ፍላስተን ትንተና (Vector Analysis) ክፍል 1፤ ፍላስተኖች እና የፍላስተኖች ምንዝሮች  (Part 1: Vectors & Components of Vectors)

ቀኛቴ (Right-handed) እና ግራቴ (Left-handed)

ግራ ከሚለው ግራኝ እንደምንል፣ ቀኝ ከሚለው ደግሞ ቀኛኝ ማለት እንችላለን።  ይበልጥ ቀልጣፋ የሚሆነው ግን፣ ግራኝ የሚለውን ግራቴ፣ እንዲሁም ቀኛኝ የሚለውን ቀኛቴ ብንለው ነው።  ከነዚህም  የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን።

right-handed – ቀኛቴ
right-handedness –  ቀኛቴነት
right-hand side (RHS) – ቀኝጌ
right-hand rule – ቀኛቴ ደንብ
left-handed – ግራቴ 
left-handedness –  ግራቴነት
left-hand side (LHS) – ግራጌ

ቀኛቴ ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (Right-handed Rectangular Coordinate System)

1. ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) በሚለው ጦማር (ክፍል 1)  ላይ በሰፊው እንደተወሳው ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ማለት ሩንጋ ዘዌ (right angle = 90^o) በመሥራት የሚመሳበሩ (intersect) ማለትም የሚቆረረጡ፣ x-ረቲድ (x-axis)፣ y-ረቲድ (y-axis) እና z–ረቲድ (z-axis) የሚባሉ ሦስት የወናብ ቁጥር መስመሮች (real number lines) የሚሰሩት ቅንጅት (coordination) ማለት ነው።
2. ረቲድ (axis) የሚለው ቃል የተገኘው ተራዳ (የድንኳን ምሰሶ) ከሚለው ቃል ነው።  በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት ላይ ሦስቱ ረቲዶች (axes) የሚመሳበሩበት (intersect) ማለትም የሚቆራረጡበት ምስባር ነጥብ (intersection point) ፈጅር (origin) ይባላል። ፈጅር (origin) ማለት መንሻ፣ መጀመርያ ወይም ምንጭ እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ፈጠረ እና ጀመረ ከሚሉት ነው።
3. ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ሲባል ቀኛቴ (right-handed) ወይም ግራቴ (left-handed) ሊሆን ይችላል፣ ምንም እንኳን ሙሉ በሙሉ በሚባል ሁኔታ ሒሳብሲነኞች (mathematicians) እና ሰገለኞች (scientists) የሚጠቀሙት ቀኛቴውን ቢሆንም
4.  በቀኛቴ ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (right-handed rectangular coordinate system) ላይ አራቱ የቀኝ እጅ ጣቶች (fingers) ከወንታ x-ረቲድ (positive x-axis) ወደ ወንታ y-ረቲድ (positive y-axis) በሚዞሩበት (rotate) ጊዜ፣ አውራ ጣት (the thumb) ደግሞ በወንታ z-ረቲድ (positive z-axis) አቅጣጫ ያመለክታል። 
5. በግራቴ ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (left-handed rectangular coordinate system) ላይ አራቱ የግራ እጅ ጣቶች (fingers) ከወንታ x-ረቲድ (positive x-axis) ወደ ወንታ y-ረቲድ (positive y-axis) በሚዞሩበት (rotate) ጊዜ፣ አውራ ጣት (the thumb) ደግሞ በወንታ z-ረቲድ (positive z-axis) አቅጣጫ ያመለክታል። 

xy ቀንጅ ስርካት (xy Coordinate System)

1. በዚህ ጦማር ላይ ባብዛኛው የምናተኩረው ባንድ ሰቴ (plane) ላይ በሚውሉ ፍላስተኖች (vectors) ላይ ነው። 
2. ባንድ ሰቴ (plane) ላይ የሚወል ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ደግሞ የሚኖሩት ርስበራሳቸው ሩንጋ (mutually perpendicular) የሆኑ ሦስት ረቲዶች (axes) ሳይሆኑ፣ አግዳሚ (horizontal) እና ወርጃሚ (vertical) የሆኑ ሁለት ረቲዶች (axes) ብቻ ናቸው። 
3. አብዛኛውን ጊዜ ደግሞ አግዳሚው ረቲድ (horizontal axis) እንደ x-ረቲድ (x-axis) ይወሰድና፣  ወርጃሚው ረቲድ (vertical axis) ደግሞ እንደ y-ረቲድ (y-axis) ይወሰዳል።
4. በዚህም ምክኒያት ሩንገራባዊው ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) xy ቀንጅ ስርካት (xy coordinate system) ይባላል። 

