ሃድቶና፣ ካልቶና እና ሳልቶና እኩልታወች (Linear, Quadratic & Cubic Equations)

ማሳሰቢያ

በዚህ ጦማር ላይ የምንጠቀምባቸው ያንዳንድ ቃሎች ትርጉሞች የሚገኙት ወናብና ወታብ ቁጥሮች (Real & Complex Numbers)፣ ረቢወችና ሥርቢወች (Powers & Radicals) እንዲሁም ኮፍሲካወች (Logarithms) በሚሉት ጦማሮች ላይ  ስለሆነ፣ ይህን ጦማር ከማንበብወ በፊት ጦማሮቹን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ርቸጋ (Derivation)

1. አርገቹ (ማግኘት) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ረቸገ (derive) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. ረቸገ (derive) ማለት አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ረቸገ (derive)፣ ርቻግ (ርችግ፣ ርቹግ) [derived]፣ ረቻጊ (deriving)፣ ርቸጋ (derivation) እያለ ይሄዳል።
3. ርቻግ (derived) ማለት የተረቸገ (ማለትም የተገኘ) ማለት ነው።  

derive = ረቸገ
derived = ርቻግ
derived formula = ርቻግ ቀመር
derived unit = ርቻግ ቶካድ
derivation = ርቸጋ

እኩልታ (Equation) እና ፈተዝ (Solution)

1. እኩልታ (equation) ማለት እኩልነት ወይም እኩል መሆን ማለት ነው።
2. የአኩልታ (equation) ግስ ሲረባ አኮለ (equate, equalize)፣ እኩልል (equated, equalized)፣ አኳሊ (አኳይ) [equator, equalizer]፣ እኮላ (equating, equalization) እያለ ይሄዳል። 
3. አኮለ (equate, equalize) ማለት እኩል አደረገ ማለት ሲሆን፣ እኩልል (equated, equalized) ማለት ደግሞ የታኮለ ማለትም እኩል (equal) የተደረገ ማለት ነው።
4. ፈታ የሚለው ያማረኛ ቃል አያሌ ትርጉሞች ያሉት ስለሆነ የእንግሊዘኛውን solve ባማረኛ ፈተዘ እንለዋለን። 
5. ፈተዘ (solve) ማለት መልስ አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ሲረባም ፈተዘ (solve) ፍትዝ (ፍቱዝ) [solved]፣ ፈታዚ (ፈታዥ) [solver]፣ ፍተዛ (solving) እያለ ይሄዳል። 
6. ፈተዝ (solution) ማለት ፍች እንደ ማለት ሲሆን፣ ፍቱዝ (solved) ማለት ደግሞ የተፈተዘ ማለትም ፈተዝ (solution) የተገኘለት ማለት ነው።  

equation = እኩልታ
equate (equalize) = አኮለ
solution = ፈተዝ፣ ፍች
solve = ፈተዘ
equation solver = እኩልታ ፈታዥ
solved equation = ፍትዝ እኩልታ

ቀዘድ (Function)  

1. ቀዘድ (function) ማለት ልዩ ሒሳብሲናዊ (mathematical) ዝምድና (relation) ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ቅን ተዛምዶ (ማለትም የቀና ተዘምዶ ወይም ቀጥተኛ ተዛመዶ) ከሚለው ሐረግ ነው። 
2. የቀዘድ (function) ግስ ቀዘደ ሲሆን፣ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ሲረባም ሲረባ ቀዘደ፣ ቅዝድ (ቅዙድ)፣ ቀዛዲ (ቀዛጅ)፣ ቅዘዳ እያለ ይሄዳል።
3. ቀዘደ ማለት ቀዘዳዊ ዝምድና (functional relation) ፈጠረ፣ በቀዘድ (function) አዛመደ ማለት ሲሆን፣ ቅዝድ ማለት ደግሞ የተቀዘደ ማለትም ቀዘድ የተደረገ ማለት ነው። 
4. ቀዘድ (function) እና ቀዘደ ከሚሉት ቃሎች የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን።

function = ቀዘድ
function (verb) = ቀዘደ
functional = ቀዘዳዊ
functional relationship = ቀዘዳዊ ዝምድና
even function = ሙሉ ቀዘድ
odd function = ጎዶሎ ቀዘድ
wave function = ሞገድ ቀዘድ
exponential function = ጉባካዊ ቀዘድ
logarithmic function = ኮፍሲካዊ ቀዘድ
trigonometric function = ስሌግሲናዊ ቀዘድ

