ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ከፍል 4፤ የገበቃወች ግልብጦች (Part 4: Inverses of Matrices)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 4) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም ክፍል 1፣ 2 እና 3) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት እነሱን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

የገበቃወች ግልብጦች  (Inverses of Matrices )

ገበቃ (matrix) A ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ከሆነ፣ ገበቃ B የገበቃ A ግልብጥ ነው (B is inverse of A ) ነው የሚባለው፣

1. ከገበቃ A ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ያለው ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix)  ከሆነ፣  እንዲሁም
2. ከገበቃ A ጋር በቀኝም በግራም በሁለቱም ጎኖች ሲበዘር (multiplied) የሚሰጠው ኤ በ ኤን ገመና ገበቃ (n by n identity matrix) ከሆነ፣ ማለትም AB = BA = I_n ከሆነ ብቻ ነው። 
3. ገበቃ B የገበቃ A ግልብጥ (inverse) ከሆነ B = A^-1 ተብሎ ይጻፋል። 

ተገልባጭነት (Invertibility) እና አንድቻነት (Singularity)

1. ሊገለበጥ የሚችል ገበቃ ፣ ማለትም ግልብጥ (invert) ያለው ገበቃ ተገልባጭ ገበቃ (invertible matrix) ይባላል። 
2. ሊገለበጥ የማይችል ገበቃ፣ ማለትም ግልብጥ (invert) የሌለው ገበቃ ደግሞ አልተገልባጭ ገበቃ (invertible matrix) ይባላል።
3. የአልተገልባጭ ገበቃ (noninvertible matrix) ሌላኛው ስሙ አንድቻ ገበቃ (singular matrix) ነው። አንድቻ (singular) የሚለው ቃል የተገኘው አንድ ብቻ ከሚለው ነው። ከዚህም አንድቻነት (singularity) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
4. የአንድቻ (singular) ተቃራኒ ማትቻ (nonsingular, poly) ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ መዓት (ማለትም ብዙ) ከሚለው ቃል ነው።  ከዚህም ማትቻነት (nonsingularity) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 

invertible (invertibility) = ተገልባጭ፣ ተገልባጭነት
noninvertible (noninvertibility) = አልተገልባጭ፣ አልተገልባጭነት
singular (singularity) = አንድቻ፣ አንድቻነት
nonsingular (nonsingularity) = ማትቻ፣ ማትቻነት

የገበቃ ግልብጥ ልቹነት (Uniqueness of Inverse)

1. ልቹ (unique) ማለት ብቸኛ፣ የተለየ፣ አምሳያ የሌለው ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ልዩ እና ብቹ ከሚሉት ቃሎች ነው።
2. የልቹ (unique) ግስ ሲረባ ለቸመ (be or make unique)፣ ልችም (ልቹም)፣ ለቻሚ፣ ልቸማ እያል ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ለቸመ ማለት ልቹ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ልችም (ልቹም) ማለት ደግሞ የተለቸመ ማለት ነው።
3. አንድ ገበቃ (matrix) ግልብጥ (inverse) ካለው፣ ግልብጡ ልቹ ነው (the inverse is unique)።  በሌላ አባባል የተገልባጭ ገበቃ (invertible matrix) ግልብጥ (inverse) አንድና አንድ ብቻ (one and only one) ነው። 
4. የገበቃ ግልብጥ (inverse) ልቹ (unique) መሆኑን እንደሚከተለው በቀላሉ ማረጋገጥ (proof) ይቻላል።  

የገበቃ ጋወር (Adjoint of a Matrix)

1. ክፍል 3 ላይ በሰፊው እንደተወሳው ማናቸውም የካልቶና ገበቃ (square matrix) A ዐባል a_ij የሚገኝበትን ረድፍ (i) እና ዐምድ (j) በመሰረዝ የሚገኝ አናሳ ገበቃ ያለው ወሳጊ (determinant)፣ ከዐባሉ ጋር የተጎዳኘ የዋናው ገበቃ ንዑስ (minor) ይባልና በወመል (symbol) M_ij ይወመላል። 
2. ከዐባሉ ጋር የተጎዳኘውን ይህን ንዑስ M_ij በቆኒካ (coefficient)  (-1)^i+j በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት የሚገኝ እሴት [ማለትም (-1)^i+j M_ij] ደግሞ ከዚሁ ዐባል ጋር የተጎዳኘ ዐብርነታን (cofactor) ይባልና በወመል (symbol) C_ij ይወመላል።   
3. ከያንዳንዱ የካልቶና ገብቃው ዐባሎች ጋር የተጎዳኙት ዐበርነታኖች (cofactors) ባንድነት የሚሠሩት ገበቃ (matrix) የዋናው ገበቃ ዐበርነታን ገበቃ (cofactor matrix of the main matrix) ይባላል።
4. የዐበርነታን ገበቃ (coefactor matrix) ቀርበጥ (transpose) ማለትም ዐበርነታን ገበቃን በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ በመገልበጥ (flip) የሚገኝ ገበቃ ደግሞ የዋናው ገበቃ ጋወር (adjoint or adjugate of the main matrix) ይባልና በወመል adj(A) ይወመላል።  

