ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ክፍል 7፤ ተመሳሳይ ገበቃወች እና የገበቃወች ድየጋ (Part 7: Similar Matrices & Matrix Diagonalization)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 7) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም ክፍል 1 እስከ 6) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት እነሱን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ግንገና (Theory)፣ ገንጊሳ (Theorem)፣ ኑስጊሳ (Corollary) እና ረዲሳ (Lemma)

1. ግንገና (theory) ማለት ንድፈ ሐሳብ (የሐሳብ ንድፍ) የምንለው ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ገነገነ (ጠረጠረ፣ መረመረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ገነገነ (theorize)፣  ግንግን (ግንጉን) [theorized]፣ ገንጋኒ (ገንጋኝ) [theorizer, theorist]፣  ግንግነት (theorization)፣ ግንጋኔ፣ ግንጋኖሽ እያለ ይሄዳል።
2. ገንገና (theory) ከሚለው ቃል በመነሳት ደግሞ ገንጊሳ (theorem) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ገንጊሳ (theorem) ማለት ትክክለኛነቱ በሚገባ የተረጋገጠ ዐብይ ሒሳብሲናዊ ሐቅ (major mathematical fact) ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ገነገሰ፣ ግንግስ (ግንጉስ)፣ ገንጋሲ (ገንጋሽ)፣ ግንገሳ፣ ግንግሰት፣ ግንጋሴ፣ ግንጋሶሽ እያለ ይሄዳል።
3. ኑስጊሳ (corollary) ማለት ከሆነ ገንጊሳ (theorem) በቀጥታና በቀላሉ የሚገኝ አናሳ ገንጊሳ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ እኑስ እና ገንጊሳ (theorem) ከሚሉት ቃሎች ነው።
4. ረዲሳ (lemma) ማለት ከፍተኛ ገንጊሳን ለማረጋገጥ የሚረዳ ረዳት ገንጊሳ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ረዳት እና ገንጊሳ (theorem)  ከሚሉት ቃሎች ነው።  ረዲሳ የሚለውን ለሜሳ ልንለውም እንችላለን።  በኦሮምኛ ለሜሳ ማለት ብሩክ፣ የተባረከ፣ በረከት የሚያመጣ ማለት ነው። መርዳት ደግም ብሩክነት ነው።      

theory = ግንገና
theorize = ገነገነ
theorem = ገንጊሳ
theorem (verb) = ገነገሰ
corollary = ኑስጊሳ
lemma = ረዲሳ፣ ለሜሳ

ንደሳ (Induction) እና ድደሳ (Deduction)

1. ኢንዲዩስ (induce) የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል በመጠኑ በመለወጥ ነደሰ (induce) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  በተመሳሳይ መንገድ ደዲዩስ (deduce) የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል በመጠኑ በመለወጥ ደደሰ (deduce) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. የነደሰ (induce) ግስ ሲረባ ነደሰ (induce)፣ ንድስ (ንዱስ) [induced]፣ ነዳሲ (ነድሽ) [inducing, inductor]፣ ንደሳ (induction)፣ ንድሰት፣ ንዳሴ፣ ንዳሶሽ እያለ ይሄዳል።  የደደሰ (deduce) ግስ ሲረባ ደደሰ (deduce)፣ ድድስ (ድዱስ) [deduced]፣ ደዳሲ (ደዳሽ) [deducing, deductor]፣ ድደሳ (deduction)፣ ድድሰት፣ ድዳሴ፣ ድዳሶሽ እያለ ይሄዳል።
3. ንደሳ (induction) ማለት ከተወሰነ ሐቅ (specific fact) በመነሳት ወደ አጠቃላይ ሐቅ (general fact) መውጣት (ከፍ ማለት) ሲሆን፣ ድደሳ (deduction) ማለት ደግሞ ካጠቃላይ ሐቅ (general fact) በመነሳት ወደ ውስን ሐቅ (specific fact) መውረድ ማለት ነው። 

induce = ነደሰ
induced = ንድስ፣ ንዱስ
induction = ንደሳ
mathematical induction = ሐሳብሲናዊ ንደሳ
inductive reasoning = ንደሳዊ ምክነታ
inductive logic = ንደሳዊ ሲንሲን
deduce = ደደሰ
deduced = ድድስ፣ ድዱስ
deduction = ድደሳ
deductive reasoning = ድደሳዊ ምክነታ
deductive logic =  ድደሳዊ ሲንሲን

