገበቃ ሚሃ (Dimension) ወይም ወርከፍ (Size)

ወርከፍ (size) ማለት መጠን፣ ግዝፈት፣ ትልቅነት ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ወርድ፣ ርዝመትና ከፈታ ከሚሉት ነው። ግሱም ሲረባ ወረከፈ፣ ውርክፍ፣ ወርካፊ፣ ውርከፋ እያለ ይሄዳል። ወረከፈ ማለት ወርከፍ ለካ እንደ ማለት ነው።
ሚሃ (dimension) ከወርከፍ (size) ጋር ተመሳሳይነት ያለው ቃል ሲሆን፣ የተገኘው ደግሞ ሃማ (መጠን) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው። ለምሳሌ ያህል ርዝመት (length) ብቻ ያለው መስመር (line) አንድ ሚሃዊ (one dimensional) ነው ይባላል፣ ርዝመት (length) እና ወርድ (width) ያለው ሰቴ (plane) ሁለት ሚሃዊ (two dimensional) ነው ይባላል፣ ርዝመት (length)፣ ወርድ (width) እና ከፍታ (height) ያለው ሳጥን (box) ደግሞ ሶስት ሚሃዊ (three dimensional) ነው ይባላል።
የገበቃ ረድፎች ቁጥር (number of rows) እና ዐምዶች ቁጥር (number of columns) ባንድነት የገበቃው ወርከፍ (size) ወይም ሚሃ (dimension) ይባላል።

size = ወርከፍ
size (verb) = ወረከፈ
dimension = ሚሃ
dimensional = ሚሃዊ፣ ሚሃም
one dimensional = አንድ ሚሃዊ፣ አንድ ሚሃም
two dimensional = ሁለት ሚሃዊ፣ ሁለት ሚሃም
three dimensional = ሦስት ሚሃዊ፣ ሦስት ሚሃም

እኩል ሚሃም ገበቃወች (Matrices of Equal Dimension)

ሁለት ገበቃወች (two matrices) እኩል ሚሃ (equal dimension) ወይም እኩል ወርከፍ (equal size) አላቸው የሚባለው፣ ወይም ደግሞ ገበቃወቹ እኩል ሚሃም ናቸው የሚባለው፣

የገበቃወቹ ረድፎች ቁጥሮች (number of rows) እኩል (equal) ከሆኑ፣ እንዲሁም
የገበቃወቹ ዐምዶች ቁጥሮች (number of columns) እኩል (equal) ከሆኑ ብቻ ነው።

ላዕላብ (Superscript) እና ታሕታብ (Subscript)

ባማረኛ ከተበ ማለት ጻፈ ማለት ሲሆን፣ ኪታብ ማለት ደግሞ ጽሑፍ ማለት ነው። ክትባት የሚለውም ቃል የተገኘው ከዚሁ ነው።
ላዕል (super) እና ኪታብ (script) ከሚሉት ላዕላብ (superscript) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ታሐት (sub) እና ኪታብ (script) ከሚሉት ደግሞ ታሕታብ (subscript) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ላዕላብ (superscript) ማለት ካናት በኩል የሚጻፍ ጽሑፍ እንደ ማለት ሲሆን፣ ታሕታብ (subscript) ማለት ደግሞ ከግር በኩል የሚጻፍ ጽሑፍ ማለት ነው።

የገበቃ ዐባሎች (elements) አሰያየም

የገበቃ ዐባሎች (elements of a matrix) የሚሰየሙት በሁለት ታሕታቦች (two subscripts) ነው።
የመጀመርያው ታሕታብ (first subscript) የሚወክለው ዐባሉ የሚገኝበትን ረድፍ (row) ነው።
ሁለተኛው ታሕታብ (second subscript) የሚወክለው ደግሞ ዐባሉ የሚገኝበትን ዐምድ (column) ነው።

ውልተባ (Correspondence)

ወል (የጋራ) እና ከተበ (ጻፈ) ከሚሉት ቃሎች ወለተበ (correspond) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ወለተበ ማለት ተመሳሰለ እንዲሁም ተጻጻፈ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወለተበ (correspond)፣ ውልትብ (ውልቱብ) [corresponded]፣ ወልታቢ (corresponding)፣ ውልተባ (corresponding)፣ ውልትበት፣ ውልታቤ፣ ውልታቦሽ እያለ ይሄዳለ።
ከዚህም ወልታቢ ዘዌወች (corresponding angles)፣ ወልታቢ አባል (corresponding member) እና የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።

correspond = ወለተበ
correspondence = ውልተባ
corresponding = ወልታቢ
corresponding angles = ወልታቢ ዘዌወች

የገበቃ ወልታቢ ዐባሎች (Corresponding members)

በሁለት ገበቃወች (two matrices) ውስጥ የሚገኙ ሁለት ዐባሎች (two elements) ወልታቢ ዐባሎች (corresponding elements) የሚባሉት

