ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) ከፍል 5፤ ኦሊጋን  (Part 5: Parabola)

ማሳሰቢያ

በዚህ ጦማር (ክፍል 5) ላይ የምንጠቀምባቸው ያንዳንድ ቃሎች ትርጉሞች የሚገኙት “ቶቢናፎች በጥቅል (Conics in General)” በሚለው ጦማር (ክፍል 4) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ጦማር ከማንበብወ በፊት ጦማሩን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ገዲር (Challenge)፣ ችግጣ (Problem) እና ፈተዝ (Solution)

1. ገደረ (አስቸገረ፣ አስጨነቀ፣ አስጠበበ፣ ተፈታተነ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ገዲር (challenge) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ገደረ (to challenge)፣ ግድር (ግዱር) [challenged]፣ ገዳሪ (challenging)፣ ግደራ (challenging) እያለ ይሄዳለ።  ገደረ (to challenge) ማለት ገዲር (challenge) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ግዱር (challenged) ማለት ደግሞ የተገደረ ማለት ነው። 
2. ችግር እና ጣጣ ከሚሉት ቃሎች ችግጣ (problem) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ቸገጠ፣  ችግጥ (ችጉጥ)፣ ቸጋጢ፣ ችገጣ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ቸገጠ (create problem, be a problem) ማለት ችገጣ ሆነ ወይም ችግጣ ፈጠረ ማለት ሲሆን፣ ችጉጥ ማለት ደግሞ የተቸገጠ ማለት ነው።  ችግጣዊ ፣ ችግጣም፣ ችግጠኛ (problematic) ማለት ደግሞ ችግጣ ነክ ማለት ነው።  
3. ፈታ የሚለው ቃል አያሌ ትርጉሞችን ያዘለ ስለሆነ፣ solve የሚለውን ቃል ባማረኛ ፈተዘ (solve)ብየዋለሁ።  ከዚህም ፈተዝ (solution) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ፈተዝ (solution) ማለት ፍች ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ፈተዘ (to solve)፣ ፍትዝ (ፍቱዝ) [solved]፣ ፈታዚ (ፈታዥ) [solver]፣ ፍተዛ (solving) እያለ ይሄዳል። ፈተዘ (solve) ማለት ፈተዝ (solution) አገኘ ማለት ሲሆን፣ ፍቱዝ (solved) ማለት ደግሞ የተፈተዘ ማለት ነው።   

challenge = ገዲር
challenge (verb) = ገደረ
challenging = ገዳሪ፣ ግደራ
challenged = ግዱር
problem = ችግጣ
problem (verb) = ቸገጠ
challenging problem = ገዳሪ ችግጣ
solve = ፈተዘ
solution = ፈተዝ፣ ፍች
solved problem =  ፍቱዝ ችግጣ

ድብድ ነጥብ (Fixed Point) እና ድብድ መስመር (Fixed Line)  

ባማረኛ አደበ ማለት ረጋ፣ ሥርዓት ያዘ ማለት ነው፣ አደብ ግዛ እንዲሉ።   በኦሮምኛ ደግሞ ዳቤዳ  ማለት ማቆም ማለት ነው።  ከነዚህ ያመረኛና የኦሮምኛ ቃሎች በመነሳት ደበደ (fix) የሚለውን አዲስ ቃል እናገኛለን።  ደበደ (fix) ማለት እንዳይንቀሳቀስ አደረገ፣ ባለበት አቆመ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደበደ (fix)፣ ድብድ (ድቡድ) [fixed]፣ ደባዲ (ደባጅ) [fixer]፣ ድበዳ (fixing, fixation) እያለ ይሄዳል።  ድብድ (fixed) ማለት የተደበደ ማለትም እንዳይንቀሳቀስ የተደረገ ማለት ነው፣ ድብድ ኮኮብ (fixed star) እንዲሉ፣ ካለበት የማይንቀሳቀስ ኮኮብ ሊሉ።

fix = ደበደ
fixed = ድብድ
fixed point= ድብድ ነጥብ
fixed line = ድብድ መስመር
fixed star = ድብድ ኮኮብ
fixed end = ድብድ ጫፍ

ቅምጠት (Position) እና  ቅጅለት (Orientation)

1. ቅምጠት (position) ማለት የተቀመጡበት ቦታ፣ ያሉበት ቦታ ወይም የሚገኙበት ቦታ ማለት ነው።
2. ቅጅለት (orientation) ማለት ያቀማመጥ አቅጣጭ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ቀጀልቹ (አቃና፣ ቀጠ አደረገ፣ አስተካከለ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ቀጀለ (orient, orientate)፣ ቅጅል (ቅጁል) [oriented, orientated]፣ ቀጃሊ (ቀጃይ) [orienting, orientating]፣ ቅጀላ (orienting, orientating)፣ ቅጅለት (orienting, orientating) እያለ ይሄዳል። 
3. ቅምጠት እና ቅጅለት ሲነበቡ አይጠብቁም ማለትም \ቅምጠት/ እና \ቅጅለት/  እንጅ /ቅምጠት\ እና /ቅጅለት\ አይደሉም።

ቄጠማ (Linear) እና ቅጠማ (Linearization)