በ xy ቀንጅ ስርካት (xy coordinate system) ላይ

1. x-ረቲድ (x-axis) ከፈጅር (origin) በስተቀኝ ወንታ (positive) ሲሆን፣ ከፈጅር (origin) በስተግራ ደግሞ ሉንታ (negative) ነው። 
2. y-ረቲድ (y-axis) ከፈጅር (origin) በላይ ወንታ (positive) ሲሆን፣ ከፈጅር በታች ደግሞ ሉንታ (negative) ነው። 

የ xy ቀንጅ ስርካት ሩቤወች (Quadrants)

የ xy ቀንጅ ስርካት (xy coordinate system) የሚውልበትን xy ሰቴ (xy plane) ሩቤወች (quadrants) ለሚባሉ ላራት እኩል ክፍሎች (ማለትም ሩቦች) ይከፍለዋል።  እነዚህም ሩቤወች የተሰየሙት አንደኛ ሩቤ (first quadrant, )፣ ሁለተኛ ሩቤ (second quadrant)፣ ሦስተኛ ሩቤ (thrid quadrant) እና አራተኛ ሩቤ (second quadrant ) በመባል ሲሆን፣ የሚወከሉትም በሮማ ቁጥሮች (I, II, III, IV) ነው። 

1. አንደኛ ሩቤ (first quadrant, I) ላይ x-ረቲድ (x-axis) እና y-ረቲድ (y-axis) ሁለቱም ወንታ (positive) ናቸው። 
2. ሁለተኛ ሩቤ (second quadrant, II) ላይ x-ረቲድ (x-axis) ሉንታ (negative) ሲሆን፣ y-ረቲድ (y-axis) ደግሞ ወንታ (positive) ነው። 
3. ሦስተኛ ሩቤ (third quadrant, III) ላይ x-ረቲድ (x-axis) እና y-ረቲድ (y-axis) ሁለቱም ሉንታ (negative) ናቸው። 
4. አራተኛ ሩቤ (fourth quadrant, IV) ላይ x-ረቲድ (x-axis) ወንታ (positive) ሲሆን፣ y-ረቲድ (y-axis) ደግሞ ሉንታ (negative) ነው። 

ባተሜ (Initial) እና ፍጻሜ (Final)

1. በግእዝ ባተ ማለት ጀመረ ማለት ነው፣ አባተ እንዲሉ አስጀመረ ሊሉ።  ይህን ቃል በመጠቀምና ፍጻሜ (final) የሚለው ቃል አካሄድ በመከተል ባተሜ (initial) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. ባተሜ (initial) ማለት የመጀመረያ ወይም መነሻ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ በተመ (initialize)፣ ብትም (ብቱም) [initialized]፣ በታሚ (initializer)፣ ብተማ (initialization)፣ ብትመት፣ ብታሜ፣ ብታሞሽ እያለ ይሄዳል።
3. በተመ (initialize) ማለት ጀመረ (አስጀመረ) ማለት ሲሆን፣ ብትም (ብቱም) [initialized] ማለት ደግሞ የተበተመ ማለት ነው። 

initial = ባተሜ
initial value = ባተሜ እሴት
initialize = በተመ
final = ፍጻሜ
final value = ፍጻሜ እሴት
finalize =  ፈጸመ

አዴት (Position, Location) እና ፍልሰት (Displacement)