አስፈላጊ (necessary)፣ በቂ (sufficient) እና ቅልባሽ (converse)

1. ለሆነ ክስተት አስፈላጊ ሁናቴ (necessary condition) ማለት፣ ክስተቱ እንዲከሰት የግድ መሟላት ያለበት ሁናቴ (condition) ማለት ነው።  አስፈላጊው ሁናቴ ተሟልቷል ማለት ግን ክስተቱ በርግጠኝነት ይከሰታል ማለት አይደለም። 
2. ለሆነ ክስተት በቂ ሁናቴ (sufficient condition) ማለት፣ እስከተሟላ ደረስ ክሰተቱ በርግጠኝነት እንደሚከሰት ዋስትና (guarantee) የሚሰጥ ሁናቴ (condition) ማለት ነው።  
3. ባማረኛ ቀለበሰ ማለት ዐጠፈ፣ ወደ መጣበት መለሰ ማለት ነው።  ይህም ቃል converse የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ቀለበሰ (to converse)፣ ቅልብስ (ቅልቡስ) [conversed]፣ ቀልባሲ (ቀልባሽ) [conversing]፣ ቅልበሳ (conversing)፣ ቅልብሰት፣ ቅልባሴ፣ ቅልባሶሽ እያለ ይሄዳል። 
4. ቅልባሽ (converse) ማለት የተቀለበሰ ማለት ነው። 

sufficient = በቂ
not sufficient = አልበቂ
sufficient condition = በቂ ሁናቴ 
necessary = አስፈላጊ
not necessary = አላስፈላጊ
necessary and sufficient -= አስፈላጊና በቂ
necessary but not sufficient = አስፈላጊ ግን አልበቂ
necessary condition  = አስፈላጊ ሁናቴ
converse = ቅልባሽ
converse (verb) – ቀለበሰ

አቻ ዝምድና (Equivalence Relation)

የሆስሌት መሠረታዊ ሁጀማወች (The Fundamenta Operations of Algebra) በሚለው ጦማር ላይ እንደተወሳው፣ ሁለት እሴቶች (two values) የተወሰነ ዓይነት ዝምድና (relationship) ካላቸው፣ዝምድናው አቻ ዝምድና (equivalence relation) ነው የሚባለው የሚከተሉትን ሦስት ጠባዮች (three properties) የሚያሟላ ከሆነ ብቻ ነው።

1. የበያሪነት ጠባይ (reflexivity property, reflexivity)።  በዚህ ጠባይ (property) መሠረት ማናቸውም እሴት ከራሱ ጋር ዘመድ መሆን አለበት።  ከራሱ ጋር የተጣላ የበያሪነትን ጠባይ አያሟላም። እሴት A ከራሱ ጋር የተዛመደ ስለዚህም የበያሪነትን ጠባይ የሚያሟላ መሆኑን ለማሳየት በመልክ A ~ A ይጻፋል። 
2. የሸግራጊነት ጠባይ (transitive property, transitivity)።  በዚህ ጠባይ መሠረት A ከ B ጋር የተወሰነ ዓይነት ዝምድና (relation) ካለውና B ደግሞ ከ C ጋር የዚያው ዓይነት ዝምድና ካለው፣ A ከ C ጋር በዚያው ዓይነት ዝምድና የተዛመደ መሆን አለበት (A ~ B  እና B ~ C ==> A ~ C) ።   ስለዚህም የሸግራጊነት ጠባይ ማለት የዘመዴ ዘመድ ዘመዴ ነው ወይም ዘመድህ ዘመዴ ማለት ነው፣ ዘመድ ከዘመዱ አህያ ካመዱ እንዲሉ።   
3. የክምክመት ጠባይ (symmetry property)።  በዚህ ጠባይ መሠረት A ከ B ጋር የተወሰነ ዓይነት ዝምድና ካለው፣ B ደግሞ ከ A ጋር በዚያው ዓይነት ዝምድና የተዛመደ መሆን አለበት (A ~ B   ==> B ~ A)።  በሌላ አባባል የክምክመት ጠባይ ማለት በእኩል ዓይን መተያየት ማለት ነው። 