ቄጠማ (linear, rectilinear) ማለት ቀጠ ያለ፣ ቀጥተኛ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ቀጠመ (linearize)፣ ቅጥም (ቅጡም) [linearized]፣ ቀጣሚ (linearizing)፣ ቅጠማ (linearization) እያለ ይሄዳል። ቀጠመ ማለት ቄጠማ አደረገ (ቀጠ ያለ አደረገ) ማለት ሲሆን፣ ቅጥም ማለት ደግሞ የተቀጠመ (ቀጥ የተደረገ) ማለት ነው። አልቄጠማ (nonlinear) ማለት ደግሞ ቄጠማ ያልሆነ ማለት ነው።

linear (rectilinear) = ቄጠማ 
nonlinear = አልቄጠማ
linearize = ቀጠመ
linearization = ቅጠማ
linear system = ቄጠማስርካት

ትመት (Translation) እና ፉረት (Rotation)

1. ትመት (translation) ወይም ንጹሕ ትመት (pure translation) ማለት ቅጅለትን ሳይቀይሩ ቅምጠትን ብቻ በመቀየር (change of position without change of orientation) የሚደረግ ሑሰት (motion) ማለትም እንቅስቃሴ ማለት ነው።  ግሱም ሲረባ ተመመ (translate)፣ ትምም (ትሙም) [translated]፣ ተማሚ (translator)፣ ተመማ (translation)፣ ትመት (translation) እያለ ይሄዳል።
2. በቀጥታ መስመር (straight line) ላይ የሚደረግ ትመት (translation) በልዩ ስያሜ ቄጠማ ትመት (rectilinear translation) ሲባል፣ በኩርባ መስመር (curved line) ላይ የሚደረግ ትመት (translation) ደግሞ ኩርባ ቄጠማ ትመት (curvilinear translation) ይባላል። 
3. ፉረት (rotation) ወይም ንጹሕ ፉረት (pure rotation) ማለት ቅምጠትን ሳይቀይሩ ቅጅለትን ብቻ በመቀየር (change of  orientation without change of position) የሚደረግ ሑሰት (motion) ማለትም እንቅስቃሴ ማለት ነው።  ግሱም ሲረባ ፎርር (rotate)፣ ፉርር (rotated)፣ ፎራሪ (rotating)፣ ፎረራ (rotation)፣ ፉረት (rotation) እያለ ይሄዳል።  

የኦሊጋን ብያኔ (Definition of Parabola) እና ኦሊጋናዊ ቃሎች

ኦሊጋን (parabola) ማለት አቲክ (foci) ከሚባል ድብድ ነጥብ (fixed point) ያላቸው ርቀት (distance) እና ዱራት (directrix) ከሚባል ድብድ መስመር (fixed line) ያላቸው ሩንጋ ርቀት (perpendicular distance) እኩል የሆኑ የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ማለትም ባንድ ሰቴ (plane) ላይ የሚውሉ ነጥቦች ኢዶ (locus) ነው። 

1. የኦሊጋን ቅርጽ (shape of parabola) እየሰፋ የሚሄድ የገበታ ቅርጽ ነው።   
2. የኦሊጋን አፍ ሁልጊዜም የሚከፈተው ከኦሊጋኑ ዱራት በስተወዲያ  (away from the directrix ) ነው።  በሌላ አባባል የኦሊጋን አፍ ወደ ኦሊጋኑ ዱራት (directrix) አይከፈትም። 
3. በማናቸውም ኦሊጋን (parabola) ላይ፣ ለኦሊጋኑ አቲክ (focus) ዠቅርብ (closest) ማለትም ከሁሉም የበለጠ ቅርብ የሆነው ነጥብ (point) የኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) ይባላል።  
4. በማናቸውም ኦሊጋን (parabola) አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) ላይ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) የኦሊጋኑ ረቲድ (axis of parabola) ይባላል። 
5. የኦሊጋን ረቲድ (axis) ከኦሊጋኑ ዱራት (directrix) ጋር ሩንጋ (perpendicular) ነው፣ ማለትም ከኦሊጋኑ ዱራት ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) 90^o ነው። 
6. የኦሊጋን ረቲድ (axis)  ከኦሊጋኑ ዱራት (directrix) ጋር 90^o በመሥራት የሚመሳበርበት (intersect) ማለትም የሚቆራረጥበት ምስባር ነጥብ (intersection point) የኦሊጋኑ ዱራት ነጥብ (directrix point) ይባላል። 
7. ማናችውም ኦሊጋን ከረቲዱ (axis) አንጻር ክምክም (symmetric) ነው።  በሌላ አባባል ከኦሊጋን ረቲድ በተቃራኒ ጎኖች የሚገኙት የኦሊጋኑ ክፍሎች የርስበርሳቸው መስታዋታዊ ፅብረቃወች (mirror reflections) ናቸው።  በዚህም ምክኒያት የኦሊጋኑ ረቲድ (axis of parabola) የኦሊጋኑ ክምከማ ረቲድ (symmetry axis) ይባላል። 

የኦሊጋን አቲታር (Latus Rectum) እና ንፍቃቲታር (Semilatus Rectum) 

