ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) ከፍል 4፤ ቶቢናፎች በጥቅል (Part 4: Conics in General)

ማሳሰቢያ

በዚህ ጦማር ላይ የምንጠቀምባቸው ያንዳንድ ቃሎች ትርጉሞች የሚገኙት “ፎላወች፣ ቶቢኖች እና ቶቢናፎች” (Cylinders, Cones & Conic Sections) በሚለው ጦማር ላይ ስለሆነ፣ ይህን ጦማር ከማንበብወ በፊት ጦማሩን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ቶቢን (Cone)

ባማረኛ ቱምቢ ወይም ቱንቢ ማለት ግንበኛ ማዕዘን የሚያስተካክልበት በገመድ የተንጠለጠለ ከቂጡ ሰፋ ካንገቱ ቀጠን ያለ፣ የቅል ቅርጽ ያለው ብረት ነው። ከዚህም ቶቢን (cone)፣ ቶቢናዊ (conic, conical) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።

እንደ ቂሳሲናዊ ሱርፊክ (geometrical figure) ሲታይ ቶቢን (cone) ማለት ክብን (circle) እና ከክቡ በላይ የሚገኝን ፊጣ (vertex) ወይም ቁንጮ (apex) የሚባልን ነጥብ (point) በሚያገናኝ ኩርባ ጸጸፍ (curved surface) የሚመሠረት ዳባ ሱርፊክ (solid figure) ማለትም ወርድ፣ ርዝመትና ከፍታ ያለው ሦስት ሚሃዊ ሱርፊክ (three-dimensional figure) ማለት ነው።

የክቡ መደብ የቶቢኑ ሲማክ (base) ይባላል። የክቡ ጠርዝ የቶቢኑ ሲማክ ጠርዝ (base edge) ይባላል። የክቡ አክዘንግ (radius) ደግሞ የቶቢኑ አክዘንግ (radius) ይባላል።
ከክቡ በላይ ያለው ነጥብ የቶቢኑ ቁንጮ (apex) ወይም ፊጣ (vertex) ይባላል። ባማረኛ ቁንጮ ማለት አናት፣ ጫፍ ማለት ነው። በኦሮምኛ ደግሞ ፊጣ ማለት ጫፍ ማለት ነው።
በቶቢኑ ሲማክ መሃል (center) እና በቶቢኑ ቁንጮ (apex) መካከል ያለው ሩንጋ ርርቀት (perpendicular distance) የቶቢኑ ከፍታ (height) ወይም ዴሪንሳ (altitude) ይባላል።
በቶቢኑ ሲማክ ጠርዝ (base edge) እና በቶቢኑ ቁንጮ (apex) መካከል ያለው ሩንጋ ርርቀት (perpendicular distance) የቶቢኑ ዘሜ ከፍታ (slant height) ይባላል።

የቶቢን ረቲድ (Axis) እና ፊጣ ዘዌ (Vertex Angle)

የቶቢንን ሲማክ (base) መሃል (center) ከቶቢኑ ቁንጮ (apex) ጋር በማገናኘት ቶቢኑን መሃል ለመሃል ስንጥቆ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) የቶቢኑ ረቲድ (axis) ይባላል

በማናቸውም ቶቢን (cone) ፊጣ (vertex) ላይ የቶቢኑ ረቲድ (axis) እና የቶቢኑ ግድግዳ የሚሠሩት ዘዌ (angle) የቶቢኑ ፊጣ ዘዌ (vertex angle) ወይም ቁንጮ ዘዌ (apex angle) ሲባል፣ አብዛኛውን ጊዜ የሚወከለው ደግሞ በግሪክ ፊደል አልፋ (α) ነው።

ሩንጋ ቶቢን እና ዘማማ ቶቢን

ረቲዱ (axis) ለሲማኩ (base) ሩንጋ (perpendicular) የሆነ፣ ማለትም ረቲዱ (axis) ከሲማኩ (base) ጋር 90^o ዘዌ የሚሠራ ቶቢን (cone) በልዩ ስም ሩንጋ ከባዊ ቶቢን (right circular cone) ወይም ባጭሩ ሩንጋ ቶቢን (right cone)ይባላል።