የገበቃ ሐዝተን ብዘራ (Scalar Multiplication)

1. ክፍል 3 ላይ በስፋት እንደተመለከትነው፣ ሐዝተን (scalar) ማለት ወናብ (real) ወይም ወታብ (complex) ቁጥር ወይም ደግሞ በቁጥር ብቻ የሚገለጽ እሴት ማለት ነው። 
2. አሁንም እንደገና ክፍል 3 ላይ በስፋት እንደተመለከትነው፣ ማናቸውንም ገበቃ (matrix) በሐዝተን (scalar) መበዘር (multiply) ወይም መደሸር (divide) ማለት እያንዳንዱን የገበቃውን ዐባል በዚያው ሐዘትን መበዘር (multiply) ወይም መደሸር  (divide) ማለት ነው።

የገበቃ ግልብጥ አጠቃላይ ቀመር (Scalar Multiplication)

1. የገበቃ ወሳጊ (determinant) በተለያዩ መንገዶች የሚገኝ የተወሰነ ቁጥር ወይም ሐዘተን (scalar) ነው።
2. የማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ግልብጥ (inverse) ደግሞ የገበቃውን ጋወር ገበቃ (adjoint of the matrix) በገበቃው ወሳጊ (determinant of the matrix) በመደሸር (divide) የሚገኝ ሌላ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው። 
3. በሌላ አባባል የማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ግልብጥ (inverse) የገበቃውን ጋወር ገበቃ (adjoint of the matrix) እያንዳንዳቸውን ዐባሎች በገበቃው ወሳጊ (determinant) በመደሸር (divide) የሚገኝ ሌላ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው። 

የገበቃ ግልብጥ ህልዋ (Existence of Inverse)

1. በግእዝ ሀለወ ማለት መኖር፣ መገኘት፣ መሆን ማለት ነው።  ይህም ቃል exist የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። ከዚህም ሃላዊ (existent)፣ አልሃላዊ (nonexistent)፣ ህለዋ (existence) እና አልህለዋ (nonexistence) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።   ሃላዊ (existent) ማለት ያለ ማለት ሲሆን፣ አልሃላዊ (nonexistent) ማለት ደግሞ የሌለ ማለት ነው።  
2. ከገበቃ ግልብጥ አጠቃላይ ቀመር (general formula of matrix inverse) የምንረዳው አንደኛው ዋና ቁምነገር፣ ማናቸውም ካልቶና ገበቃ ግልብጥ (inverse) የሚኖረው የገበቃው ወሳጊ (determinant) አልዳዶ (nonzero) ከሆነ ብቻ ነው፣ በዳዶ መደሸር (dividing by zero) አይፈቀድምና።    
3. በሌላ አባባል ማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ተገልባጭ (invertible) የሚሆነው የገበቃው ወሳጊ (determinant) አልዳዶ (nonzero) ከሆነ ብቻ ነው።
4. ስለዚህም ወሳጊው ዳዶ (zero) የሆነ ካልቶና ገበቃ አልተገልባጭ (noninvertible) ወይም አንድቻ (singular) ነው ማለት ነው። 

የገበቃ ግልብጥ ርየና (Checking for Inverse)

1. ረየነ (check) ማለት አመሳከረ፣ ትክክል መሆን አለመሆኑን መረመረ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ረዕየ (አየ፣ ተመለከተ፣ አማተረ፣ ቃኘ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ረየነ (to check)፣ ርይን (ርዩን) [checked]፣ ረያኒ (ረያኝ) [checking]፣ ርየና (checking)፣ ርይነት፣ ርያኔ፣ ርያኖሽ እያለ ይሄዳል።  ርየና ምልክት (check mark) ማለት ርየናን የሚያሳይ ምልከት ማለት ነው።   
2. ማናቸውም ግልበጥ ገበቃ (inverse matrix) በስሌት ከተገኘ በኋላ በርግጥም ግልብጥ ገበቃ (inverse matrix) መሆኑን መረየን (checked) ማለትም ማረጋገጥ ያስፈልጋል።  ይህም የሚደረገው ግልብጡ ገበቃ (inverse matrix) ከዋናው ገበቃ (main matrix) ጋር በግራና በቀኝ በሁለቱም ጎን (both sides) ሲበዘር (multiply) ማለትም ሲባዛ ገመና ገበቃ (identity matrix) ይሰጥ፣ አይሰጥ እንደሆነ በማወቅ ነው። 