1. ለኦሊጋን ረቲድ (axis of parabola) ሩንጋ (perpendicular) በሆነ መንገድ በኦሊጋኑ አቲክ (focus) ላይ በማለፍ ጫፎቹ (ends) ከኦሊጋኑ ላይ የሚውሉ የቀጤ መስመር ዐጽቅ (straight line segment) የኦሊጋኑ (parabola) አቲታር (latus rectum) ይባላል። 
2. አቲታር (latus rectum) የሚለው ቃል የተገኘው አቲክ (focus) እና ዊታር (chord) ከሚሉት ቃሎች ነው፣ የኦሊጋን አቲታር በኦሊጋኑ አቲክ (focus) ላይ የሚያልፍ የኦሊጋኑ ዊታር (chord) ነውና።  ዊታር (chord) የሚለው ቃል የተገኘው ደግሞ ወተረ (ሳበ፣ ገተረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው።  ስለ ዊታር (chord) የበለጠ ለመረዳት ክብና ፉንባ (Circle & Ellipse) የሚለውን ጦማር ይመልከቱ። 
3. የማናቸውም ኦሊጋን አቲታር (latus rectum) ኦሊጋኑ አቲኩ (focus) ላይ ያለው ወርድ (width) ማለት ስለሆነ፣ የኦሊጋኑ አቲክ ወርድ (focal width) ሊባልም ይችላል። 
4. የአቲታር እኩሌታ ወይም ግማሽ ንፍቀአቲታር ወይም ባጭሩ ንፍቃቲታር (semilatus rectum) ይባላል። 

የኦሊጋን አቲክ ርዝመት (Focal Length)

1. የኦሊጋን አቲክ (focus) ከኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) ያለው ርቀት የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) ወይም ደግሞ የኦሊጋኑ p-እሴት (p-value) ይባላል።
2. የኦሊጋን ፊጣ (vertex) ከኦሊጋኑ አቲክ (focus) እና ከኦሊጋኑ ዱራት ነጥብ (directrix point) ያሉት ርቀቶች (distances) እቅጩን እኩል (exactly equal) ናቸው።  በሌላ አባባል፣ የኦሊጋን ፊጣ (vertex) የሚገኘው በኦሊጋኑ ዱራት ነጥብ (directrix point) እና አቲክ (focus) እቅጩን መሀል ላይ ነው።   
3. ስለዚህም የኦሊጋን አቲክ ርዝመት (focal length) የኦሉጋኑ ፊጣ (vertex) ከኦሊጋኑ ዱራት ነጥብ (directrix point) ያለው ርቀት ነው ሊባልም ይችላል። 

የኦሊጋን ሙለት (Eccentricity)

“ቶቢናፎች በጥቅል” (Conics in General) በሚለው ጦማር ላይ እንደተመለከትነው፣ በማናቸውም ዓይነት ቶቢናፍ (conic section) ላይ የሚገኙ እያንዳንዳቸው ነጥቦች (points) ከቶቢናፉ አቲክ (directrix) ያላቸው ርቀት ከቶቢናፉ ዱራት (focus) ላላቸው ርቀት ሲደሸር (divided) ማለትም ሲካፈል የሚገኘው እሴት ለሁሉም የቶቢናፉ ነጥቦች እኩል የሆነ ቋሚ እሴት (constant value) ነው።  ይህም ቋሚ እሴት የኦሊጋኑ ሙለት (eccentricity) ይባላል። 

በኦሊጋን ብያኔ (definition of parabola) መሠረት ኦሊጋን (parabola) ማለት አቲክ (foci) ከሚባል ድብድ ነጥብ (fixed point) ያላቸው ርቀት (distance) እና ዱራት (directrix) ከሚባል ድብድ መስመር (fixed line) ያላቸው ሩንጋ ርቀት (perpendicular distance) እኩል የሆኑ የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ማለትም ባንድ ሰቴ (plane) ላይ የሚውሉ ነጥቦች ኢዶ (locus) ማለት ነው።  ስለዚህም የኦሊጋን ሙለት (eccentricity) እቅጩን ቶኮ (exactly one = 1) ነው ማለት ነው።  

አፈላይ፣ አፈታች፣ አፈቀኝ እና አፈግራ ኦሊጋኖች

1. አፉ ቀጥታ ወደ ላይ የተከፈተ ኦሊጋን አፈላይ ኦሊጋን (parabola opening upward) ይባላል።
2. አፉ ቀጥታ ወደ ታች የተከፈተ ኦሊጋን አፈታች ኦሊጋን (parabola opening downward) ይባላል።
3. አፉ ቀጠታ ወደ ቀኝ የተከፈተ ኦሊጋን አፈቀኝ ኦሊጋን (parabola opening to the right) ይባላል።
4. አፉ ቀጠታ ወደ ግራ የተከፈተ ኦሊጋን አፈግራ ኦሊጋን (parabola opening to the left) ይባላል።

የኦሊጋን ልዩ ደርከኛ እኩልታ (Special Standard Equation)