1. በየረ (reflex) ማለት ደመነፍሳዊ መልስ ሰጠ እንደማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ በረየ (በረገገ፣ ደነበረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው፣ ዕባብ ያየ በልጥ በረየ እዲሉ። ግሱም ሲረባ በየረ፣ ብይር (ብዩር)፣ በያሪ፣ ብየራ፣ ብይረት፣ ብያሬ፣ ብያሮሽ እያለ ይሄዳል። 
2. ሸገረገ (transit) ማለት ተሻገረ ወይም አሻገረ እንደማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ሽግግር ከሚለው ነው።  ግሱም ሲረባ ሸገረገ (transit)፣ ሽግርግ (ሽግሩግ) (transited)፣ ሸግራጊ (transitor)፣ ሽግረጋ (transiting, transition)፣ ሽግርገት፣ ሽግራጌ፣ ሽግራጎሽ እያለ ይሄዳል። 
3. ክምክመት (symmetry) ማለት መመጣጠን እንደማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ከመከመ (symmetrize)፣ ክምክም (ክምኩም) [symmetrized]፣ ከምካሚ (symjetrizer)፣ ክምከማ (symmetrization)፣ ክምካሜ፣ ክምካሞሽ እያለ ይሄዳል። 

ደያግ (Diagonal) እና ድየጋ (Diagonalization)

1. ወዲያ እና ጎን ከሚሉት ቃሎች ደያግ (diagonal) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. ደያግ (diagonal) ማለት ሰያፍ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደየገ (diagonalize)፣ ድይግ (ድዩግ) [diagonalized]፣ ደያጊ (diagonalizing)፣ ድየጋ (diagonalization)፣ ድይገት፣ ድያጌ፣ ድያጎሽ እያለ ይሄዳል። 
3. ደየገ (diagonalize) ማለት ደያግ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ድይግ (ድዩግ) [diagonalized] ማለት ደግሞ የተደየገ ማለት ነው። 

diagonal = ደያግ
diagonalize = ደየገ
diagonalized = ድይግ (ድዩግ)
diagonalization = ድየጋ
diagonalizable (diagonalizability) = ተደያጊ፣ ተደያጊነት

የገበቃ ደያጎች (Diagonals of a Matrix) 

1. ማናቸውም ገበቃ (matrix) ሁለት ደያጎች (two diagonals) አሉት።
2. ከግራ ራስጌ (top left) ወደ ቀኝ ግርጌ (bottom right) የሚሄደው ደያግ ዐብይ ደያግ (main diagonal, major diagonal) ወይም ቀዳማይ ደያግ (primary diagonal) ይባላል። 
3. ከቀኝ ራስጌ (top right) ወደ ግራ ግርጌ (bottom left) የሚሄደው ደያግ ደግሞ ንዑስ ደያግ (minor diagonal) ወይም ካልዓይ ደያግ (secondary diagonal) ይባላል። 

ደያግ ገበቃ (Diagonal Matrix)

1. ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ማለት አልዳዶ (nonzero) የሆኑት ዐባሎቹ (elements) ሊገኙ የሚችሉት ዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ ብቻ የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው። 
2. ስለዚህም ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) በመጀመርያ ደረጃ የረድፎቹ ቁጥር (number of rows) እና የዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) እኩል የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው። 
3. በሁለተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የማይገኙት ዐባሎቹ (elements) ሁሉም ዳዶ (zero) ናቸው።
4. በሦስተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የሚገኙት ዐባሎቹ ዳዶ (zero) ሊሆኑም ላይሆኑም ይችላሉ። 

የደያግ ገበቃወች ብዘራ (multiplication)

1. ደያግ ገበቃወች (diagonal matrices) የረድፍና የዐምድ ቁጥሮቻቸው እኩል የሆኑ ካልቶና ገበቃወች (square matrices) ስለሆኑ፣ ሚሃወቻቸው (dimensions) እኩል እስከሆኑ ድረስ ለብዜር መያጊ (conformable for multiplication) ናቸው፣ ማለትም ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ። 
2. የደያግ ገበቃወች ብዘራ (multiplication of diagonal matrices) ሁልጊዘም አስነዋኝ (commutative) ነው፣ ማለትም በደያግ ገበቃወች ብዘራ ላይ የብዘራው ቅደም ተከተል ለውጥ አያመጣም። 
3. ደያገ ገበቃወችን መበዘር (multiply) ማለት በዐብይ ደያጎቻቸው (main diagonals) ላይ የሚገኙትን ወልታቢ ዐባሎቻቸውን መበዘር (multiplying corresponding elements) ማለት የሆነ በጣም ቀላል ብዘራ (multiplication) ነው።  