ማቶሚያል (Polynomial)

1. መዓት (ብዙ) ከሚለው ቃል ማት (poly) የሚለውን ፊልጡፍ (prefix) ማለትም ከቃል በፊት የሚለጠፍ ልጡፍ (ባዕድ መነሻ) እናገኛለን።  
2. ማት (poly) ከሚለው ፊልጡፍ ደግሞ ማቶሚያል (polynomial) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
3. ማቶሚያል (polynomial) ሲባል ክሌሚያል (binomial)፣ ስሌሚያል (trinomial)፣ ራቤሚያል (quadrinomial) ወዘተ. የሚባሉትን ሁሉ የሚያጠቃልል የወል ስም (common name) ማለትም የጋራ ስም ነው።
4. ማቶሚያል (polynomial) የሚለውን ቃል በመከተል ደግሞ ሃዴሚያል (monomial) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  
5. ማቶሚያል (polynomial) እና መቶሚያል እንዳይምታቱብወት።    

ለምሳሌ ያህል ክሌሚያል (binomial) ከሚለው ቃል የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን።

binomial approximation –  ክሌሚያል ቅርበዛ
binomial classification –  ክሌሚያል ምደባ
binomial expansion – ክሌሚያል ርበባ
binomial theorem – ክሌሚያል ገንጊሳ
binomial formula –  ክሌሚያል ቀመር

ማቶሚያል እኩልታ (Polynomial Equation)

1. ጎለመ (ማለትም ከፈለ፣ ለየ፣ ቆረጠ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ጉለም (degree) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. ባለ n ጉለም ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation of degree n) ማለት በሚከተለው መንገድ የሚበየን (defined) እኩልታ (equation) ነው።

የማቶሚያል እኩልታወች (polynomial equaitons) ዓይነቶች እንዲሁም ጉለሞቻቸው (degrees) እና ስሞቻቸው በሚከተለው ሰንጠረዥ ላይ ተዘርዝረዋል።  

የማቶሚያል እኩልታ ቂራጎች (Terms)

1. ቃል እና ሐረግ ከሚሉት ቃሎች  ቂራግ (term)  የሚለውን ቃል እናገኛለን።   
2. ማቶሚያል እኩልታን (polynomial equation) በተመለከተ፣ ቂራግ (terms) ማለት በመደመር (addition) ወይም በመቀነስ (subtraction) ምልክት (ምልክቶች) የተነጠለ (separated)  የማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation) ክፍል (part) ማለት ነው።
3. ለምሳሌ ያህል ሦስት ቂራጎችን (three terms) ያካተተ ሳልቶና እኩልታ (cubic equation) በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክቷል። 

1. ቋሚ እሴትን (constant value) ጨመሮ፣ ማናቸውም ባለ n ጉለም (n degree) ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation) ሊኖሩት የሚችሉት ቂራጎች ቁጥር (number of terms) በዛ ቢባል n + 1 ነው። 
2. በሌላ አባባል ባለ n ጉለም (n degree) ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation) ሊኖሩት የሚችሉት ቂራቶች (terms) ገብዲስ ቁጥር (maximum number) n + 1 ነው። 

ሃድቶና እኩልታ (Linear equation) እና ሃድቶና ቀዘድ (Linear function)