1. ኢዶ (ማለትም ቦታ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል አዴት (location, position) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. አዴት (location, position) ማለት መገኛ ቦታ፣ ያሉበት ቦታ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ አደተ (locate)፣ እድት (እዱት) (located)፣ አዳቲ (አዳች) [locating, locator]፣ እደታ (locating)፣ እዳቴ፣ እዳቶሽ እያለ ይሄዳል።
3. ፈለሰ (ማለትም ተሰደደ፣ ቦታውን ለቆ ወደ ሌላ ቦታ ሄደ) ከሚለው ፍልሰት (displacement) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ አፈለሰ (displace)፣ ፍልስ (/ፍሉስ\) [displaced]፣ አፍላሲ (አፍላሽ) [displacing]፣ ፈለሳ (displacement)፣ ፍልሰት (displacement) እያለ ይሄዳል። /ፍሉስ\ (የተፈለሰ) የሚለው \ፍሉዝ/ (fund) ከሚለው ጋር እንዳይምታታብወት።  

location (position) = አዴት፣ ቅምጠት
locate = አደተ
initial position = ባተሜ አዴት
final position = ፍጻሜ አዴት
displacement = ፍልሰት
displace = አፈለሰ
displaced = /ፍሉስ\፣ ተፈናቃይ
displaced (the displaced) =  /ፍሉሳን\፣ ተፈናቃዮች

ግሳብ (Force)

1. ግፋ (push) እና ሳብ (pull) ከሚሉት ግሳብ (force) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. ግሳብ (force) ማለት መገፋት (to push) ወይም መሳብ (to pull) ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ገሰበ (to force)፣ ግስብ (ግሱብ) [forced]፣ ገሳቢ (forcing)፣ ግሰባ (forcing)፣ ግስበት፣ ግሳቤ፣ ግሳቦሽ እያለ ይሄዳል።
3. ገሰበ (to force) ማለት ገፋ (to push) ወይም ሳበ (to pull) ማለት ሲሆን፣ ግስብ (ግሱብ) [forced] ማለት ደግሞ የተገሰበ ማለትም የተገፋ ወይም የተሳበ ማለት ነው። 
4. ለምሳሌ ያህል ግሳቡ ገሰበ (the force acts) ወይም ግሳቡ ሲገስብ (when the force acts) እንላለን።  ግስብ ሑሰት (forced motion) ማለት ደግሞ በሳብ (force) አማካኝነት የሚከሰት ሑሰት (motion) ማለትም እንቅስቃሴ ማለት ነው።   

force = ገሳብ
force (verb) = ገሰበ
forced = ግስብ፣ ግሱብ፣ የተገሰበ
forced motion = ግስብ ሑሰት

አቅጣጫ (Direction) እና ብክረት (Magnitude)

1. አቅጣጫ (direction) ከሚለው ቃል አቅጣጫዊ (directional)፣ አቅጣጫም (directional)፣ አቅጣጫም መስመር (directed line)፣ አቅጣጫም ርቀት (directed distance) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።  
2. በግእዝና ባማረኛ በከረ ማለትም ከፍ አደረገ፣ አበለጠ፣ አላቀ ማለት ነው፣ የበኩር ልጅ እንዲሉ፣ የመጀመርያ ልጅ፣ ትልቁ ልጅ ሊሉ።  ከዚህም ብክረት (magnitude) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ብክረት ማለት ትልቅነት፣ የትልቀነት መጠን እንደማለት ነው።   

direction = አቅጣጭ
directional = አቅጣጫም፣ አቅጣጫዊ
directed = አቅጣጫም፣ ባላቅጣጫ
directed line = አቅጣጫም መስመር
directed distance = አቅጣጫም ርቀት
magnitude = ብክረት

ሃዝተን (Scalar) እና ፍላስተን (Vector)

1. አሐዝ (ማለትም ቁጥር) ከሚለው የግእዝ ቃል ሐዝተን (scalar) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ፍላጻ (ማለትም ቀስት) ከሚለው ያማረኛና የግእዝ ደግሞ ፍላስተን (vector) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. በጉሲን (physics) እና በሒሳብሲን (mathematics) ውስጥ ሐዝተን (scalar) ማለት ብክረት (magnitude) ማለትም መጠን (amount) ብቻ ያለው አቅጣጫ (direction) ግን የሌለው ሙቀትን (temperature) የመሰለ ነገር ማለት ነው። በሌላ አባባል ሐዝተን ማለት በቁጥር ብቻ የሚገለጽ ነገር ማለት ነው። ስለዚህም ሐዝተን ስንል አንድ የተወሰነ ቁጥር ማለታችን ነው። 
3. በሌላ በኩል ደግሞ ፍላስተን ናይባ (vector quantity) ወይም ባጭሩ ፍላስተን (vector) ማለት ብክረትም (amount) አቅጣጫም (direction) ያለው ነገር ማለት ነው። 
4. ለምሳሌ ያህል ፍልሰት (displacement) አቅጣጫም (direction) ብክረትም (magnitude) ያለው ፍላስተን (vector) ነው።  ፍላስተን (vector) እና ፍልሰት (displacement) እንዳይምታቱብወት።  ፍልሰት የፍላስተን ዓይነት ነው።    