ደረጃ ከሚለው ቃል ደርክ (ደርከኛ) [standard] የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።  ደርክ (ደርከኛ) [standard] ማለት መደበኛ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደረከ (standardize)፣ ድርክ (ድሩክ) [standardized]፣ ደራኪ (standardizing)፣ ድረካ (standardization) እያለ ይሄዳል። 

አርገቹ (ማግኘት) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ደግሞ ረቸገ (derive) የሚለውንና ሲረባም ረቸገ (derive)፣ ርቻግ (ርችግ፣ ርቹግ) [derived]፣ ረቻጊ (deriving)፣ ርቸጋ (derivation) እያለ የሚሄደውን ቃል እናገኛለን።  ረቸገ (derive) ማለት አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ርቻግ (derived) ማለት ደግሞ የተረቸገ (ማለትም የተገኘ) ማለት ነው። 

በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ የማናቸውንም ኦሊጋን (parabola) ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation)  ለመረቸግ (derive) ማለትም ለማግኘት

1. ከቀንጅ ስርካቱ ሁለት ረቲዶች (two axes) ውስጥ አንደኛው ረቲድ የራሱ የኦሊጋኑ ረቲድ (axis of the parabola) እንዲሆን ይደረጋል።
2. የቀንጅ ስርካቱ ፈጅር (origin) ደግሞ የኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) እንዲሆን ይደረጋል።   

በኦሊጋን ብያኔ (definition) መሠረት ማናቸውም ነጥብ በሆነ በኦሊጋን (parabola) ላይ ሊውል የሚችለው፣ ከአሊጋኑ አቲክ (focus) ያለው ርቀት ከኦሊጋኑ ዱራት (directric) ካለው ሩንጋ ርቀት (perpendicular distance) እኩል ከሆነ ብቻ ነው። 

ይህን እውነታ በመጠቀም ፊጣው (vertex) ፈጅር (origin) ላይ ረቲዱ (axis) ደግሞ y-ረቲድ (y-axis)የሆነ አፈላይ ኦሊጋን (parabola opening upward) ያለው ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation) በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ በተመለከተው መንገድ በቀላሉ ይረቸጋል (derived) ማለትም ይገኛል። 

ያፈታች (opens downward)፣ ያፈቀኝ (opens to the right)፣ እና ያፈግራ (opens to the left) ኦሊጋኖች (parabolas) ልዩ ደርከኛ እኩልታወች (special standard equations) ደግሞ በተመሳሳይ መንገድ ይገኛሉ። 

የኦሊጋን አቲክ ወርድ (Focal Width)

1. የኦሊጋን አቲታር ርዝመት (length of latus rectum) ኦሊጋኑ አቲኩ (focus) ላይ ያለው ወርድ (width) ስለሆነ፣ የኦሊጋኑ አቲክ ወርድ (focal width) ይባላል። 
2. የኦሊጋን ልዩ ደርከኛ እኩልታን (special standard equation of parabola) በመጠቀም፣ የማናቸውም የኦሊጋን አቲክ ወርድ (focal width) የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) አራት አጥፍ (four times) መሆኑን በሚቀጥለው ሱርፊክ (figure) ላይ በተመለከተው ሁኔታ በቀላሉ ማሳየት ይቻላል። 
3. ስለዚህም የኦሊጋኑ ንፍቃቲታር (semilatus rectum) የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) ሁለት እጥፍ (two times) ነው ማለት ነው። 

የኦሊጋን አቲክ ወርድ (length of latus rectum) የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) አራት እጥፍ (four times) መሆኑ የሚያሳየው፣ የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) ወይም p-እሴት (p-value) እየጨመረ በሄደ ቁጥር የኦሊጋኑ አቲክ ወርድ (focal width) ማለትም ኦሊጋኑ አቲኩ ላይ ያለው ወርድ (width) ባራት እጥፍ እየጨመረ እንደሚሄድ ነው።

የረቲዶች ትመት  (Translation of Axes)

የቀንጅ ስርካትን (coordinate system) በተመለከተ የረቲዶች ትመት (translation of axis) ማለት የስርካቱን ረቲዶች (axes) ቅጅለታቸውን ሳይቀይሩ ቅምጠታቸውን ብቻ መቀየር (changing position without changing orientation) ማሖስ (move) ማለትም ማንቀሳቀስ ማለት ነው።  በሌላ አባባል የረቲዶች ትመት (translation of axes) ማለት የቀንጅ ስርካት ረቲዶችን (axes) አቅጣጫቸውን ሳይቀይሩ የስርካቱን ፈጅር (origin) ብቻ ማንፏቀቅ ማለት ነው።    

የኦሊጋን አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (General Standard Equation)

ፊጣው (vertex) ፈጅር (origin) ማለትም (0, 0) ሳይሆን ሌላ ነጥብ (h, k) ላይ የሆነ  አፈላይ (opens upward)፣ አፈታች (opens downward)፣ አፈቀኝ (opens to the right) ወይም አፈግራ (opens to the left) ኦሊጋን (parabola)  አለ እንበል። የዚህን ኦሊጋን እኩልታ (equation) ለማግኘት፣