1. ባለ ቶኮ ጉለም ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation of degree one) ሃድቶና እኩልታ ሲባል፣ እንደ ቀዘድ (function) ሲወሰድ ደግሞ ሃድቶና ቀዘድ ይባላል። 
2. የሃድቶና ቀዘድ (function) ድቻፍ (graph) ቀጤ መስመር (straight line) ስለሆነ፣ ሃድቶና እኩልታ እና ሃድቶና ቀዘድ አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቁት ቀጀላ እኩልታ (linear equation) እና ቀጀላ ቀዘድ (linear function) በመባል ነው። 
3. ቀጀላ (linear) የሚለው ቃል የተገኘው ቀጀልቹ (አቃና፣ ቀጥ አደረገ፣ አስተካከለ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ቀጀለ (linearize)፣ ቅጅል (ቅጁል) [linearized]፣ ቀጃሊ (ቀጃይ) [linearizer]፣ ቅጀላ (linearization) እያለ ይሄዳል።
4. ቀጀለ (linearize) ማለት ቀጀላ (linear) አደረገ ማለት ሲሆን፣ ቅጁል (linearized) ማለት ደግሞ የተቀጀለ፣ ማለትም ቀጀላ የተደረገ ማለት ነው። 
5. ቀጀላ (linear) ከሚለው ደግሞ አልቀጀላ (nonlinear) የሚለውን እናገኛለን።  አልቀጀላ (nonlinear) ማለት ቀጀላ ያልሆነ ማለት ነው።
6.  ለምሳሌ ያህል ጉለማቸው (degree) ከቶኮ (one = 1) በላይ የሆነ ማቶሚያል እኩልታወች (polynomial equations) ሁሉ [ክሌሚያል እኩልታ (quadratic equation)፣ ስሌሚያል እኩልታ (cubic equation) ወዘተ.] አልቀጀላ እኩልታወች (nonlinear equations) ናቸው። 

linear = ቀጀላ
linearize = ቀጀለ
linear equation = ሃድቶና እኩልታ፣ ቀጀላ እኩልታ 
linear function = ሃድቶና ቀዘድ፣ ቀጀላ ቀዘድ
nonlinear = አልቀጀላ
nonlinear equation =  አልቀጀላ እኩልታ
nonlinear function = አልቀጀላ ቀዘድ

የመስመር ዘበግ (Slope of a Line)

1. ተዛባ (አጋደለ፣ ተጣመመ) ከሚለው ቃል ዘበገ (to slope, incline)፣ ዝብግ (ዝቡግ) [sloped,inclined]፣ ዘባጊ (sloping, inclining)፣ ዝበጋ (sloping, inclining)፣ ዝባጌ (inclination) እያለ የሚሄደውን ቃል እናገኛለን።
2.  ዘበገ (to slope) ማለት አጋደለ ማለት ሲሆን፣ ዘበግ (slope) ማለት ደግሞ የዝብገት መጠን ማለት ነው። 

slope (inclination) =ዘበግ፣ ዝባጌ
slope (verb) = ዘበገ
sloping (inclining, inclined) = ዘባጊ  
inclined plane = ዘባጊ ሰቴ

የመስመር x-ምስባር (x-intercept) እና  y-ምስባር (y-intercept)

1. አሳበረ (መንገድ አቋረጠ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ምስባር (intercept, intersection) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
2. የምስባር (intercept, intersection) ግስ ሲረባ መሰበረ (to intercept, intersect)፣ ምስብር (ምስቡር) [intercepted, intersected]፣ መስባሪ (interceptor, intersecting)፣ ምስበራ (interception, intersection) እያለ ይሄዳል። 
3. በሩንጌራባው በሩንጌራባዊ ቀንጅ ስርካት (rectangular coordinate system) ላይ የቀጤ መስመር (straight line) x-ምስባር (x-intercept) ማለት መስመሩ ከ x-ረቲድ (x-axis) ጋር የሚመሳበርበት (intersect) ማለትም x-ረቲድን የሚቆርጥበት (አቋርጦ የሚያልፍበት) ነጥብ (point) ማለት ነው።
4. የመስመሩ y-ምስባር (y-intercept) ማለት ደግሞ መስመሩ ከ y-ረቲድ (y-axis) ጋር የሚመሳበርበት ነጥብ ማለት ነው።

የሃድቶና እኩልታ ፈተዝ (Solution of Linear Equation)

1. የሃድቶና እኩልታ ፈተዝ (solution of linear equation) ማለት እኩልታውን ውነት (true) ወይም ትክክል (correct) የሚያደረገው የጠዋጢ (variable) x እሴት (value) ማለት ነው።
2. የሃድቶና እኩልታ ፈተዝ (solution of linear equation) በሚከተለው ቀመር (formula) ይሰጣል።  

የሃድቶና ቀዘድ ድቻፍ (Graph of Linear Function)