scalar =  ሐዝተን
scalar analysis = ሐዝተን ትንተና
vector = ፍላስተን
vector analysis = ፍላስተን ትንተና
direction of vector =  የፍላስተን አቅጣጫ
magnitude of vector = የፍላስተን ብክረት
position vector = አዴት ፍላስተን
displacement vector = ፍልሰት ፍላስተን
force vector =  ግሳብ ፍላስተን

ድቻፍ (Graph)

1. ደቻፋሜ (ማለትም ታጠፈ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ድቻፍ (graph) የሚለው ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ደቸፈ (to graph)፣ ድችፍ (ድቹፍ) [graphed]፣ ደቻፊ (grapher)፣ ድቸፋ (graphing) እያለ ይሄዳል።
2. ደቸፈ (to graph) ማለት ድቻፍ (graph) ሠራ ማለት ሲሆን፣ ድችፍ (ድቹፍ) (graphed) ማለት ደግሞ የተደቸፈ ማለት ነው።

graph = ድቻፍ
graph (verb) = ደቸፈ
graphical = ድቻፍ፣ ድቻፋዊ
graphical representation = ድቻፋዊ ውከላ

ምልክት (Sign)፣ ወመል (Symbol) እና ሞከስ (notation)

1. ምልክት (sign) ማለት ለማመልከት የሚያገለግል ማለት ነው፣ የእኩልነት ምልክት (equality sign)፣ የመደመር ምልክት (addition sign)፣ የመቀነስ ምልክት (subtraction sign) እንዲሉ። 
2. ወካይ ምልክት ከሚለው ሐረግ ወመል (symbol) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ወመል (symbol) ከምልክት (sign) ጋር ተመሳሳይነት ያለውና አብዛኛውን ጊዜ የሚተካካ (interchangeable) ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ወመለ (symbolize)፣ ውምል (symbolized)፣ ወማሊ (ወማይ) [symbolizer]፣ ውመላ (symbolization) እያለ ይሄዳል።
3. ወመለ (symbolize) ማለት ወመል (symbol) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ውምል (symbolized) ማለት ደግሞ የተወመለ ማለትም ወመል (symbol) የተደረገ ማለት ነው።
4. ሞከስ (notation) ማለት የምልከቶች (signs) ወይም የወመሎች (symbols) ስርካት (system) እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ መኮሰየ (ሞክሸ ሆነ፣ በስም ተመሳሰለ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ሞከሰ፣ ሙክስ፣ ሞካሲ (ሞካሽ)፣ ሙከሳ፣ ሙክሰት፣ ሙካሴ፣ ሙካሶሽ እያለ ሲሄድ፣ የንግሊዛኛ አቻ የለውም። 

sign = ምልክት
symbol = ወመል
symbolize =  ወመለ
symbolical representation = ወመላዊ ውከላ
notation = ሞከስ፣ ሙከሳ
notation (verb) = ሞከሰ

የፍላስተኖች ድቸፋዊ ውከላ (Graphical Representation)

በድቻፋዊ ውከላ (graphical representation)፣ ማናቸውም ፍላስተን (vector) በቀስት (arrowed line, line with arrow) ይወከላል። 

1. የፍላስተኑ አቅጣጫ (direction) በቀስቱ አቅጣጫ (direction of arrow) ይወከላል።
2. የፍላስተኑ ብክረት (magnitude) ደግሞ በቀስቱ ርዝመት (length) ይወከላል። 

የፍላስተኖች ወመላዊ ውከላ (Symbolical Representation)