ሩንጋ ያልሆነ ቶቢን ዘማማ ክባዊ ቶቢን (oblique circular cone) ወይም ባጭሩ ዘማማ ቶቢን (oblique cone) ይባላል። ስለዚህም፣ ዘማማ ክባዊ ቶቢን (oblique circular cone) ወይም ባጭሩ ዘማማ ቶቢን (oblique cone) ማለት ረቲዱ (axis) ለሲማኩ (base) ሩንጋ (perpendicular) ያልሆነ፣ ማለትም ረቲዱ ከሲማኩ ጋር የሚሠራው ዘዌ 90^o ያልሆነ ቶቢን ማለት ነው።

ክሌቶቢን (Double Cone)

ሁለት ቶቢኖችን (two cones) ፊጣወቻቸው (vertices) ላይ በማጋጠም የሚገኝ ሦስት ሚሃዊ (three dimensional) ሱርፊክ (figure) ጥንድ ቶቢን ወይም ክሌቶቢን (double cone) ይባላል።

ቶቢናፎች (conic Sections, Conics)

ቶቢን (cone) እና አፍ ከሚሉት ቃሎች ቶቢናፍ (conic section or conic) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ቶቢናፍ (conic section or conic) ማለት ማናቸውም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በሰቴ (plane) ሲቆረጥ ግጠቱ (cross-section) ማለትም ገጦ የሚታየው ክፍል ያለው ቅርጽ (shape) ማለት ነው። በሌላ አባባል ቶቢናፍ ማለት ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በሰቴ (plane) ተቆርጦ አፍ እንዲኖረው ሲደረግ የቶቢኑ አፍ የሚኖረው ቅርጽ ማለት ነው። ቶቢናፎች (conic sections, conics) የሚጠኑበት የሒሳብሲን (mathematics) ዘርፍ ቶቢናፍሲን (conics) ይባላል። ቶቢናፍሲን የሚለው ቃል የተገኘው ቶቢናፍ ከሚለው ቃል እና ሲን (-logy) ከሚለው ኋልጡፍ (suffix) ነው።

conic section (conic) = ቶቢናፍ፣ ቶቢን ዘርፍ
conics (plural of conic) = ቶቢናፎች
conics (study of conics) = ቶቢናፍሲን

አራት ዓይነት ቶቢናፎች (conics) አሉ። እነሱም ክብ (circle)፣ ፉንባ (ellipse)፣ ኦሊጋን (parabola) እና ኦላጋን (hyperbola) ናቸው። ኦሊጋን (parabola) የሚለው ቃል የተገኘው ኦሊ (hypo) ከሚለው ፊልጡፍ (prefix) እና ደጋን (arc) ከሚለው ቃል ሲሆን፣ ኦላጋን ( hyperbola) የሚለው ቃል የተገኘው ደግሞ ኦላ (hyper) ከሚለው ፊልጡፍ( prefix) እና ደጋን (arc) ከሚለው ቃል ነው።