1. ደቻፋሜ (ማለትም ታጠፈ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ድቻፍ (graph) የሚለው ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ደቸፈ (to graph)፣ ድችፍ (ድቹፍ) [graphed]፣ ደቻፊ (grapher)፣ ድቸፋ (graphing) እያለ ይሄዳል።
2. ደቸፈ (to graph) ማለት ድቻፍ (graph) ሠራ ማለት ሲሆን፣ ድችፍ (graphed) ማለት ደግሞ የተደቸፈ ማለት ነው።
3. የማናቸውም ሃድቶና ቀዘድ ድቻፍ (graph) ሁልጊዜም ቀጤ መስመር (straight line) ነው።
4. የቀጤ መስመሩ ዘበግ (slope) የጠዋጢ (variable) x ቆኒካ (coefficient) ማለትም a ነው።
5. የቀጤ መስመሩ x ምስባር (x-intercept) ማለትም ቀጤ መስመሩ ከ x ረቲድ (x-axis) ጋር የሚመሳበርበት (intercepted, intersected) ነጥብ x = -b/a ነው።
6. የቀጤ መስመሩ y ምስባር (y-intercept) ማለትም ቀጤ መስመሩ ከ y ረቲድ (y-axis) ጋር የሚመሳበርበት ነጥብ y = b ነው።

ካልቶና እኩልታ (Quadratic Equation) እና ካልቶና ቀዘድ (Quadratic Function)

ባለ ሁለት ጉለም ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation of degree two) ካልቶና እኩልታ (quadratic equation) ሲባል፣ እንደ ቀዘድ (function) ሲወሰድ ደግሞ ካልቶና ቀዘድ (quadratic function) ይባላል። 

1. ፈላይ (discriminant) የሚለው ቃል የተገኘው ፈለየ (ክፉውን ከበጎ ለየ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።
2. ግሱም ሲረባ ፈለየ (discriminate)፣ ፍልይ (ፍሉይ) [discriminated]፣ ፈላይ (discriminator, discriminant)፣ ፍለያ (discrimination) እያለ ይሄዳል። 

ካልቶና ግማራ (Completing the Square)

1. ገመረ (ፈጸመ፣ ጨረሰ) የሚለው የግእዝ ቃል complete, complement የሚሉትን የንግሊዘኛ ቃሎች ይተካልናል። 
2. ገመረ (complete, complement) ማለት ሙሉ አደረገ፣ ሞላ፣ አሟላ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ገመረ (complete, complement)፣ ግምር (ግሙር) [completed, complemented]፣ ገማሪ (competing, complementing)፣ ግማራ (completing, complementing) እያለ ይሄዳል። 
3. በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ እንደተመለከተው፣ ካልቶና ግመራ (completing the square) ማለት ካልቶናን (square) ሙሉ ማድረግ ወይም ካልቶና ያልሆነን ካልቶና ማድረግ ማለት ነው። 

የካልቶና እኩልታ ቀመር (Quadratic Equation Formula)

1. የካልቶና እኩልታን (quadratic equation) ፈተዝ (solution) የሚሰጠው ቀመር (formula) የካልቶና እኩልታ ቀመር (quadratic equation formula) በመባል ይታወቃል። 
2. የካልቶና እኩልታ ቀመር (quadratic equation formula) የሚረቸገው (derived) ማለትም የሚገኘው ካልቶና ግመራን (completing the square) በመጠቀም እንደሚከተለው ነው። 

ኦሊጋን (Parabola) እና ጠባዮቹ  

1. ስለ ኦሊጋን (parabola) ለመረዳት ፎላወች፣ ቶቢኖች እና ቶቢናፎች (Cylinders, Cones & Conic Sections) የሚለውን ጦማር ይመልከቱ።
2. የኦሊጋን ቅርጽ (shape of parabola) እየሰፋ የሚሄድ የገበታ ቅርጽ ነው።  
3. አፉ ቀጥታ ወደ ላይ የተከፈተ ኦሊጋን አፈላይ ኦሊጋን (parabola opening upward) ይባላል።
4. አፉ ቀጥታ ወደ ታች የተከፈተ ኦሊጋን አፈታች ኦሊጋን (parabola opening downward) ይባላል።
5. አፉ ቀጠታ ወደ ቀኝ የተከፈተ ኦሊጋን አፈቀኝ ኦሊጋን (parabola opening to the right) ይባላል።
6. አፉ ቀጠታ ወደ ግራ የተከፈተ ኦሊጋን ደግሞ አፈግራ ኦሊጋን (parabola opening to the left) ይባላል።