1. የረቲዶቸን ትመት (translation of axes) በመጠቀም ፊጣው (vertex) (h, k) ላይ የሆነ አዲስ ቀንጅ ስርካት (new coordinate system) ማለትም x’y’ ቀንጅ ስርካት (x’y’ coordinate system) እንመሰርታለን።
2. በዚህ አዲስ ቀንጅ ስርካት (new coordinate system) ቀንጆች (coordinates) ማለትም x’ እና y’ አንጻር የኦሊጋኑን ልዩ ደርከኛ እኩልታ (special standard equation) እናገኛለን።
3. የረቲዶች ትመት (translation of axes) ቀመሮችን (formulas) ማለትም (x = x’ + h  እና y = y’ + k ) በመጠቀም በቀንጆች x’ እና y’ የተጻፈውን እኩልታ በቀንጆች x እና y እንጽፈዋለን። 
4. በዚህ ዘዴ የተገኘ፣ ፊጣው ፈጅር (origin) ላይ ብቻ ሳይሆን ማናቸውም የዘፈቀደ ነጥብ (arbitrary point) ላይ ሊሆን የሚችል አፈላይ፣ አፈታች፣ አፈቀኝ ወይም አፈግራ ኦሊጋን ያለው እኩልታ አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation) ይባላል። 

ምሳሌ 1፤ ፊጣው (vertex) የሚገኘው V(-1,2) ላይ፣ አቲኩ (focus) የሚገኘው ደግሞ F (3, 2) ላይ የሆነ ኦሊጋን (parabola) ያለውን እኩልታ (equation) ፈልግ።

ፈተዝ (solution)

1.  V(h, k) = V(-1, 2) ስለሆነ፣ h = -1 እንዲሁም k = 2 ናቸው።  
2. የኦሊጋኑ አቲክ (focus) የሚገኘው ከኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) በስተቀኝ ስለሆነ፣ ኦሊጋኑ አፈቀኝ (opens to the right) ነው።  ስለዚህም የኦሊጋኑ አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation) የሚከተለው ነው።

1. ኦሊጋኑ አፈቀኝ (opens to the right) ስለሆነ፣ አቲክ ርዝመቱ (focal length) ማለትም p-እሴቱ (p-value) ወንታ (positive) ነው፣ ማለትም p > 0 ነው።
2. ይህ ወንታ (positive) p-እሴት (p-value) ደግሞ የኦሊጋኑ አቲክ (focus) ከኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) ያለው ርቀት (distance) ስለሆነ፣ ማለትም በነጥቦች V(-1, 2) እና F (3, 2) መካከል ያለው ርቀት ስለሆነ፣ የሚከተለውን ይሆናል።

በመጨረሻም የኦሊጋኑ አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation) የሚከተለውን ይሆናል። 

ምሳሌ 2፤ በሚከተለው እኩልታ የሚሰጥን ኦሊጋን ፊጣ (vertex) እና አቲክ (focus) ፈልግ። 

ፈተዝ (solution)
ካልቶና ግመራን (completing the square) በመጠቀም የሚከተለውን እናገኛለን። 

1. የኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) የሚገኘው V(h, k) = V(-2, 1) ላይ ነው።
2. የኦሊጋኑ p-እሴት (p-value) ወንታ (positive) ስለሆነ፣ ኦሊጋኑ አፈቀኝ (opens to the right) ነው። 
3. ስለዚህም፣ የኦሊጋኑ አቲክ (focus) የሚገኘው ከኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) በስተቀኝ ነው። 
4. በመሆኑም የኦሊጋኑ አቲክ (focus) የሚገኘው F (h+p, k) = F(1, 1) ላይ ነው። 

የረቲዶች ፉረት  (Rotation of Axes)

የሚከተለውን ባለሁለት ጉለም እኩልታ (second degree equation) እናጢን። 

1. ይህ እኩልታ የሚወክለው ኦሊጋንን (parabola) ይሁን፣ አይሁን ለማወቅ፣ እኩልታውን በኦሊጋን አጠቃላይ ደርከኛ እኩልታ (general standard equation of parabola) መልክ ሊጻፍ ይችል አይችል እንደሆን ማወቅ አለብን። 
2. ይህን ለማወቅ ደግሞ በእኩልታው ውስጥ የሚገኘውን x እና y የሚበዘሩበትን (ማለትም የሚባዙበትን)  ቅይጥ ብዜር (mixed product) ማለትም Bxy ከእኩልታው ውስጥ ማስወገድ አለብን።
3. ይህን ቅይጥ ብዜር (mixed product) ከእኩልታው ውስጥ ለማስወገድ ደግሞ በሚከተለው ሱርፊክ ላይ እንደተመለከተው xy ቀንጅ ስርካትን (xy coordinate system) በፈጅሩ (origin) ዙርያ በማፉረር (rotate) የምናገኘውን አዲስ x’y’ ቀንጅ ስርካት (x’y’ coordinate system) መጠቀም አለብን። 

ቅይጥ ብዜሩን (mixed product) ለማስወገድ የሚያስፈልገው የፉረት ዘዌ  (rotation angle) መጠን በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ በተመለከተው ቀመር (formula) ይሰላል።

የቶቢናፎች ግመና ገንጊሳ  (Identification Theorem of Conics)