ገበቃወቹ እኩል ሚሃ (equal dimension) ካላቸው፣ ማለትም የገበቃወቹ ረድፎች ቁጥር እኩል (number of rows equal) እንዲሁም የገበቃወቹ ዐምዶች ቁጥር እኩል (number of columns equal) ከሆኑ
በተጨማሪ ደግሞ ያባሎቹ ታሕታቦች (subscripts) ያው (same) ከሆኑ፣ ማለትም ዐባሎቹ የሚገኙበት ረድፍ (row) እና ዐምድ (column) ያው (same) ከሆነ ብቻ ነው።

ሃዝተን (Scalar) እና ፍላስተን (Vector)

አሐዝ (ማለትም ቁጥር) ከሚለው የግእዝ ቃል ሐዝተን (scalar) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ፍላጻ (ማለትም ቀስት) ከሚለው ያማረኛና የግእዝ ቃል ደግሞ ፍላስተን (vector) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
በጉሲን (physics) እና በሒሳብሲን (mathematics) ውስጥ ሐዝተን (scalar) ማለት መጠን (amount) ብቻ ያለው አቅጣጫ (direction) ግን የሌለው ሙቀትን (temperature) የመሰለ ነገር ማለት ነው። በሌላ አባባል ሐዝተን ማለት በቁጥር ብቻ የሚገለጽ ነገር ማለት ነው። ስለዚህም ሐዝተን ስንል አንድ የተወሰነ ቁጥር ማለታችን ነው።
በሌላ በኩል ደግሞ ፍላስተን (vector) ማለት መጠንም (amount) አቅጣጫም (direction) ያለው ፍልሰትን (displacement) የመሰለ ነገር ማለት ነው።
ስለ ሐዝተን (scalar) እና ፍላስተን (vectors) ወደፊት በሌሎች ጦማሮች ላይ በሰፊው እናወሳለን። ላሁኑ ግን ቃሎቹን ብቻ ማወቅ በቂ ነው።

scalar = ሐዝተን
vector = ፍላስተን
row vector = ረድፍ ፍላስተን
column vector = ዐምድ ፍላስተን

ረድፍ ገበቃ እና ዐምድ ገበቃ

አንድ ረድፍ ብቻ (only one row) ያለው ገበቃ (matrix) ረድፍ ገበቃ (row matrix) ወይም ረድፍ ፍላስተን (row vector) ይባላል።
አንድ ዐምድ ብቻ (only one column) ያለው ገበቃ (matrix) ደግሞ ዐምድ ገበቃ (column matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (column vector) ይባላል።

row matrix (row vector) = ረድፍ ገበቃ፣ ረድፍ ፍላስተን
column matrix (column vector) = ዐምድ ገበቃ፣ ዐምድ ፍላስተን

ካልቶና ገበቃ እና ሩንጌራብ ገበቃ

የረዶፉች ቁጥር (number of rows) ከዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) ጋር እኩል የሆነ ገበቃ (matrix) ካልቶና ገበቃ (square matrix) ይባላል።
የረዶፉች ቁጥር (number of rows) ከዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) ጋር እኩል ያልሆነ ገበቃ (matrix) ደግሞ ሩንጌራብ ገበቃ (rectangular matrix) ይባላል።

square matrix = ካልቶና ገበቃ
rectangular matrix = ሩንጌራብ ገበቃ

ዳዶ ገበቃ (Zero Matrix, Null Matrix)

ሁሉም ዐባሎቹ ዳዶ (zero=0) የሆኑ ገበቃ (matrix) ዳዶ ገበቃ (zero matrix, null matrix) ይባላል።
የረድፎቹ ቁጥር (number of rows) m የዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) ደግሞ n የሆነ ዳዶ ገበቃ (zero matrix) በወመል (symbol) 0_mxn ይወከላል።
የዳዶ ገበቃ (zero matrix) ሚሃወች (dimensions) ማለትም m እና n በውስጠ ታዋቂ ግልጽ ከሆኑ ደግሞ ገበቃው ያለ ታሕታብ (without subscript) በወመል (symbol) 0 ብቻ ይወክላል።

የገበቃወች እኩልነት (Equality of Matrices)

ገበቃ (matrix) A ከገበቃ B ጋር እክል ነው (equal with matrix A) የሚባለው፣

ከገበቃ A ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ካለው፣ ማለትም እኩል የረድፎች ቁጥር (equal number of rows) እና እኩል የዐምዶች ቁጥር (equal number of columns) ካለው።
በተጨማሪ ደግሞ እያንዳንዳቸው የገበቃ B ዐባሎች (members) ከገበቃ A ወልታቢ ዐባሎች (corresponding members) ጋር እኩል (equal) ከሆኑ ብቻና ብቻ ነው።

ገበቃ B ከገበቃ A ጋር እኩል (equal) ከሆነ B = A ተብሎ ይጻፋል።

የገበቃ ሉታ (Negative of a Matrix)