የደያግ ገበቃ ርቢ (Power of Diagonal Matrix)

1. ቁጥር p ማናቸውም ወንታ ወይም ሉንታ ጉተማ (positive or negative integer) ነው እንበል፣  
2. ገበቃ (matrix) A ደግሞ ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ስለሆነም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው እንበል፣
3. የደያግ ገበቃ (diagonal matrix) A በጉተማ (integer) p ረቢ (power) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

በተለይም ደግሞ የደያግ ገበቃ ግልብጥ (inverse of a diagonal matrix) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

የደያግ ገበቃ ወሳጊ (Determinant)

1. የደያግ ገበቃ (diagonal matrix) አልደያግ ዐባሎች (non-diagonal elements) ሁሉም ዳዶ (zero) ስለሆኑ፣ ክፍል 3 ላይ በሰፊው የተወሳውን የወሳጊ ዐብርነታን ርብባን (cofactor expansion of determinant) በመጠቀም የደያግ ገበቃን ወሳጊ (determinant) ማስላት በጣም ቀላል ይሆናል። 
2. የማናቸውም ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ወሳጊ (determinant) የገበቃውን ደያግ ዐባሎች (diagonal elements) ሁሉንም በመበዘር (mulitiply) ማለትም በማባዛት ይገኛል።  

የደያግ ገበቃ ወገን ሐዝተኖች (Eigenscalars)

1. ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ኤን ወገን ሐዝተኖች (n eigenscalars) አሉት፣
2. እነዚህም ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) ራሳቸው የደያግ ገበቃው ደያግ ዐባሎች (diagonal elements) ናቸው።

የደያግ ገበቃ ወገን ፍላስተኖች (Eigenvectors)

1. ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ኤን ወገን እሴቶች (n eigenvalues) ስላሉት፣ ኤን ወገን ፍላስተኖች (n eigenvectors) አሉት።
2. እነዚህም ወገን ፍላስተኖች (eigenvectors) አንድ ዐባላቸው ብቻ ቶኮ (one = 1) የሆነ፣ የቀሩት ሁሉም ዐባሎቻቸው ደግሞ ዳዶ (zero=0) የሆኑ ፍላስተኖች (vectors) ናቸው።
3. በዚህም ምክኒያት እነዚህ የደያግ ገበቃ ፍላስተኖች ቶካድ ፍላስተኖች (unit vectors) ይባላሉ።  ቶካድ (unit) የሚለው ቃል የተገኘው ቶኮ (አንድ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።     

የገበቃ ወሳጊ (Determinant) ጠባዮች

ባላፉት ክፍሎች ላይ ከተወሱት የገበቃ ወሳጊ (determinant) ጠባዮች (properties) ውስጥ ዋናወቹ በሚከተለው ሰንጠርዥ ላይ ተዘርዝረዋል። 

ተመሳሳይ (Similar)፣ ተካካይ (Congruent) እና ያውታይ (Identical)

1. ተመሳሰለ ከሚለው ተመሳሳይ (similar) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. ተመሳሳይ (similar) የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ደግሞ ተካከለ ከሚለው ተካካይ (congruent) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
3. ያው ከሚለው ደግሞ ያውቴ (identical) ወይም ያውታይ (identical) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
4. ተካካይ (congruent) የሆኑ ሁሉ ተመሳሳይ (similar) ናቸው።  ተመሳሳይ (similar) የሆኑ ሁሉ ግን ተካካይ (congruent) አይደሉም። 

similar (similarity) = ተመሳሳይ፣ ተመሳሳይነት
congruent (congruence) = ተካካይ፣ ተካካይነት
identical (identicality) = ያውቴ (ያውቴነት) [ያውታይ (ያውታይነት)]
nonsimilar = አልተመሳሳይ
noncongruent = አልተካካይ
nonidentical = አልያውቴ፣ አልያውታይ