ገመና (identity) ማለት ማንነት ወይም ምንነት ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ገመና (ከሰው የሚደበቀ የራስ ሚስጥር) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ ገመነ (identify)፣ ግምን (ግሙን) [identified]፣ ገማኒ(ገማኝ) (identifier)፣ ግመና (identification, identifying) እያለ ይሄዳል።  ግመና (identification, identifying) ማለት ገመናን (identity) ማወቅ፣ ማንነትን መለየት ማለት ነው።    

“ቶቢናፎች በጥቅል” በሚለው ጦማር (ክፍል 4)  ላይ እንደተመለከትነው፣ ማናቸውም ክሌቶቢን (double cone) በሰቴ (plane) ሲቆረጥ ቶቢናፍ (conic) ወይም ቦሰቃ ቶቢናፍ (degenerate conic) ይመሰረታል።  ቶቢናፍ (conic) ማለት ክብ (circle)፣ ፉንባ (ellipse)፣ ኦሊጋን (parabola) ወይም ኦላጋን (hyperbola) ማለት ሲሆን፣ ቦሰቃቶ ቢናፍ (degenerate conic) ማለት ደግሞ ነጥብ (point)፣ ቀጤ መስመር (straight line) ወይም ተመሳባሪ ቀጤ መስመሮች (intersecting straight lines) ማለት ነው።

የሚከተለው ገንጊሳ (theorem) ቶቦናፎችን (conics) ለመለየት የሚያገለግል ገንጊሳ (theorem) ነው።  በዚህም ምክኒያት ገንጊሳው በልዩ ስም የቶቢናፎች ግመና ገንጊሳ (identification theorem of conics) ይባላል። 

ፈላይ (discriminant) የሚለው ቃል የተገኘው ፈለየ (ክፉውን ከበጎ ለየ) ከሚለው የግእዝ ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ፈለየ (discriminate)፣ ፍልይ (ፍሉይ) [discriminated]፣ ፈላይ (discriminator, discriminant)፣ ፍለያ (discrimination) እያለ ይሄዳል። 

ፉረታዊ አልጥወጣ  (Rotational Invariance)

ጠዋጢ (variable) ማለት ተለዋዋጭ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ተለዋወጠ ከሚለው ነው። ከዚህም አልጠዋጢ (invariant)፣ አልጠዋጢነት (invariance)፣ አልጥወጣ (invariance) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።  አልጠዋጢ (invariant) ማለት ጠዋጢ (variable) ያልሆነ ማለት ነው። የጠዋጢ (variable) ግስ ሲረባ ጠወጠ (vary)፣ ጥውጥ (varied)፣ ጠዋጢ (varying, variable)፣ ጥወጣ (variation) እያለ ይሄዳል።  

የቶቢናፍ እኩልታ (equation of conic) ፈላይ (discriminant) የእኩልታውን መልክ ለመቀየር ሲባል በሚደረግ የረቲዶች ፉረት (rotation of axis) ሳቢያ እሴቱ (value) አይጠውጠም (does not change) ማለትም አይቀየረም።  በዚህም ምክኒያት ፈላዩ (discriminant) ከረቲዶች ፉረት አንጻር አልጠዋጢ ነው (invariant under rotation of axes) ይባላል።

የብርሃን ዋሜራ (Beam of Light)

ባማረኛ ዋሜራ ማለት አንጓ የሌለው ያገዳ ክፍል፣ መለልታ፣ አመልማሎ ማለት ነው፣ ዋሜራ እግር እንዲሉ።  ይህም ቃል beam የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  የብርሃን ዋሜራ (beam of light) ወይም ባጭሩ ብራሜራ (beam of light) ማለት የብርሃን አመልማሎ ማለት ነው። 

ኮለኮለ (ማለትም በቀጥታ ደረደረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ኮለመ (collimate) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ኮለመ (collimate) ማለት ኩልኩት (parallel) አደረገ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ኮለመ (collimate)፣ ኩልም (collimated)፣ ኮላሚ (collimator)፣ ኩለማ (collimation) እያለ ይሄዳል።  ኩልም ብራሜራ (collimated beam) ማለት የተኮለመ ብራሜራ (light beam) ማለት ነው።

beam (light beam) = ዋሜራ፣ ብራሜራ
collimated beam (collimated light beam) = ኩልም ብራሜራ

ምስሮ (lens) የሚለው ቃል የተገኘው ምስር (lentil) ከሚለው ቃል ነው፣ ያይነተኛ ምስሮ ቅርጽ ከምስር ቅርጽ ጋር ይመሳሰላልና።

የፅብረቃ ሕግ (Law of Reflection)

ወደቀ እና ፀበረቀ ከሚለው ደበረቀ (incident) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ደበረቀ፣ ድብርቅ፣ ደብራቂ፣ ድብረቃ እያለ ይሄዳል።  ደበረቀ (incident) ማለት ከሆነ ነገር ላይ ወደቀ ወይም አረፈ ማለት ሲሆን፣ ደብራቂ (incident) ማለት ደግሞ የሚደበርቅ (ከሆነ ነገር ላይ የሚወድቅ) ማለት ነው።   

incidence = ድብረቃ
reflection = ፅብረቃ
incident ray = ደብራቂ ጨረር
reflected ray = ፅብርቅ ጨረር
angle of incidence = ድብረቃ ዘዌ
angle of reflection = ፅብረቃ ዘዌ