1. የኦሊጋን አቲክ (focus) በኦሊጋን ገበታ ውስጥ የሚገኝ ልዩ ነጥብ (special point) ነው። 
2. የኦሊጋን ፊጣ (vertex) ለኦሊጋኑ አቲክ (focus) ዠቅርብ (closest) ማለትም ከሁሉም የበለጠ ቅርብ የሆነ በኦሊጋኑ ኩርባ (curve) ላይ የሚገኝ ልዩ ነጥብ (special point) ነው። 
3. የኦሊጋን አቲክ ርዝመት (focal length) ማለት የኦሊጋኑ አቲክ (focus) ከኦሊጋኑ ፊጣ (vertex) ያለው ርቀት (distance) ማለት ነው። 
4. የኦሊጋን ረቲድ (axis of parabola) ማለት በኦሊጋኑ አቲክ (focus) እና ፊጣ (vertex) ላይ የሚያልፍ ቀጤ መስመር (straight line) ማለት ነው። 
5. ማናችውም ኦሊጋን ከረቲዱ (axis) አንጻር ክምክም (symmetric) ነው።  በሌላ አባባል ከኦሊጋን ረቲድ በተቃራኒ ጎኖች የሚገኙት የኦሊጋኑ ክፍሎች የርስበርሳቸው መስታዋታዊ ፅብረቃወች (mirror reflections) ናቸው።  በዚህም ምክኒያት የኦሊጋኑ ረቲድ (axis of parabola) የኦሊጋኑ ክምከማ ረቲድ (symmetry axis) ይባላል። 
6. ለኦሊጋን ረቲድ (axis of parabola) ሩንጋ (perpendicular) በሆነ መንገድ በኦሊጋኑ አቲክ (focus) ላይ በማለፍ ጫፎቹ (ends) ከኦሊጋኑ ላይ የሚውሉ የቀጤ መስመር ዐጽቅ (straight line segment) የኦሊጋኑ (parabola) አቲታር (latus rectum) ይባላል። አቲታር (latus rectum) የሚለው ቃል የተገኘው አቲክ (focus) እና ዊታር (chord) ከሚሉት ቃሎች ነው።
7. የማናቸውም ኦሊጋን አቲታር (latus rectum) ኦሊጋኑ አቲኩ (focus) ላይ ያለው ወርድ (width) ማለት ስለሆነ፣ የኦሊጋኑ አቲክ ወርድ (focal width) ሊባልም ይችላል። 
8. የአቲታር እኩሌታ ወይም ግማሽ ንፍቀአቲታር ወይም ባጭሩ ንፍቃቲታር (semilatus rectum) ይባላል። 

የካልቶና ቀዘድ ድቻፍ (Graph of Quadratic Function)

1. የማናቸውም ካልቶና ቀዘድ (quadratic function) ድቻፍ (graph) ሁልጊዜም ኦሊጋን (parabola) ነው።  
2. በካልቶና እኩልታ (quadratic equation) ላይ የ x² ቆኒካ (coefficient) ወንታ (positive) ከሆነ (ማለትም a > 0  ከሆነ) ኦሊጋኑ (parabola) አፈላይ (ማለትም አፉ ወደላይ የተከፈተ) ይሆናል፣ ሉንታ (negative) ከሆነ (ማለትም a < 0 ከሆነ) ደግሞ ኦሊጋኑ አፈታች (ማለትም አፉ ወደታች የተከፈተ) ይሆናል።
3. የኦሊጋኑ (parabola) ፊጣ  (vertex) x-ቀንጅ (x-coordinate) x = h ሲሆን፣  y-ቀንጁ (y-coordinate) ደግሞ y = k ነው።  እንዲሁም የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) p ነው።   እነሱም የሚሰጡት በሚከተሉት ቀመሮች ነው። 

የካልቶና ቀዘድ ኦሊጋን አቲክ ወርድ (Focal Width)