ክብ (circle) የሚገኘው ማናችውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) ከሩንጋ ቶቢኑ ረቲድ (axis of cone) ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) 90^o ሲሆን ነው፣ ማለትም β = 90^oሲሆን ነው። በሌላ አባባል ክብ (circle) የሚገኘው ቶቢናፉን የሚቆርጠው ሰቴ (plane) ከቶቢናፉ ረቲድ (axis) ጋር ሩንጋ (perpendicular) ሲሆን ነው።
ፉንባ (ellipse) የሚገኘው ማናቸውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) ከቶቢኑ ረቲድ (axis of cone) ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) በ 0^o እና 90^o መካክል ሲሆን ነው፣ ማለትም 0^o < β < 90^oሲሆን ነው።
ኢሊጋን (parabola) የሚገኘው ማናቸውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) ከቶቢኑ ረቲድ (axis of cone) ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) ከቶቢኑ ፊጣ ዘዌ (vertex angle) ጋር እኩል ሲሆን ነው፣ ማለትም β = α ሲሆን ነው። በሌላ አባባል ኦሊጋን (parabola) የሚገኘው ሩንጋ ቶቢን (right double cone) ለቶቢኑ ጎን (wall of the cone) ኩልኩት (parallel) በሆነ ሰቴ (plane) ሲቆረጥ ነው።
ኦላጋን (hyperbola) የሚገኘው ማናቸውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) ከቶቢኑ ረቲድ (axis of cone) ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) 0^o ሲሆን ነው፣ ማለትም β = 0^oሲሆን ነው። በሌላ አባባል ኦላጋን (parabola) የሚገኘው ሩንጋ ቶቢን (right double cone) ለቶቢኑ ረቲድ (axis of the cone) ኩልኩት (parallel) በሆነ ሰቴ (plane) ሲቆረጥ ነው።

ሁሉም ቶቢናፎች (conic sections, conics) ባንድነት ሲሶረፈኩ (figured) የሚከተለውን ይመስላሉ።

ቦሰቃ ቶቢናፎች (Degenerate Conics)

በቀቅሱ (መሰንጠቅ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል እንዲሁም በቀቀ (ተሰነጠቀ፣ ተከፈተ፣ ተላቀቀ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ቦሰቃ (degenerate) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ቦሰቃ (degenerate) ማለት በደረጃ ዝቅተኛ የሆነ፣ ስንጥቅጥቅ፣ ፍንክትክት፣ ብስባሽ እንደማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ቦሰቀ (to degenerate)፣ ቡስቅ (degenerated)፣ ቦሳቂ [degenerating]፣ ቡሰቃ (degeneration) እያለ ይሄዳል። ቦሰቀ ማለት ቦሰቃ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ቡስቅ ማለት ደግሞ የቦሰቀ ወይም የተቦሰቀ ማለት ነው።

degenerate = ቦሰቃ
degenerate (verb) = ቡሰቀ
degeneration = ቡሰቃ
degenerate energy level = ቦሰቃ የጉልበት ጠለል
degenerate conics = ቦሰቃ ቶቢናፎች

ነጥብ (point)፣ መስመር (line) እና ተመሳባሪ መስበሮች (intersecting lines) ቶቢን (cone) በሰቴ (plane) ሲቆረጥ የሚገኙ እንደ ዝቅተኛ ቶቢናፎች (lower grade conics) የሚቆጠሩ ቦሰቃ ቶቢናፎች (degenerate conics) ናቸው።

ነጥብ (point) የሚገኘው ማናችውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) የሚያልፈው በቶቢኑ ፊጣ (vertex) ላይ ብቻ ሲሆን ነው።
መስመር (line) የሚገኘው ማናችውንም ሩንጋ ቶቢን (right circular cone) በመቁረጥ ቶቢናፍ (conic section) የሚሠራው ሰቴ (plane) ከቶቢኑ ግድግዳ (wall of the cone) ጋር የሚታከክ ታክመር ሰቴ (tangent plane) ሲሆን ብቻ ነው። ይህ በሚሆንበት ጊዜ ደግሞ ታክመር ሰቴው (tangent plane) ከቶቢኑ ረቲድ (axis of cone) ጋር የሚሠራው ዘዌ (angle) ከቶቢኑ ፊጣ ዘዌ (vertex angle) ጋር እኩል ይሆናል፣ ማለትም β = α ይሆናል።
የሩንጋ ቶቢንን ግድግዳ (wall of cone) የሚታከክ ሰቴ (plane)፣ ማለትም ታክመር ሰቴ (tangent plane) የሚሠራው መስመር (line) እና የቶቢኑ ረቲድ (axis) በቶቢኑ ፊጣ (vertex) ላይ የሚመሳበሩ (intersect) ማለትም የሚቆራረጡ ተመሳባሪ መስመሮች (intersecting lines) ናቸው።