በወመላዊ ውከላ (symbolical representation)፣ ማናችውም ፍላስተን (vector)  በደማቅ ፊደል (boldface letter) ወይም በቀስታም ፊደል (letter with arrow) ይወከላል።  የፍላስተኑ ብክረት (magnitude) ደግሞ

1. ባልደመቀ ፊደል (non-boldface letter) ወይም
2. ደማቁን ፊደል (boldface letter) በፍጹም እሴት ምልከት (absolute value sign) ውስጥ በማስገባት ወይም
3. ቀስታሙን ፊደል (letter with arrow) በፍጹም እሴት ምልክት (absolut value sign) ውስጥ በማስገባት ይወከላል።    

ኩልኩት (Parallel)፣ ፀረኩልኩት (Antiparallel) እና አልኩልኩት (Nonparallel) ፍላስተኖች

1. ኮለኮለ (ማለትም ደረደረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ኩልኩት (parallel) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ኮለኮተ (be or make parallel)፣ ኩልኩት፣ ኮልኳቲ (ኮልኳች)፣ ኩልኮታ፣ ኩልኳቴ፣ ኩልኳቶሽ እያለ ይሄዳል።  ኮለኮተ ማለት ኩልኩት ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።
2. ኩልኩት (parallel) ከሚለው ፀረኩልኩት (antiparallel) እና አልኩልኩት (non-parallel) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።   
3. ያውቴ አቅጣጫ (same direction) ማለትም አንድ ዓይነት አቅጣጫ ያላቸው ፍላስተኖች (vectors) ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ይባላሉ።
4. ተቃራኒ አቅጣጫ (opposite directions) ያላቸው ፍልስተኖች (vectors) ፀረኩልኩት ፍላስተኖች (antiparallel vectors) ይባላሉ።
5. ኩልኩት (parallel) ወይም ፀረኩልኩት (antiparallel) ያልሆኑ ፍላስተኖች (vectors) ደግሞ አልኩልኩት ፍላስተኖች (non-parallel vectors) ይባላሉ። 

የፍላስተኖች እኩልነት (Equality of Vectors)

ፍላስተኖች (vectors) ሲባሉ ያቅጣጫ (direction) እና የብክረት (magnitude) የሚባሉ ሁለት ጠባዮች (properties) ስላላቸው፣ እኩል ሊሆኑ የሚችሉት ሁለቱም ጠባዮቻቸው እኩል ከሆኑ ብቻ ነው።  ስለዚህም ሁለት ፍላስተኖች እኩል ናቸው የሚባሉት

1. እኩል ብክረት (equal magnitude) ካላቸው እና በተጨማሪ ደግሞ
2. ያወቴ አቅጣጫ (same direction) ማለት አንድ ዓይነት አቅጣጫ ካላቸው፣ ማለትም ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ከሆኑ ብቻ ነው። 

የፍላስተን ሉንታ (Negative of a Vector)

ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) የርስበራሳቸው ሉንታወች (negatives of each other) ናቸው የሚባሉት እኩል ብክረት (equal magnitude) እና በተጨማሪ ደግሞ ተቃራኒ አቅጣጫወች (opposite directions) ካላቸው ብቻ ነው።  ስለዚህም፣ ፍላስተን B  የፍላስተን A ሉንታ (negative) ነው የሚባለውና በመልክ B = -A የሚጻፈው

1. ብክረቱ (magnitude) ከፍላስተን A ብክረት ጋር እኩል ከሆነና በተጨማሪ ደግሞ
2. አቅጣጫው (direction) ደግሞ የፍላስተንን A አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite) ከሆነ ብቻ ነው። 

ቶካድ (Unit)

