ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ክፍል 6፤ የሆጃሚ ገበቃወች ወገን ሐዝተኖች እና ወገን ፍላስተኖች (Part 6: Eigenscalars & Eigenvectors of Operator Matrices)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 6) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም ክፍል 1 እስከ 5) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት እነሱን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ምይፍ (Dependent) እና አልምይፍ (Independent )

1. መየፈ (depend) ማለት ተመካ እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ታፈየ (ታመነ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ መየፈ (depend)፣ ምይፍ (ምዩፍ) [depended, dependent]፣ መያፊ (depending)፣ ምየፋ (dependence)፣ ምይፈት፣ ምያፌ፣ ምያፎሽ እያለ ይሄዳል።  
2. ምይፍ (dependent) ማለት በተወሰነ ነገር ላይ የሚመይፍ (depend) ማለትም የሚመካ ማለት ነው።  የማይመይፍ ደግሞ አልምይፍ (independent) ይባላል። 

depend = መየፈ
dependent = ምይፍ
dependence = ምየፋ
independent = አልምይፍ
independence = አልምየፋ

ሃዝተን (Scalar) እና ፍላስተን (Vector)

1. አሐዝ (ማለትም ቁጥር) ከሚለው የግእዝ ቃል ሐዝተን (scalar) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 
2. ፍላጻ (ማለትም ቀስት) ከሚለው ያማረኛና የግእዝ ቃል ደግሞ ፍላስተን (vector) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
3. በጉሲን (physics) እና በሒሳብሲን (mathematics) ውስጥ ሐዝተን (scalar) ማለት መጠን (amount) ብቻ ያለው አቅጣጫ (direction) ግን የሌለው ሙቀትን (temperature) የመሰለ ነገር ማለት ነው። በሌላ አባባል ሐዝተን ማለት በቁጥር ብቻ የሚገለጽ ነገር ማለት ነው። ስለዚህም ሐዝተን ስንል አንድ የተወሰነ ቁጥር ማለታችን ነው። 
4. በሌላ በኩል ደግሞ ፍላስተን (vector) ማለት መጠንም (amount) አቅጣጫም (direction) ያለው ፍልሰትን (displacement) የመሰለ ነገር ማለት ነው። 

scalar =  ሐዝተን
vector = ፍላስተን

ረድፍ ፍላስተን (row vector) እና ዐምድ ፍላስተን (column vector)

1. ኤን ረድፎች (n rows) እና ኤን አምዶች (n columns) ያሉት ኤን በ ኤን ገበቃ (n by n matrix) ካልቶና ገበቃ (square matrix) ይባላል። 
2. አንድ ረድፍ (1 row) እና n ዐምዶች (n columns) ያሉት አንድ በ ኤን ገበቃ (1 by n matrix) ረድፍ ገበቃ (row matrix) ወይም ረድፍ ፍላስተን (row vector) ይባላል።
3. n ረድፎች (n rows) እና አንድ ዐምድ (1 column) ያሉት ኤን በ አንድ ገበቃ ( n by 1 matrix)  ዐምድ ገበቃ (column matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (column vector) ይባላል።

የፍላስተን በሐዝተን ብዘራ (Multiplication of a vector by a scalar)

1. ፍላስተኖችን (vectors) በተመለከተ የፍላስተን በሐዝተን ብዘራ (multiplication of a vector by a scalar) ወይም ባጭሩ ሐዝተን ብዘራ (scalar multiplication) ማለት ፍላስተኑን (vector) በተወሰነ አልዳዶ በወናብ ቁጥር (non-zero real number) መበዘር (multiply) ማለትም ማባዛት ማለት ነው።
2.  የሐዝተን ብዘራው ውጤት ደግሞ እያንዳንዳቸውን የተበዛሪውን ፍላስተን ዐባሎች በሐዝተኑ በመበዘር (multiply) የሚገኝ ሌላ ፍላስተን (vector) ነው። 

ቄጠማ ምይፍ ፍላስተኖች (Linearly Dependent Vectors)

1. ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) ናቸው የሚባሉት አንዱ የሌላኛው ሐዝተን ብዜር (scalar multiplication) ከሆነ ብቻ ነው።
2. በሌላ አባባል ሁለት ፍላስተኖች ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) ናቸው የሚባሉት አንዱ ሌላኛውን በተወሰነ አልዳዶ ወናብ ቁጥር (non-zero real number) በመበዘር (multiply) የሚገኝ ከሆነ ብቻ ነው።
3. ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) ያልሆኑ ፍላስተኖች (vectors) ቄጠማ አልምይፍ ፍላስተኖች (linearly independent vectors) ይባላሉ። 

1. በቂሳሲናዊ ትርጉሙ (geometrical interpretation) ሲታይ፣ ሁለት ፍላስተኖች (two vectors) ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) ናቸው የሚባሉት ሁለቱም ፍላስተኖች ባንድ ቀጤ መስመር (one straight line) ላይ የሚወሉ ኩልኩት ፍላስተኖች (parallel vectors) ከሆኑ ብቻ ነው። 
2. ስለዚህም ቄጠማ ምይፍ ፍላስተኖች (linearly dependent vectors) ሊለያዩ የሚችሉት በርዝመት ብቻ (only on length) ነው፣ ባቅጣጫ (direction) የሚለያዩ ከሆኑ ደግሞ ያንዱ አቅጣጫ የላኛው ፍላስተን አቅጣጫ ተቃራኒ (opposite direction) በመሆን ብቻ ነው።   
3. በሌላ በኩል ደግሞ ቄጠማ አልምይፍ ፍላስተኖች (linearly independent) ከ 180^o አቅጣጫ በስተቀር በሌሎች አቅጣጫወች የሚለያዩ ፍላስተኖች ናችው። 