በፅብረቃ ሕግ (the law of reflection of light) መሠረት ብርሃንም ሆነ ሌላ ማናቸውም ዓይንት ሞገድ (wave) ከማናቸውም ፀብራቂ ጸጸፍ (reflecting surface) ላይ ሲንፀባረቅ (reflected) የፅብረቃ ዘዌው (angle of reflection) ከድብረቃ ዘዌ (angle of incidence) ጋር ሁልጊዜም እኩል (always equal) ነው። 

የኦሊጋን ፅብረቃዊ ጠባይ (Reflective Property of Parabola)

የብርሃን ሞገድን (light wave)፣ የድምጽ ሞገድን (sound wave)፣  የጨዳሚ ሞገድን (radio wave) እና የሌላ የማናቸውም ዓይነት ሞገድ ጽብረቃን (reflection of wave) በተመለከተ ማናቸውም ኦሊጋን (parabola) የሚከተሉት የጽብረቃ ጠባዮች (reflective properties) አሉት 

1. ከኦሊጋን አቲክ (focus) የሚመነጭ ጨረር (ray) ከሊጋኑ የሚንጸባረቀው (reflected) ለኦሊጋኑ ረቲድ (axis) ኩልኩት (parallel) በሆነ አቅጣጫ ነው።
2. በግልብጡ (conversely) ደግሞ ለኦሊጋን ረቲድ (axis) ኩልኩት (focus) በሆነ አቅጣጫ ከኦሊጋን ላይ የሚያርፍ ጨረር (ray) የሚንጸባረቀው ወደ ኦሊጋኑ አቲክ (focus) ነው።  

ለኦሊጋን (parabola) ፅብረቃዊ ጠባይ (reflective property) ምክኒያቱ ለኦሊጋን ረቲድ (axis) ኩልኩት (parallel) የሆነ ጨረር ከኦሊጋኑ የሚንፀባረቅበት የፀብረቃ ዘዌ (angle of reflection) ወደ ኦሊጋኑ ከሚያርፍበት የድብረቃ ዘዌ (angle of incidence) ጋር ሁልጊዜም እኩል (equal) በመሆኑ ነው። 

ኦሊጋናዊ ፀብራቂወች (Parabolic Reflectors)

1. የኦሊጋን ቅርጽ (parabolic shape) ያለው ፀብራቂ  (reflector) አሊጋናዊ ፀብራቂ (parabolic reflector) ይባላል።
2. የኦሊጋናዊ ፀብራቂ (parabolic reflector) ዋና ጥቅም እንደ ሉላዊ ፀብራቂ (spherical reflector) ሉላዊ ቡዘት (spherical aberration) የሌለው መሆኑ ነው።   
3. በዚህም ምክኒያት ከኦሊጋናዊ መስታወት (parabolic mirror) የሚገኝ ምስል፣ ከሉላዊ መስታወት (spherical mirror) ከሚገኝ ምስል በጥራት እጅግ የላቀ ነው።
4. የኦሊጋናዊ ፀብራቂ ጉዳቱ፣ ፀብራቂውን መሥራቱ ከባድና ወድ መሆኑ ነው። 

ኦሊጋናዊ ፀብራቂ ሩፓይፋወች (Parabolic Reflective Telescope)

1. ሩቅ ከሚለው ቃል ሩ(tele) የሚለውን ፊልጡፍ (prefix) ማለትም ከቃል ፊትጌ (በስተፊት) የሚለጠፍ ጽሑፍ (ባዕድ መነሻ) እናገኛለን።  
2. ጢኖ (ትንሽ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ጢኖ (micro) የሚለውን ፊልጡፍ (prefix) እናገኛለን። 
3. አይፊያ (ዓይን) ከሚለው የወላይትኛ ቃል ፓይፋ (scope) የሚለውን ኋልጡፍ (suffix) ማለትም ከቃል ኋልጌ (በስተኋላ) የሚለጠፍ ጽሑፍ (ባዕድ መድረሻ) እናገኛለን።
4. ሩ (tele) እና ጢኖ (micro) ከሚሉት ፊልጡፎች (prefixes) እና ፓይፋ (scope) ከሚለው ኋልጡፍ (suffix) ሩፓይፋ (telescope)፣ ጢኖፓይፋ (microscope) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።    

ኦሊጋናዊ ፀብራቂ (parabolic reflector) ከሉላዊ ፀብራቂ (spherical reflector) የላቀ በመሆኑ ምክኒያት የፀብራቂ ሩፓይፋ (reflective telescope) ቀዳማይ መስታወት (main mirror) ሉላዊ (spherical) ከሚሆን ይልቅ ኦሊጋናዊ (parabolic) ቢሆን ይመረጣል፣ ምንም እንኳን ኦሊጋናዊ መስታወትን መሥራት ሉላዊ ምስታወትን ከመሥራት እጅግ በጣም የከበደና የተወደደ (ውድ) ቢሆንም።