1. አንድ ነው የሚለው ሐረግ ብዙ ትርጉሞች አሉት።  አንድ ነው ማለት አንድ ዓይነት ነው ወይም እሱ ራሱ ነው ወይም ቁጥር አንድ ነው ማለት ሊሆን ይችላል።  ይህን ድንግረት (confusion) ለማስወገድ ቶኮ (አንድ) የሚለውን የኦሮምኛ ቃል አንድ የሚባለውን ቁጥር እንዲወክል አድርጌዋለሁ። 
2. በሌላ አባባል ድንግረት ሊፈጠር በሚችልበት ሁኔታ ላይ፣ አንድ የሚባለውን ቁጥር ቶኮ (one = 1) እንለዋለን ማለት ነው። 
3. ቶኮ (one = 1) ከሚለው ቃል ቶካድ (unit) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
4. ቶካድ (unit) ማለት ቁጥር አንድ (one = 1) ማለት ሊሆን ይችላል።  ለምሳሌ ያህል ቶካድ ክብ (unit circle) ማለት አክዘንጉ (radius) ቶኮ (one = 1) የሆነ ክብ ማለት ነው።
5. በሌላ በኩል ደግሞ ቶካድ (unit) ማለት መለኪያ (መስፈሪያ) ማለት ሊሆን ይችላል።  ለምሳሌ ያህል ሜትር (meter)፣ ሃድጃኖ ሜትር (kilometer) እና ሃድጢኖ ሜትር (centimeter) የርዝመት ቶካዶች (unit of length) ሲሆኑ፣ ደቂቃ (minute)፣ ኑሲቃ (second) እና ካልጢኖ ኑሲቃ (microsecond) ደግሞ የጊዜ ቶካዶች (units of time) ናቸው። 

one ( = 1) = ቶኮ
unit = ቶካድ
unit circle = ቶካድ ክብ
unit of time = የጊዜ ቶካድ

ቶካድ ፍላስተኖች (Unit Vectors)

የሆነን ፍላስተን (vector) A እንውሰድ። 

1. አቅጣጫው ከፍላስተን A አቅጣጫ ጋር ያውቴ (same direction) የሆነ፣ ብክረቱ ደግሞ ቶኮ የሆነ (unit magnitude) ፍላስተን፣ ከፍላስተን A ጋር የተጎዳኘ (associated) ቶካድ ፍላስተን (unit vector) ይባላል። 
2. ይህም ቶካድ ፍላስተን (unit vector) ሊታን (caret ^) በደፋ፣ ማለትም ሊታን (caret) ቆብ ባደረገ ንዑስ ፊደል (small letter) በመልክ â ይወከላል።
3. ሊታን (caret) የሚለው ቃል የተገኘው “ለ አስተኔ” ማለትም ፊደል ለ የሚመስል ከሚለው ነው። 

ከያንዳንዱ ፍላስተን (vector) ጋር የሚጎዳኘው ቶካድ ፍላስተን (associated unit vector) የሚያገለግለው የዚያን ፍላስተን አቅጣጫ ለማመልከት ብቻ ነው።  ከዚ የዘለለ ሌላ ምንም ግልጋሎት የለውም። 

ቶካድ ፍላስተኖች  ${\bf \hat {x} , \hat{y} , \hat{z}}$

በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ በወንታ x-ረቲድ (positive x-axis)፣ በወንታ y-ረቲድ (positive y-axis) እና በወንታ z-ረቲድ (positive z-axis) አቅጣጫ የሚያመለክቱ ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) እንደ ቅደመተከተላቸው በወመሎች (symbols) $\hat{x} , \hat{y} , \hat{z}$ ወይም$\hat{i} , \hat{j} , \hat{k}$  ይወመላሉ (symbolized)።

ፈገም (Projection) እና ፍገማ (Projecting)

1. ባማረኛ ፈገመ ማለት ባፍጢም ደፋ፣ አወደቀ ማለት ነው። ይህም ቃል project የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።
2. ግሱም ሲረባ ፈገመ (to project)፣ ፍግም (ፍጉም) [projected]፣ ፈጋሚ (projector)፣ ፍገማ (projection, projecting)፣ ፍግመት፣ ፍጋሜ፣ ፍጋሞሽ እያለ ይሄዳል። 
3. ፈገሚ (to project) ማለት የሚፈግም ማለት ሲሆን፣ ፈገም (projection) ማለት ደግሞ የተፈገመ ማለት ነው። 

project (verb)  –  ፈገመ
projection  – ፈገም
projection (projecting) – ፍገማ
projective geometry – ፈገም ቂሳሲን  (ይመልከቱ geometry)
projector  – ፈጋሚ