ተመሳሳይ ገበቃወች እና አመሳሳይ ገበቃ

1. ገበቃወች (matrices) A፣ B እና P እኩል ሚሃ (equal dimension) ያላቸው ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃወች (n by n square matrices) ናቸው እንበል፣
2. በተጨማሪ ደግሞ ገበቃ P ግልብጡ (inverse) P^-1 የሆነ ተገልባጭ ገበቃ (invertible matrix) ነው እንበል፣
3. ገበቃወች A እና B ተመሳሳይ ገበቃወች (similar matrices) ናቸው የሚባሉት፣ በገበቃ P እና በግልብጡ P^-1 አንጻር A = PAP^-1 ወይም AP = PB በሚል ገበቃ እኩልታ (matrix equation) የሚዛመዱ ከሆነ ነው። 
4. ገበቃወች A እና B ተመሳሳይ ገበቃወች (similar matrices) ከሆኑ፣ ተመሳሳይነታቸው (their similarity) በመልክ A ~ B ይጻፋል። 
5. ገበቃወችን A እና B የሚያመሳስላቸው ገበቃ P በልዩ ስም ሞዳል ገበቃ (modal matrix) ይባላል።  ይበልጥ ትርጉም ያለው ስያሜ ግን አመሳሳይ ገበቃ (“similarizer” matrix) ነው፣ ሥራው ማመሳሰል ነውና።  ስለዚህም ባማረኛ የምንለው አመሳሳይ ገበቃ ነው።    

የተመሳሳይ ገበቃወች ጠባዮች

1. የገበቃወች ተመሳሳይነት (similarity of matrices) አቻ ዝምድና (equivalence relation) ነው።  ስለዚህም
   • የገበቃወች ተመሳሳይነት በያሪ (reflexive) ነው።  በሌላ አባባል ማናቸውም ገበቃ ከራሱ ጋር ተመሳሳይ ነው (A ~ A)። 
   • የገበቃወች ተመሳሳይነት ክምክም (symmetric) ነው።  በሌላ አባባል ገበቃ A ከገበቃ B ጋር ተመሳሳይ ከሆነ፣ ገበቃ B ደግሞ ከገበቃ A ጋር ተመሳሳይ ነው (A ~ B   ==> B ~ A)። 
   • የገበቃወች ተመሳሳይነት ሸግራጊ (transitive) ነው።  በሌላ አባባል ገበቃ A ከገበቃ B ጋር ተመሳሳይ ከሆነና ገበቃ B ደግሞ ከገበቃ C ጋር ተመሳሳይ ከሆነ፣ ገበቃ A ከገበቃ C ተመሳሳይ መሆን አለበት (A ~ B  እና B ~ C ==> A ~ C) ።
2. የተመሳሳይ ገበቃወች ዐመልኩልታወች (characteristic equations) ያውቴ (same) ናቸው።
3. የተመሳሳይ ገበቃወች ዐመልሚያሎች (characteristic polynomials) ያውቴ (same) ናቸው።
4. የተመሳሳይ ገበቃወች ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) ያውቴ (same) ናቸው። 
5. የተመሳሳይ ገበቃወች ደብዛወች (traces) እኩል (equal) ናቸው።
6. የተመሳሳይ ገበቃወች ወሳጊወች (determinants) እኩል (equal) ናቸው።  

ተመሳሳይ ገበቃወች (similar matrices) ያውቴ ዐመልኩልታ (same characteristic equation) እና ያውቴ ወሳጊ (same determinant) እንዳላቸው በሚከተለው መንገድ በቀላሉ ማረጋገጥ ይቻላል።

አስፈላጊ ግን አልበቂ (necessary but insufficient) ሆናቴወች

ተመሳሳይ ገበቃወች (similar matrices) ሁሉ ያውቴ ዐመልኩልታ (same characteristic equation)፣ ያውቴ ዐመልሚያል (same characteristic polynomial)፣ ያውቴ ወገን ሐዝተኖች (same eigenscalars)፣ እኩል ደብዛ (equal trace)፣ እኩል ወሳጊ (equal determinant) አላቸው የሚለው ሁናቴ (condition) ለገበቃወች ተመሳሳይነት (matrix similarity) አስፈላጊ (necessary) እንጅ በቂ (sufficient) ሁናቴ (condition) አይደለም።  ስለዚህም

1. ያውቴ ዐመልኩልታ (same characteristic equation) ያላቸው ገበቃወች ሁሉ ተመሳሳይ (similar) አይደሉም።
2. ያውቴ ዐመልሚያል (same characteristic polynomial) ያላቸው ገበቃወች ሁሉ ተመሳሳይ (similar)አይደሉም።
3. ያውቴ ወገን ሐዝተኖች (same eigenscalars) ያላቸው ገበቃወች ሁሉ ተመሳሳይ (similar)አይደሉም።
4. እኩል ደብዛ (equal trace) ያላቸው ገበቃወች ሁሉ ተመሳሳይ (similar) አይደሉም።
5. እኩል ወሳጊ (equal determinant) ያላቸው ገበቃወች ሁሉ ተመሳሳይ (similar) አይደሉም። 