ጨዳሚ (Radio)፣ ሩጅና (Television) እና ሩፓት (Telephone

ኢጃ (ዓይን)  ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ጂና (vision) የሚለውን እይታን ሚገልጽ ቃል እናገኛለን።  ይህን ቃል ሩ (tele) ከሚለው ፊልጡፍ (prefix) ጋር በማጣመር ደግሞ ሩጅና (television) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረጀነ (televise)፣ ርጅን (ርጁን) [televised]፣ ረጃኒ (ረጃኝ) [televisor]፣ ርጀና (televising) እያለ ይሄዳል።  ለምሳሌ ያህል ተውኔቱ ይረጀናል ማለት ተውኔቱ በሩጅና ይተላለፋል ማለት ነው። 

ሃይታ (ጆሮ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ፓታ (phone) የሚለውን ድምጽን የሚገልጽ ቃል እናገኛለን።  ይህን ቃል ሩ (tele) ከሚለው ፊልጥፍ (prefix) ጋር በማጣመር ደግሞ ሩፓት (telephone) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረፓተ (telephone)፣ ርፕት (ርፑት) [telephoned]፣ ረፓቲ (telephoning)፣ ርፐታ (telephoning) እያለ ይሄዳል።  ለምሳሌ ያህል ረፕተኝ (telephone me) ማለት በሩፓት አነጋግረኝ (ስልክ ደውልልኝ) ማለት ነው።     

ጨረር እና ድምፅ ከሚሉት ቃሎች ጨዳሚ (radio) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ጨደመ፣ ጭድም (ጭዱም) ፣ ጨዳሚ፣ ጭደማ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ለምሳሌ ያህል ንግግሩ ይጨደማል ማለት ንግግሩ በጨዳሚ ይተላለፋል ማለት ነው።

ኦሊጋናዊ ጨዳሚ ሩፓይፋወች (Parabolic Radio Telescopes)

ጨዳሚ ሩፓይፋ (radio telescope) ማለት ከሩቅ ህዋ (deep space) የሚመነጩ እጅጉን ደካማ (extremely weak) የሆኑ የጨዳሚ ሞገዶችን (radio waves) አቲኩ (focus) ላይ በመሸከፍ (converge) ማለትም ባንድነት በማሰባሰብ፣ እዚያው አቲኩ (focus) ላይ በተቀመጠ ጨዳሚ ፈንጋኝ (detector) በቀላሉ እንዲፈነገኑ (detected) (ማለትም በቀላሉ እንዲደመጡ) የሚያስችል መሣርያ ማለት ነው። 

ፈነገነ (detect) ማለት አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ አፈነፈነ እና አገኘ ከሚሉት ቃሎች ነው።  ግሱም ሲረባ ፈነገነ (detect)፣ ፍንግን (ፍንጉን) [detected]፣ ፈንጋኒ (ፈንጋኝ) [detector]፣ ፍንገና (detecting, detection) እያለ ይሄዳል። 

ኦሊጋናዊ ፀብራቂ (parabolic reflector) ከሉላዊ ፀብራቂ (spherical reflector) የላቀ በመሆኑ ምክኒያት የጨዳሚ ሩፓይፋ (radio telescope) ፀብራቂ (reflector) ሉላዊ (spherical) ከሚሆን ይልቅ ኦሊጋናዊ (parabolic) ቢሆን ይመረጣል፣ ምንም እንኳን ኦሊጋናዊ ፀብራቂን መሥራት ሉላዊ ፀብራቂን ከመሥራት እጅግ በጣም የከበደና የተወደደ (ውድ) ቢሆንም።

የማናቸውም ሩፓይፋ (telescope) የመመንጠል ኃይል (resolving power) ማለትም ለያይቶ ወይም ነጣጥሎ የማየት ኃይል፣ የሩፓይፋው ፀብራቂ (reflector) ባለው ገማዘንግ (diameter) እና በፀብራቂው የሚፀበረቀው ሞገድ (wave) ባለው ሞግርመት (ሞገድ ርዝመት፣ wavelength) ላይ በሚከተለው መንገድ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል።

የጨዳሚ ሞገዶች (radio waves) ሞግርመቶች (wavelengths) ከብርሃን ሞገዶች (light waves) ሞግርመቶች (wavelengths) በካልጃኖ (billion) ደረጃ የሚበልጡ ስለሆኑ፣ ጨዳሚ ሩፓይፋወች (radio telescopes) በቂ የምንጠላ ኃይል (sufficient resolving power) ይኖራቸው ዘንደ፣ ጨዳሚ ፀብራቂወች (radio reflectors) ከብርሃን  ፀብራቂወች (light reflectors) እጅግ በጣም የበለጡ ግዙፎች መሆን አለባቸው። 

ቀልዝር (spectrum) የሚለው ቃል የተገኘው ቀለም እና ዝርዝር ከሚሉት ቃሎች ነው።  ከዚህም ቀልዝራዊ (spectral)፣ ቀልዝርፓይፋ  (spectroscope)፣ ቀልዝርለኪ (spectrometer)፣ ቀልዝር መስመር (spectral line) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።   

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com