ሰቴ ቀንጅ ቂሳሲን (Plane Coordinate Geometry) ከፍል 3፤ ክብ (Part 3: Circle)

ደርክ (Standard)

ደረጃ ከሚለው ደርክ (ደርከኛ) [standard] የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን። ደርክ (ደርከኛ) [standard] ማለት መደበኛ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደረከ (standardize)፣ ድርክ (ድሩክ) [standardized]፣ ደራኪ (standardizing)፣ ድረካ (standardization) እያለ ይሄዳል።

standard = ደርክ፣ ደርከኛ
standard equation = ደርከኛ እኩልታ
standard deviation = ደርከኛ ፍንገጣ
standard form = ደርከኛ መልክ
standard unit = ደርከኛ ቶካድ
standard of time = የጊዜ ደርክ
standard of living = የኑሮ ደርክ
standardize = ደረከ
standardization = ድረካ

ሱርፊክ (Figure) እና ኢዶ (Locus)

ሱራ (ስዕል) እንዲሁም ፈኪ (ስዕል) ከሚሉት የኦሮምኛ ቃሎች ሱርፊክ (figure) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ሱርፊክ ማለት ንድፍ፣ ስዕል ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ሶረፈከ (to figure)፣ ሱርፍክ (figured)፣ ሶርፋኪ (figuring)፣ ሱርፈካ (figuring) እያለ ይሄዳል። ሱርፊክሳ (figurehead) ማለት ደግሞ የይስሙላ መሪ ማለት ነው።

ኢዶ ማለትም ቦታ የሚለው የኦሮምኛ ቃል locus የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። ኢዶ (locus) ማለት የተወሰኑ መስፈርቶችን ወይም እኩልታወችን (equations) የሚያሟሉ ነጥቦች ባንድነት የሚሠሩት ክብን (circle) ወይም ሉልን (sphere) የመሰለ ቂሳሲናዊ ሱርፊክ (geometrical figure) ማለት ነው።

figure = ሱርፊክ
locus = ኢዶ
locus of points = የነጥቦች ኢዶ

ካልቶና ግማራ (Completing the Square)

ገመረ (ፈጸመ፣ ጨረሰ) የሚለው የግእዝ ቃል complete, complement የሚሉትን የንግሊዘኛ ቃሎች ይተካልናል። ገመረ (complete, complement) ማለት ሙሉ አደረገ፣ ሞላ፣ አሟላ ማለት ሲሆን ፣ ግሱም ሲረባ ገመረ (complete, complement)፣ ግምር (ግሙር) [completed, complemented]፣ ገማሪ (competing, complementing)፣ ግማራ (completing, complementing) እያለ ይሄዳል።

በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ካልቶና ግመራ (completing the square) ማለት ካልቶናን (square) ሙሉ ማድረግ ወይም ካልቶና ያልሆነን ካልቶናማድረግ ማለት ነው።

የክብ ብያኔ (Definition of Circle)

“ክብና ፉንባ” በሚለው ጦማር ላይ በስፋት እንደተወሳው፣ ክብ ማለት ሁሉም ነጥቦቹ ከመሀሉ (center) እኩል ርቀት ላይ የሚገኙ ሰቴ ሱርፊክ (planar figure) ነው። በኢዶ (locus) ቋንቋ ደግሞ ክብ ማለት መል (center) ከሚባል አንድ ነጥብ ያላቸው ርቀት እኩል የሆነ የወልሰቴ ነጥቦች ኢዶ (locus of coplanar points) ነው ተብሎ ይበየናል (defined)።

የክብ ደርከኛ እኩልታ (Standard Equation of a Circle)

ያንድ ክብ መሀል (center) የሚገኘው ነጥብ C (h, k) ላይ ነው እንበል።
የክቡ አክዘንግ (radius) r ነው እንበል።
ነጥብ P (x, y) በክቡ ላይ የሚገኝ የዘፈቀደ ነጥብ (arbitrary point) ነው እንበል።
በነጥቦች C (h, k) እና P (x, y) ላይ የርቀት ቀመርን (distance formula) በመጠቀም፣ የሚከተለውን የክቡን እኩልታ (equation of circle) የሚሰጠውን ቀመር እናገኛለን። ይህም እኩልታ የክብ ደርከኛ እኩልታ (standard equation of a circle) ይባላል።

የክብ አጠቃላይ እኩልታ (General Equation of a Circle)

በሩንጌራባዊ ቅንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) መሠረት የማናቸውም ክብ አጠቃላይ እኩልታ (general equation) እንዲሁም የክቡ መሀል (center) እና አክዘንግ (radius) በሚከተሉት ቀመሮች ይሰጣሉ።

የማናችውንም ክብ እኩልታ ባጠቃላይ መልክ (general form) ከመግለጽ ይልቅ በደርከኛ መልክ (standard form) መግለጽ የበለጠ ገላጭ ይሆናል፣ የክቡን መሀል (center) እና አክዘንግ (radius) በቀላሉ ለማንበብ ያስችላልና። የክብ እኩልታ አጠቃላይ መልክ (general form) ወደ ደርከኛ መልክ (standard form) የሚለወጠው ደግሞ የካልቶና ግመራ (completing the square) ዘዴን በመጠቀም እንደሚከተለው ነው።

ወልመሀል ክቦች (Concentric Circles)