ገበቃ (matrix) B የገበቃ A ሉታ (negative of matix A) ነው የሚባለው፣

ከገበቃ A ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ካለው፣ ማለትም እኩል የረድፎች ቁጥር (equal number of rows) እና እኩል የዐምዶች ቁጥር (equal number of columns) ካለው።
በተጨማሪ ደግሞ እያንዳንዳቸው የገበቃ A ዐባሎች (members) የገበቃ ወልታቢ ዐባሎች (corresponding members) ሉታወች (negatives) ከሆኑ ብቻና ብቻ ነው።

ገበቃ B የገበቃ A ሉታ (negative) ከሆነ B = -A ተብሎ ይጻፋል።

የገበቃወች ድመራ (Addition of Matrices)

ሁለት ገበቃወች (matrices) ሊደመሩ (added) የሚችሉት እኩል ሚሃ (equal dimension) ካላቸው፣ ማለትም እኩል የረድፎች ቁጥር (equal number of rows) እና እኩል የዐምዶች ቁጥር (equal number of columns) ካላቸው ብቻ ነው።
የገበቃወቹ ድምር (sum) የሚገኘው ደግሞ ወልታቢ ዐባሎቻቸውን (corresponding members) በመደመር (add) ነው።
የኤም በ ኤን ገበቃወች ድምር (sum of m by n matrices) ራሱም ኤም በ ኤን ገበቃ (m by n matrix) ነው።

አስነዋኝ (Commutative)፣ አስጓዳኝ (Associative) እና አስከፋፋይ (Distributive) ሁጀማወች

በማናቸውም ሁጀማ (operation) ላይ የሁጀማው ቅደም ተከተል (order) ለውጥ የማያመጣ ከሆነ፣ ሁጀማው አስነዋኝ ሁጀማ (commutative operation) ይባላል፣ አለያ ግን አላስነዋኝ ሁጀማ (non-commutative operation) ይባላል። ነወነ (commute) የሚለው ቃል የተገኘው ወነወነ (ማለትም ወዘወዘ፣ ነቀነቀ) ከሚለው ቃል ነው።
በማናቸውም ሁጀማ (operation) ላይ የተሆጃሚወቹ በቅንፍ (parenthesis) እና በመሳሰሉት አቦዳደን (grouping) ለውጥ የማያመጣ ከሆነ ሁጀማው አስጓዳኝ ሁጀማ (associative operation) ይባላል፣ አለያ ግን አላስጓዳኝ ሁጀማ (non-associative operation) ይባላል።
ማከፋፍል የሚያስችል ሁጀማ አስከፋፋይ ሁጀማ (distributive operation) ይባላል፣ አለያ አላስከፋፋይ ሁጀማ (non-distributive operation) ይባላል።
ገመና (ከሰው የሚደበቀ የራስ ምንነት) የሚለው identity ያማረኛ ቃል የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።
ስለ ሁጀማወች (operations) የበለጠ ለመረዳት የሆስሌት መሠረታዊ ሁጀማወች (The Fundamental Operations of Algebra) የሚለውን ጦማር ይማልከቱ።

commutative property = አስነዋኝ ጠባይ
associative property = አስጓዳኝ ጠባይ
distributive property = አስከፋፋይ ጠባይ
identity property = ገመና ጠባይ

የገበቃ ድመራ ጠባዮች (Properties of Matrix Addition)

ገበቃወች A, B እና C እኩል ሚሃ (equal dimension) ያላቸው ኤም በ ኤን ገበቃወች (m by n matrices) ከሆኑ እና 0 ደግሞ ኤም በ ኤን ዳዶ ገበቃ (m by n zero matrix) ከሆነ፣

A + 0 = A የገበቃ ድመራ ገመና ጠባይ (identity property matrix addition)
A + B = B +A የገበቃ ድመራ አስነዋኝ ጠባይ (commutative property matrix addition)
A + (B + C) = (A + B) + C የገበቃ ድመራ አስጓዳኝ ጠባይ (associative property matrix addition)
A + (-A) = 0 የገበቃ ድመራ ግልበጣ ጠባይ (inverse property of matrix addition)

የገበቃወች ቅነሳ (Subtraction of Matrices)

ሁለት ገበቃወች (matrices) ሊቀናነሱ (subtracted) የሚችሉት እኩል ሚሃ (equal dimension) ካላቸው፣ ማለትም እኩል የረድፎች ቁጥር (equal number of rows) እና እኩል የዐምዶች ቁጥር (equal number of columns) ካላቸው ብቻ ነው።
የገበቃወቹ ልዩነት (difference) የሚገኘው ደግሞ ወልታቢ ዐባሎቻቸውን (corresponding members) በመቀነስ (subtract) ነው።
የኤም በ ኤን ገበቃወች ልዩነት (difference of m by n matrices) ራሱም ኤም በ ኤን ገበቃ (m by n matrix) ነው።

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com