1. የካልቶና ቀዘድ (quadratic equation) ድቻፍ (graph) የሆነው ኦሊጋን (parabola) አቲክ ርዝመት (focal length) እሴቱ p = 1/4a ነው።
2. በሌላ በኩል ደግሞ የዚሁ ኦሊጋን አቲክ ወርድ (focal width) ወይም አቲታር (latus rectum) እሴቱ W = 4p = 1/a ነው።
3. ስለዚህም የኦሊጋኑ አቲክ ወርድ (focal width)  የኦሊጋኑ አቲክ ርዝመት (focal length) አራት እጥፍ (four fold) ነው ማለት ነው። 

1. የካልቶና ቀዘድ ኦሊጋን አቲክ ወርድ (focal width) W = 1/a ነው ማለት ፣ W ከ a ጋር ግልብጥ ወደረኛ (inversely proportional) ነው ማለት ነው። 
2. ይህ ማለት ደግሞ፣ ለምሳሌ ያህል a ሁለት እጥፍ ቢቀንስ W ደግሞ ሁለት እጥፍ ይጨምራል ማለት ነው። 
3. ይህ ማለት ደግሞ የ a እሴት እየቀነስ ሲሄድ፣ ኦሊጋኑ ይበልጥ እየተዘረጠጠ ይሄዳል ማለት ነው።   
4. ስለ ግልብጥ ወደር (inverse proportionality) ይበልጥ ለመረዳት የሆስሌት መሠረታዊ ሁጀማወች (Fundamental Operations of Algebra) የሚለውን ጦማር ይመልከቱ።   

የካልቶና ቀዘድ ድቻፍ  x-ምስባር (x-intercept) 

የካልቶና ቀዘድ (quadratic function) ድቻፍ (graph) የሆነው ኦሊጋን (parabola)  x ምስባሮች (x-intercepts) ማለትም ኦሊጋኑ ከ x-ረቲድ (x-axis) ጋር የሚመሳበርባቸው ነጥቦች የካልቶና እኩልታው(quadratic equation)  ፈተዞች (solutions) ማለትም ፍችወች ናችው።  ስለዚህም

1. የካልቶና እኩልታው (quadratic equation) ፈላይ (discriminant) ወንታ (positive) ከሆነ፣ እኩልታው ሁለት ወናብ ፈተዞች (two real solutions) ስለሚኖሩት፣ አሊጋኑ ሁለት x ምስባሮች (two x-intercepts) ይኖሩታል፣ ማለትም ኦሊጋኑ x-ረቲድን (x-axis) ሁለት ነጥቦች ላይ ይቆርጣል። 
2. የካልቶና እኩልታው (quadratic equation) ፈላይ (discriminant) ዳዶ (zero) ከሆነ፣ እኩልታው አንድ ወናብ ፈተዝ ( one real solution) ስለሚኖረው፣ አሊጋኑ አንድ x ምስባር (one x-intercept) ይኖረዋል፣ ማለትም ኦሊጋኑ x-ረቲድን (x-axis) አንድ ነጥብ ላይ ብቻ ይነካል። 
3. የካልቶና እኩልታው (quadratic equation) ፈላይ (discriminant) ሉታ (negative) ከሆነ፣ እኩልታው  ወናብ ፈተዝ ስለማይኖረው (no real solution)፣ አሊጋኑ  x ምስባር አይኖረውም (no x-intercept)፣ ማለትም ኦሊጋኑ x-ረቲድን (x-axis) አይቆርጥም ወይም አይነካም። 

የሳልቶና እኩልታ ካርዳኖ ቀመር (Cardano’s Formula)  

ባለ ሦስት ጉለም ማቶሚያል እኩልታ (polynomial equation of degree two) ሳልቶና እኩልታ (cubic equation) ይባላል።

ሳልቶና እኩልታ (cubic equation) በተለያዩ መንገዶች ሊፈተዝ (solved) ማለትም ፈተዞቹ (solutions) ሊገኙለት ይችላል።  ከነዚህም ውስጥ አንዱና ዋናው በጣልያናዊው ሒሳብሲነኛ (mathematician) ጅሮላሞ ካርዳኖ (Gerolamo Cardano) ስም የተሰየመው ካርዳኖ ቀመር (Cardano’s formula) ነው።