የ 2 በ 2 ገበቃ ግልብጥ አጠቃላይ ቀመር

ክፍል 3 ላይ በስፋት እንደተመለከትነው፣ የማናችውም 2 በ 2 ገበቃ ወሳጊ (determinant of 2 by 2 matrix) የሚሰላው በሚከተለው አጠቃላይ ቀመር (general formula) መሠረት ነው። 

የዚሁኑ 2 በ 2 ገበቃ ጋወር (adjoint of 2 by 2 matrix) የሚሰጠው አጠቃላይ ቀመር (general formula) ደግሞ እንደሚከተለው ይረቸጋል (derived) ማለትም ይገኛል። 

ስለዚህም፣ የማናቸውም 2 በ 2 ገበቃ ግልብጥ (inverse of 2 by 2 matrix) በሚከተለው አጠቃላይ ቀመር (general formula) ይሰጣል ማለት ነው። 

የ 3 በ 3 ገበቃ ግልብጥ ምሳሌ

ሚሃው (dimension) 3 በ 3 እና ከዚያ በላይ ለሆነ ገበቃ (matrix) ግልብጡ (inverse) የሚሰላው የገበቃውን ጋወር (adjoint) በመጀመርያ በማስላትና የግልብጥ ገበቃን አጠቃላይ ቀመር (general formula for inverse) በመጠቀም ነው።   

የገበቃ ግልበጣ ጠባዮች (Properties of Matrix Inversion)

የገበቃ ግልበጣ ጠባዮች (properties of matrix inversion) በሚከተለው ሰንጠረዥ ላይ ተዘርዝረዋል።  

1. አልካልቶና ገበቃ (non-square matrix) ማለትም ካልቶና (square) ያልሆነ ገበቃ (matrix) ግልብጥ (inverse) ሊኖረው አይችልም፣ ማለትም አልተገልባጭ (noninvertible) ነው።
2. በሌላ አባባል /መገልበጥ\ የሚቻለው ሚሃው (dimension) ኤን በ ኤን (n by n) የሆነን ካልቶና ገበቃ (square matrix) ብቻ ነው። 
3. ለዚህ ምክኒያቱ ደግሞ በግልብጥ ገበቃ ብያኔ (definition of inverse of matrix) መሠረት ገመና ገበቃ (identity matrix) ይሰጥ ዘንድ ከግራም ከቀኝም ባንድ ገበቃ ሊበዘር (multiplied) ማለትም ሊባዛ የሚችለው ካልቶና ገበቃ ብቻ ስለሆነ ነው።    

የካልቶና ገበቃ ርቢ (Power of Square Matrix)

1. ክፍል 3 ላይ በስፋት እንደተመለከትነው አንድን ገበቃ (matrix) ራሱን በራሱ መበዘር (multiply a matrix by itself) ማለትም ማባዛት የሚቻለው ገበቃው ካልቶና ገበቃ (square matrix) ከሆነ ብቻ ነው፣ አለያ ውስጣዊ ሚሃወች እኩል መሆን አለባቸው (inner dimensions must be equal) የሚለውን የገበቃ ብዘራ መስፈርት (criterion for matrix multiplication) ሊያሟላ አይችልምና።
2. ስለዚህም የገበቃ ርቢ (power of matrix) ማለትም ገበቃን ራሱን በራሱ መበዘር ትርጉም የሚኖረው ለካልቶና ገበቃ (square matrix) ብቻ ነው ማለት ነው። 
3. ገበቃ (matrix) A ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ከሆነ፣ የዚህን ገበቃ ድፍን ቁጥር (whole) ርቢወች ( powers) በሚከተለው ተከታታይ መንገድ መበየን (defined) ይቻላል። 

የካልቶና ገበቃ ሉንታ ርቢ (Negative Power)

ገበቃ (matrix) A ተገልባጭ ካልቶና ገበቃ (invertible square matrix) ከሆነና ግልብጡ (inverse) ደግሞ A^-1 ከሆነ፣ ለማናቸውም ወንታ ጉተማ (positive integer) m ገበቃ (matrix) A^-m በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)።

የገበቃ ርቢ ጠባዮች

የካልቶና የገበቃ ወንታ ወይም ሉንታ ርቢ (positive or negative power of square matrix) የሚከተሉት ጠባዮች (properties) አሉት።

የደያግ ገበቃ ርቢ (Power of Diagonal Matrix)

1. ቁጥር p ማናቸውም ወንታ ወይም ሉንታ ጉተማ (positive or negative integer) ነው እንበል፣  
2. ገበቃ (matrix) A ደግሞ ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ስለሆነም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው እንበል፣
3. የደያግ ገበቃ (diagonal matrix) A በጉተማ (integer) p ረቢ (power) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

በተለይም ደግሞ የደያግ ገበቃ ግልብጥ (inverse of a diagonal matrix) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com