መሀላቸው (center) ያው (same) የሆነ፣ ማለትም አንድ መሃል ያላቸው ወልሰቴ ክቦች (coplanar circles) ማለትም በያው ሰቴ (same plane) ላይ የሚውሉ ክቦች ወልመሀል ክቦች (concentric circles) ይባላሉ። በሌላ አባባል ወልመሀል ክቦች ማለት መሀላቸውም አንድ፣ ሰቴያቸውም አንድ የሆነ ክቦች ማለት ነው።

ባንድ ሰቴ (same plane) ላይ የሚውሉ ሁለት ያውሰቴ ክቦችን (coplanar circles) እናጢን።
ያንደኛው ክብ እኩልታ (equation) ባጠቃላይ የክብ እኩልታ (general equation of a circle) መልክ ሲገለጽ x² + y²+ D₁x + E₁x +F₁ = 0 ነው እንበል።
የሌላኛው ክብ እኩልታ (equation) ደግሞ ባጠቃላይ የክብ እኩልታ (general equation of a circle) መልክ ሲገለጽ x² + y²+ D₂x + E₂x +F₂ = 0 ነው እንበል።
ሁለቱ ክቦች ወልመሀል ክቦች (concentric circles) የሚሆኑት የ x ቆኒካወቻቸው (x coefficients) እኩል ሲሆኑ (ማለትም D₁ = D₂ ሲሆኑ) እንዲሁም በተጨማሪ የ y ቆኒካወቻቸው (y coefficients) እኩል ሲሆኑ (ማለትም E₁ = E₂ ሲሆኑ) ብቻና ብቻ ነው።

የክብ ዊታር (Chord)፣ ቆርመር (Secant) እና ታክመር (Tangent)

ሁለቱ ጫፎቹ በክብ ጠርዝ ላይ የሚወሉ ማናቸውም የቀጤ መስመር ዐጽቅ (straight line segment) የክቡ ዊታር (chord) ይባላል። በሌላ አባባል የክብ ዊታር (chord) ማለት በክብ ላይ የሚገኙ ማናችውንም ሁለት ነጥቦች በቀጥታ የሚያገናኝ የቀጤ መስመር ዐጽቅ ማለት ነው። ዊታር (chord) የሚለው ቃል የተገኘው ወተረ (ገተረ፣ ወጠረ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው። በግእዝ አውታር ማለት የተወጠሩ፣ የተገተሩ ማለት ነው፣ የበገና አውታር እንዲሉ።
ክብን ሁለት ነጥቦች ላይ ቆርጦ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) ቆርመር (secant, secant line) ሲባል፣ መስመሩ ከቡን የሚቆርጥባቸው ነጥቦች ደግሞ ቁርመራ ነጥቦች (points of secancy) ይባላሉ። ቆርመር (secant) የሚለው ቃል የተገኘው “ቆራጭ መስመር” ከሚለው ሐረግ ነው።
ክብን አንድ ነጥብ ላይ ብቻ የሚነካ ቀጤ መስመር (straight line) ታክመር (tangent, tangent line) ሲባል፣ መስመሩ ክቡን የሚታከክበት ነጥብ ደግሞ ትክመራ ነጥብ (point of tangency) ይባላል። ታክመር (tangent) የሚለው ቃል የተገኘው “ታካኪ መስመር” ከሚለው ሐረግ ነው።

የታክመር ርዝመት (Length of tangent) እና ሁለት-ታክመር ገንጊሳ (Two-tangent theorem)

ከሆነ ነጥብ (point) የሚነሳ የክብ ታክመር (tangent) ከሚነሳበት ነጥብ እስክ ትክመራው ነጥብ (point of tangency) ድርስ ያለው ርዝመት የክብ ታክመር ርዝመት (length of tangent of circle) ወይም ባጭሩ የታክመር ርዝመት (tangent length) ይባላል።
ካንድ ነጥብ የሚነሱ የክብ ታክመሮች ያላቸው ርዝመት እኩል ነው። ይህም እውነታ ሁለት-ታክመር ገንጊሳ (two-tangent theorem) ይባላል።
የታክመር ርዝመት (length of tangent) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል።

ሩንጋ ክቦች (Orthogonal Circles) እና የሩንጋነት መስፈርት (Orthogonality Condition)

ሩንጋ ክቦች (orthogolal circles, perpendicular circles) ማለት ሩንጋ ዘዌ (right angle = 90^o) በመስራት የሚመሳበሩ (intersect) ማለትም የሚቆራረጡ ክቦች ማለት ነው። በሌላ አባባል ሩንጋ ክቦች ማለት በሚመሳበሩባቸው ነጥቦች (intersection points) ላይ ያሏቸው ታክመሮች (tangents) ርስበራሳቸው ሩንጋ (perpendicular) የሆኑ፣ ማለትም ሩንጋ ዘዌ (right angle = 90^o) የሚሠሩ ክቦች ማለት ነው።

ማናችውም ሁለት ክቦች ሩንጋ (orthogonal, perpendicular) ይሆኑ ዘንድ ማሟላት ያለባቸው መስፈርት (condition, criterion)፣ የሩንጋነት መስፈርት (orthogonality condition, orthogonality criterion) ይባላል። ይህም መስፈርት በሚከተለው ሱርፊክ ላይ ተመልከቷል።