1. በካርዳኖ ዘዴ (Cardano’s method) መሠረት በመጀመርያ ደረጃ የጠዋጢለውጥ (change of variable) በማድረግ የሳልቶና እኩልታው (cubic equation) x² ቂራግ (ማለትም x² term) እንዲጠፋ (ማለትም እንዲወገድ) ይደረጋል። 
2. ይህ የx² ቂራግ (x² term) የተወገደለት ሳልቶና እኩልታ (cubic equation) ድብት ሳልቶና እኩልታ (depressed cubic equation) ይባላል። 
3. ባማረኛ ደበተ (depress) ማለት ጨቆነ፣ ተጫነ፣ ከበደ፣ እንቅልፍ ለቀቀ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደበተ (depress)፣ ድብት (ድቡት) [depressed]፣ ደባቲ (ደባች) [depressor, depressant]፣ ድበታ (depression) እያለ ይሄዳል።       

4) በመቀጠል ደግሞ የድብቱ ሳልቶና እኩልታ (depressed cubic equation) ሦስቱ ፈተዞች (three solutions) በሚከተሉት ቀመሮች (formulas) ይገኛሉ።

5) በመጨረሻም የሳልቶና እኩልታው (cubic equation) ፈተዞች (solutions) ከድበት ሳልቶና እኩልታው (depressed cubic equation) ፈተዞች (solutions) በሚከተሉት ቀመሮች መሠረት ይገኛሉ። 

6) ስለዚህም በካርዳኖ ቀምር (Cardano’s formula) መሠረት የሳልቶና እኩልታ ፈተዞች (solutions of cubic equation) የሚከተሉት ናቸው ማለት ነው። 

የሳልቶና እኩልታ ፈተዞች ጠባዮች

የሳልቶና እኩልታ (cubic equation) ፈተዞች (solutions) ጠባይ (property) የድብት ሳልቶና እኩልታው (depressed cubic equation) ፈላይ (discriminant)  Δ እሴት ዳዶ (zero)፣ ወንታ (positive)፣ ወይም ሉንታ (negative) በመሆኑ ላይ ይመይፋል (depend) ማለትም ይመካል። 

1. የፈላይ (discriminant) Δ እሴት ወንታ (positive) ከሆነ (ማለትም Δ > 0 ከሆነ) ሳልቶና እኩልታው አንድ ወናብ ፈተዝ (one real solution) እና ሁለትመናብጎባንፈተዞች (two complex conjugate solutions) ይኖሩታል።
2. የፈላይ (discriminant) Δ እሴት ዳዶ (zero) ከሆነ (ማለትም Δ = 0 ከሆነ) ሳልቶና እኩልታው ቢያንስ ሁለቱ እኩል የሆኑ ሦስት ወናብ ፈተዞች (three real solutions at least two of them equal) ይኖሩታል። 
3. የፈላይ (discriminant) Δ እሴት ሉንታ (negative) ከሆነ (ማለትም Δ < 0 ከሆነ) ሳልቶና እኩልታው ሦስት የተለያዩ ወናብ ፈተዞች (three different real solutions) ይኖሩታል።

ሆስሌታዊ ገመናወች (Algebraic Identities)

1. ባማረኛ ገመና ማለት ከሰው የሚደበቅ የውስጥ ነውር ማለት ነው፣ ገመናየን አወጣው እንዲሉ።  ይህም ቃል የእንግሊዘኛውን identity ይተካልናል።  ስለዚህም ባዲሱ ትርጉሙ ገመና (identity, identification) ማለት ማንነት ወይም ምንነት እንደማለት ነው። 
2. ሆስሌታዊ ገመና (algebraic identity) ማለት ለሁሉም ተፈቃጅ እሴቶች (all allowed values) የሚያገለገል፣ ማለትም በሁሉም ተፈቃጅ እሴቶች ላይ ውነት (true) የሆነ ሆስሌታዊ እኩልታ (algebraic equation) ማለት ነው። 
3. ሆስሌታዊ ገመናወች (algebraic identities) የሚያገለግሉት ውስብሰብ ሆስሌታዊ ባይሳወችን (expressions) ለመሰተብ (simplify) ማለትም ለማቃልል፣ ማቶሚያሎችን ለመነተን (factoring polynomials)፣ እኩልታወችን (equations) በቀላሉ ለመፈተዝ (solve) እና ለመሳሰሉት ነው። 
4. ዋናወቹ ሆስሌታዊ ገመናወች የሚከተሉት ሰባቱ ናቸው። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com