የፍላስተን ሩንጌራባዊ ምንዝሮች (Rectangular Components of a Vector)

ማናችው ፍላስተን (vector) በሆነ አቅጣጫ ያለው ፈገም (projection)፣ ፍላስተኑ በዚያ አቅጣጫ ያለው ምንዝር (component) በመባል ይታወቃል። 

ሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካትን (rectangular coordinate system) በተመለከተ ደግሞ ማናቸውም ፍላስተን (vector) በቀንጅ ስርካቱ ረቲዶች (axes) ላይ ያሉት ፈገሞች (projections) የፍላስተኑ ሩንጌራባዊ ምንዝሮች (rectangular components) ይባላሉ። 

1. ፍላስተኑ x-ረቲድ (x-axis)  ያለው ፈገም (projection) የፍላስተኑ x-ምንዝር (x-component) ይባላል። 
2. ፍላስተኑ y-ረቲድ (x-axis) ላይ ያለው ፈገም (projection) የፍላስተኑ y-ምንዝር (y-component) ይባላል። 
3. ፍላስተኑ z-ረቲድ (x-axis) ላይ ያለው ፈገም (projection) ደግሞ የፍላስተኑ z-ምንዝር (z-component)

ሰዓትያ እና ኢሰዓትያ አቅጣጫወች

1. ሰዓት (clock) ከሚለው ቃል ሰዓትያ (clockwise) እና ኢስዓትያ (anticlockwise, counterclockwise) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።
2. ስዓትያ አቅጣጫ (clockwise direction) ማለት የሰዓት እጀታ የሚሽከረከረበት አቅጣጫ ማለት ነው።
3. ኢሰዓትያ አቅጣጫ (anticlockwise direction, counterclockwise direction) አቅጣጫ ማለት ደግሞ የሰዓት እጀታ የሚሽከረከርበትን አቅጣጫ ተቃራኒ ማለት ነው።

ወንታ እና ሉንታ ዘዌወች

1. በ xy-ቀንጅ ስርካት (xy-coordinate system) ላይ ርቀቶች (distances) የሚለኩት ከፈጅር (origin) በመነሳት እንደሆነ ሁሉ፣ ዘዌወች (angles) የሚለኩት ደግሞ ከ x-ረቲድ (x-axis) በመነሳት ነው። 
2. ከፈጅር (origin) በስተቀኝ አቅጣጫ የሚለኩ ርቀቶች (distances) ወንታ ርቀቶች (positive distances) እንደሆኑ ሁሉ፣ ከ x-ረቲድ (x-axis) በኢሰዓትያ አቅጣጫ (counterclockwise direction) የሚለኩ ዘዌወች (angles) ደግሞ ወንታ ዘዌወች (positive angles) ናቸው። 
3. ከፈጅር (origin) በስተግራ አቅጣጫ የሚለኩ ርቀቶች (distances) ሉንታ ርቀቶች (negative distances) እንደሆኑ ሁሉ፣ ከ x-ረቲድ (x-axis) በሰዓትያ አቅጣጫ (clockwise direction) የሚለኩ ዘዌወች (angles) ደግሞ ሉንታ ዘዌወች (negative angles) ናቸው። 

የፍላስተን ምንዝሮች ስሌት (Calculation)

በ xy-ቀንጅ ስርካት (xy-coordinate system) ላይ የማናቸውም ፍላስተን (vector) x እና y ምንዝሮች (x and y components) በፍላስተኑ ብክረት (magnitude) እና ፍላስተኑ ከ x-ረቲድ (x-axis) ጋር በሚሰራው ዘዌ (angle) አንጻር በሚከተሉት ቀመሮች ይሰጣሉ። 

የፍላስተን x እና y ምንዝሮች (x and y components) የፍላስተኑ ራስ (head of vector) እንደሚውልበት የ xy-ቀንጅ ስርካት (xy-coordinate system) ሩቤ (quadrant) ወንታ እሴት (positive value) ወይም ሉንታ እሴት (negative value) ሊኖራቸው ይችላል።

1. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው ባንደኛው ሩቤ (first quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x እና y ምንዝሮች ሁለቱም ወንታ (positive) ይሆናሉ።
2. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው በሁለተኛው ሩቤ (second quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x ምንዝር (x-component)  ሉንታ (negative) ሲሆን፣ የፍላስተኑ y ምንዝር (y component) ደግሞ ወንታ (positive) ይሆናል። 
3. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው በሶስተኛው ሩቤ (third quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x እና y ምንዝሮች ሁለቱም ሉንታ (negative) ይሆናሉ።
4. የፍላስተኑ ራስ (head) የሚውለው ባራተኛው ሩቤ (fourth quadrant) ላይ ከሆነ፣ የፍላስተኑ x ምንዝር (x-component)  ወንታ (positive) ሲሆን፣ የፍላስተኑ y ምንዝር (y component) ደግሞ ሉንታ (negative) ይሆናል። 

ሩንጋ ስሌጎን (Right Triangle) እና የኑባ ገንጊሳ (Nubian Theorem)

1. ስሌጎኖች (Triangles) በሚለው ጦማር ላይ በሰፊው እንደተወሳው አንደኛው ዘዌው ሩንጋ ዘዌ (right angle) የሆነ፣ ማለትም እሴቱ እቅጩን 90^o የሆነ ስሌጎን (triangle) ሩንጋ ዘዌ ስሌጎን (right angle triangle) ወይም ባጭሩ ሩንጋ ስሌጎን (right triangle) ይባላል።  ሩንጋ (perpendicular) የሚለው ቃል የተገኘው ሮጋ (ማዕዘን) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው። 
2. በሩንጋ ስሌጎን ላይ ለሩንጋ ዘዌው ተቃራኒ (opposite) የሆነው ጎን ቲባ (hypotenuse) ሲባል፣ የቀሩት ሁለቱ ጎኖች ደግሞ እግሮች (legs) ይባላሉ። ቲባ (hypotenuse) የሚለው ቃል የተገኘው ተባ (ማለትም ያጋደለ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው። 
3. ሩንጋ ስሌጎንን (right triangle) በተመለከተ የስሌጎኑን እግሮች (legs) ርዝመቶች ከስሌጎኑ ቲባ (hypotenuse) ርዝመት ጋር የሚያዛምድ ገንጊሳ (theorem) አለ። ይህም ገንጊሳ በፈርንጆቹ አጠራር ፓይታጎራስ ገንጊሳ (Pythagoras theorem, Pythagorean theorem) ይባላል።
4. ፓይታጎራስ (Pythagoras) ኖረ የሚባለው ባምስተኛው ዓመተ ዓለም ነው።  ኑባወች (Nubians) ደግሞ ታላላቁቹን ኑቢሳወች (pyramids) የገነቡት ፒታጎራስ ኖረ ከሚባልበት ዘመን በፊት ቢያንስ፣ ቢያንስ ሁለት ሺ ዓመታት አስቀድመው ነው። 
5. ኑባወች የሩንጋ ስሌጎንን ሦስቱንም ጎኖች የሚያዘምደውን መሠረታዊ ገንጊሳ ሳያውቁ፣ ኑቢሳወቹን ገነቡ ማለት የማይመስል ነገር ለሚስትህ አትንገር እንዲሚሉት ነው።  ስለዚህም ፓይታጎራስም ልክ እንደ ሌሎቹ የጥንታዊ ግሪክ “ፈላስፋ” ተብየወች የኑባወችን ሥራ የራሱ አስመስሎ ያቀረበ መንታፊ (plagiarist) ባይሆን እንጅ ቢሆን አያስደንቅም።   በመሆኑም፣ ይህን ገንጊሳ እኔ መስፍን አረጋ የኑባ ገንጊሳ (Nubian theorem) ወይም ካልቶና ገንጊሳ (square theorem) ብየዋለሁ።

የፍላስተን ብክረት እና አቅጣጫ ስሌት (Calculation)

ያንድ ፍላስተን (vector) ምንዝሮች (components) ከታወቁ፣ ራሱን ፍላስተኑን፣ የፍላስተኑን ብክረት (magnitude) እና የፍላስተኑን አቅጣጫ (direction) በሚከተሉት ቀመሮች መሠረት ማስላት (calculate) ይቻላል። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com