ተደያጊ ገበቃወች (Diagonalizable Matrices)

1. ገበቃ A ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrices) ነው እንበል፣
2. ገበቃ D ደግሞ ከገበቃ A ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ያለው ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ነው እንበል፣
3. በተጨማሪ ደግሞ ገበቃ P ግልብጡ (inverse) P^-1 የሆነ ከገበቃወች A እና D ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ያለው ኤን በ ኤን  ተገልባጭ ገበቃ (n by n invertible matrix) ነው እንበል፣
4. ገበቃ A ከደያገ ገበቃ (diagonal matrix) D እና ከተገልባጭ ገበቃ (invertible matrix) P ጋር በመልክ A = PDP^–1 ሊዛመድ የሚችል ከሆነ፣ ይህ ገበቃ ተደያጊ ገበቃ (diagonalizable) ይባላል።   
5. በሌላ አባባል ተደያጊ ገበቃ (diagonalizable matrix) ማለት ከደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ጋር ተመሳሳይ (similar) የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው። 

የተደያጊ ገበቃወች ጠባዮች

ተደያጊ ገበቃ (diagonalizable matrix) ማለት ከተወሰነ ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ጋር ተመሳሳይ (similar) የሆነ ገበቃ ማለት ነው።  በዚህም ምክኒያት

1. የተደያጊው ገበቃ ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) የተመሳሳዩ ደያግ ገበቃ ወገን ሐዝተኖች ናቸው። 
2. የተደያጊው ገበቃ ደብዛ (trace) የተመሳሳዩ ደያግ ገበቃ ደብዛ (trace) ነው።
3. የተደያጊው ገበቃ ወሳጊ (determinant) የተመሳሳዩ ደያግ ገበቃ ወሳጊ (determinant) ነው።
4. የተደያጊው ገበቃ ርቢ (power) ደግሞ የተመሳሳዩን ደያግ ገበቃ ርቢ (power) ባመሳሳዩ ተገልባጭ ገበቃ (“similarizer” invertible matrix) ከግራና ከቀኝ በመበዘር (multiply) ይገኛል። 

ለምሳሌ ያህል የተደያጊ (diagonalizable) ገበቃ ርቢ ጠባይ (power property) በሚከተለው መንገድ በሒሳብሲናዊ ንደሳ (mathematical induction) ሊረጋገጥ ይችላል።   

የገበቃወች ድየጋ (Diagonalization of Matrices)

የገበቃ ድየጋ (diagonalization of a matrix) ማለት

1. ከገበቃው ጋር የሚመሳሰለውን ደያግ ገበቃ (similar diagonal matrix) ማግኘት፣
2. እንዲሁም ገበቃውን ከደያግ ገበቃ ጋር የሚያመሳስለውን አመሳሳይ ተገልባጭ ገበቃ (“similarizer” invertible matrix) ማግኘት ማለት ነው። 

የገበቃወችን ድየጋ (diagonalization) በተመለከተ ከፍተኛ ጠቀሜታ ያለው ገንጊሳ (theorem) አለ።  ይህም ገንጊሳ (theorem) እንደሚከተለው ይታተታል።   

1. ማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) የተለያዩ (ማለትም የማይደጋገሙ) ወገን ሐዝተኖች (distinct eigenscalars) እስካሉት ድረስ ተደያጊ (diagonalizable) ነው።
2. በአቻ (equivalent) አገላለጽ ደግሞ ማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ቄጠማዊ አልምይፍ ወገን ፍላስተኖች (linearly independent eigenvectors) እስካሉት ድረስ ተደያጊ (diagonalizable) ነው።
3. የካልቶና ገበቃው ወገን ሐዝተኖች (eigenvalues) የተመሳሳዩ ደያግ ገበቃ (similar diagonal matrix) ደያግ ዐባሎች (diagonal elements) ናቸው።
4. የካልቶና ገበቃው ወገን ፍላስተኖች (eigenvectors) ደግሞ ያመሳሳዩ ተገልባጭ ገበቃ (“similarizer” invertible matrix) ዐምዶች (columns) ናቸው። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com