የቶቢናፎች አጠቃላይ ብያኔ (General Definition of Conics)

ቶቢናፎች (conics) በሚከተለው መንገድ ባጠቃላይ ሊበየኑ (defined) ይቻላሉ። በሌላ አባባል የሚከተለው ብያኔ (definition) ሁሉንም የቶቢናፍ ዓይነቶች (all types of conics) የሚያጠቃልል አጠቃላይ ብያኔ (generalized definition) ነው። በዚህ ብያኔ ላይ ዱራት (directrix) የሚለው ቃል የተገኘው ዱራ ተአ (ማለትም መሪ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።

በማናቸውም ዓይነት ቶቢናፍ (conic section) ላይ የሚገኙ እያንዳንዳቸው ነጥቦች (points) ከቶቢናፉ አቲክ (focus) ያላቸው ርቀት ከቶቢናፉ ዱራት (directrix) ላላቸው ርቀት ሲደሸር (divided) ማለትም ሲካፈል የሚገኘው እሴት ለሁሉም የቶቢናፉ ነጥቦች እኩል የሆነ ቋሚ እሴት (constant value) ሲሆን፣ እሱም የቶቢናፉ ሙለት (eccentricity) ነው።

ለምሳሌ ያህል የኦሊጋን (parabola) ሙለት (eccentricity) ቶኮ (one = 1) ስለሆነ፣ ማለትም e = 1 ስለሆነ፣ የኦሊጋን ሁሉም ነጥቦች ከኦሊጋኑ ዱራት (directrix) ያላቸው ርቀት፣ ከኦሊጋኑ አቲክ (focus) ካላቸው ርቀት ጋር እኩል ነው።

የቶቢናፍ ዐብይ ረቲድ (Major Axis)

በማናቸውም ቶቢናፍ (parabola) አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) ላይ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) ከቶቢናፉ ዱራት (directrix) ጋር ዱራት ነጥብ (directrix point) በሚሰኝ ነጥብ ላይ በመመሳበር (intersect) ማለትም በመቆራረጥ 90^o ዘዌ (angle) ይሠራል። በሌላ አባባል በማናቸውም ቶቢናፍ አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) የሚያልፍ መስመር ከቶቢናፉ ዱራት (directrix) ጋር ሁልጊዜም ሩንጋ (perpendicular) ነው።
ማናችም ቶቢናፍ በአቲኩ (focus) እና በፊጣው (vertex) ላይ ከሚያልፈው ቀጤ መስመር አንጻር ክምክም (symmetric) ነው፣ ማለትም ከመስመሩ በተቃራኒ ጎኖች ያሉት የቶቢናፉ ክፍሎች የርስበርሳቸው መስታዋታዊ ፅብረቃወች (mirror reflections) ናቸው። በዚህም ምክኒያት መስመሩ የቶቢናፉ ክምከማ ረቲድ (symmetry axis, axis of symmetry) ይባላል።
ማናቸውም ቶቢናፍ ያለው የክምከማ ረቲድ(axis of symmetry) በቶቢናፉ አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) የሚያልፈው ቀጤ መስመር ብቻ ከሆነ፣ ይህ የክምከማ ረቲድ አብዛኛውን ጊዜ ባጭሩ ረቲድ (axis) ይባላል።
ቶቢናፉ ሌላ ተጨማሪ የክምከማ ረቲድ (symmetry axis) ያለው ከሆነ፣ በቶቢናፉ አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) ላይ የሚያልፈው የክምከማ ረቲድ (symmetry axis) የቶቢናፉ ዐብይ ረቲድ (major axis) ይባላል።

የቶቢናፍ አቲክ ርዝመት (Focal length)

የቶቢናፍ አቲክ (focus) ከቶቢናፉ ፊጣ(vertex) ያለው ርቀት የቶቢናፉ አቲክ ርዝመት (focal length) ይባላል።
በሌላ በኩል ደግሞ የቶቢናፍ አቲክ ርዝመት (focal length) የቶቢናፉ ፊጣ (vertex) ከቶቢናፉ ዱራት ነጥብ (directrix point) ያለው ርቀት ነው ሊባልም ይችላል፣ ፊጣው ከዱራት ነጥብ ያለው ርቀት፣ ፊጣው ከአቲክ ካለው ርቀት ጋር እኩል ነውና።

የክብ እና የፉንባ ሙለት (Eccentricity)

ክብን (circle) እና ፉንባን (ellipse) በተመለከተ የንግሊዘኛው ኢሰንትሪሲቲ (eccentricity = e) ባማረኛ ሙለት ይባላል፣ ምክኒያቱም የ e እሴት (value of e) የሚያመለከተው ፉንባው ምን ያህል እየሞለለ፣ ማለትም ምን ያህል ከፍጹም ክብ (perfect circle) እየራቀ መሄዱን ነውና።

የክብ (circle) ማለትም የፍጹም ክብ (perfect circle) ሙለት (eccentricity) እቅጩን (precisely) ዳዶ (zero = 0) ነው፣ ማለትም e = 0 ነው።
የፉንባ (ellipse) ሙለት (eccentricity) በዳዶ (zero = 0) እና በቶኮ (one = 1) መካከል ነው፣ ማለትም 0 < e < 1 ነው።
የፉንባ ሙለት (e) ወደ ዳዶ (zero = 0) እየተቃረበ ሲሄድ (e → 0)፣ ፉንባው ወደ ፍጹም ክብ እየተቃረበ ይሄዳል።
የፉንባ ሙለት (e) ከዳዶ (zero = 0) እየራቀ ሲሄድ፣ ፉንባው የበለጠ እየሞለለ፣ ማለትም ከፍጹም ክብ የበለጠ እየራቀ ይሄዳል።
የፉንባ ሙለት (e) ወደ ቶኮ (one = 1) እየተቃረበ ሲሄድ (e → 1)፣ ፉንባው ወደ ቀጤ መስመር (straight line) እየተቃረበ ይሄዳል።

የኦሊጋን እና የኦላጋን ዝርጠጣ (Eccentricity)

ኦሊጋንን (parabola) እና ኦላጋንን (hyperbola) በተመለከተ የንግሊዘኛው ኢሰንትሪሲቲ (eccentricity = e) ባማረኛ ዝርጠጣ ይባላል፣ ምክኒያቱም የ e እሴት (value of e) የሚያመለከተው ኦላጋኑ (hyperbola) ምን ያህል እየተዘረጠጠ፣ ማለትም ምን ያህል ከኦሊጋን (parabola) እየራቀ መሄዱን ነውና።

የኦሊጋን (parabola) ዝርጠጣ (eccentricity) እቅጩን (precisely) ቶኮ (one = 1) ነው፣ ማለትም e = 1 ነው።
የኦላጋን (hyperbola) ዝርጠጣ (eccentricity) ከቶኮ (one = 1) የበለጠ ነው፣ ማለትም e > 1 ነው።
የኦላጋን (hyperbola) ዝርጠጣ (eccentricity) ወደ ቶኮ (one = 1) እየተቃረበ ሲሄድ (e → 1)፣ ኦላጋኑ (hyperbola) ወደ ኦሊጋን (parabola) እየተቃረበ ይሄዳል።
የኦላጋን (hyperbola) ዝርጠጣ (eccentricity) ከቶኮ (one = 1) እየራቀ ሲሄድ፣ ኦላጋኑ የበለጠ እየተዘረጠጠ፣ ማለትም የበለጠ ከኦሊጋን (parabola) እየራቀ ይሄዳል።
የኦላጋን (hyperbola) ዝርጠጣ (eccentricity) ወደ ኢወዳኢ (infinity = ∞) እየተቃረበ ሲሄድ (e → ∞)፣ አላጋኑ (hyperbola) ወደ ቀጤ መስመር (straight line) እየተቃረበ ይሄዳል።