ሁጀማ (Operation)፣ ግባት (Input) እና ውጣት (Output)

1. ሁጀማ (operation, operating) ማለት ክንውን እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ሆጂ (ማለትም ሥራ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።   ግሱም ሲረባ ሆጀመ (operate)፣ ሁጅም (ሁጁም) (operated)፣ ሆጃሚ (operator)፣ ሁጀማ (operating) እያለ ይሄዳል።
2. ገባ ከሚለው ግብዓት (input) ወይም ባጭሩ ግባት (input) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ወጣ ከሚለው ደግሞ ውጥዓት (output) ወይም ባጭሩ ውጣት (output) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
3. ግባት (input) ማለት ወደ ክንውን (process) ወይም ሁጀማ (operation) የገባ እንደ ማለት ሲሆን፣ ውጣት (output) ማለት ደግሞ ግባቱ በክንውኑ ወይም በሁጀማው ሳቢያ ያስገኘው ውጤት (result) እንደ ማለት ነው። 

ሆጃሚ ገበቃ (Operator Matrix)፣ ግባት ፍላስተን (Input Vector) እና ውጣት ፍላስተን (Output Vector)

1. ገበቃ (matrix) A ኤን (n) ረድፎች (rows) እና ኤን (n) ዐምዶች (n columns) ያሉት ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ነው እንበል።
2. ገበቃ (matrix) V₁ ደግሞ ኤን (n) ረድፎቸና (rows) አንድ ዐምድ (one column) ያለው ዐምድ ፍላስተን (column vector) ወይም ባጭሩ ፍላስተን (vector) ነው እንበል። 
3. ክፍል 2 ላይ በሰፊው በተወሳው በገበቃ ብዘራ (matrix multiplication) ብያኔ (definition) መሠረት ፍላስተን (vector) V₁ ከግራ በኩል (one the left side) በገበቃ (matrix) A ሲበዘር (multiplied) ማለትም ሲባዛ፣ ከፍላስተን V₁ ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ያለው ሌላ ፍላስተን (vector) V₂ ይገኛል። 
4. በገበቃ ብዘራ AV₁ = V₂ ላይ ገበቃ A ሆጃሚ ገበቃ (operator matrix) ሲባል፣ ፍላስተን V₁ ግባት ፍላስተን (input vector)፣ ፍላስተን V₂ ደግሞ ውጣት ፍላስተን (output vector) ይባላል። 

ሆጃሚ ገበቃ (operator matrix) A በግባት ፍላስተን (input vector) V₁ ላይ በመሆጀሙ (operate) ሳቢያ የሚፈጠረው ውጣት ፍላስተን (output vector) V₂ ሊሆን የሚችለው ከሚከተሉት ሁለቱ አንዱን ብቻ ነው።

1. ከግባት ፍላስተን ጋር ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) የሆነ ፍላስተን።  ማለትም ግባት ፍላስትንን በተወሰነ ወናብ ቁጥር (real number) በመበዘር (multiply) የሚገኝ ፍላስተን ወይም ከግባት ፍላስተን ጋር ባንድ ቀጤ መስመር ላይ የሚውል ኩልኩት ፍላስተን (parallel vector)።
2. ከግባት ፍላስተን ጋር ቄጠማ አልምይፍ (linearly independent) የሆነ ፍላስተን፣ ማለትም ግባት ፍላስተንን በተወሰነ ወናብ ቁጥር (real number) በመበዘር (multiply) ሊገኝ የማይችል ፍላስተን፣ ወይም ከግባት ፍላስተን ጋር ባንድ ቀጤ መስመር ላይ የማይውል አልኩልኩት ፍላስተን (non-parallel vector)።  

ስለዚህም ሆጃሚ ገበቃ (operator matirx) A በግባት ፍላስተን (input vector) V₁ ላይ በሚሆጀምበት (operated) ጊዜ፣ በ V₁ ላይ ላይ ሊከሰት የሚችለው ወይም ሊከሰቱ የሚችሉት ከሚከተሉት ውስጥ አንዱ ወይም የነሱ የተለያዩ ጥምረቶች (combination) ናቸው ማለት ነው።    

1. አለመለወጥ (no change)
2. ማጠር (shrink) ወይም መርዘም (stretch)
3. በተወሰነ ዘዌ መዞር (rotate by some angle)
4. መቀልበስ (reverse direction) ማለትም በ 180^o በመዞር ወደ ተቃራኒ አቅጣጫ (opposite direction) ማመልከት። 

ወገን (Eigen)፣ ወገን ሐዝተን (Eigenscalar) እና ወገን ፍላስተን (Eigenvector)

1. የእንግሊዘኛው eigen ከጀርመንኛ የተወሰደ ሲሆን፣ ትርጉሙም የራስ (own) ማለት ነው።
2.  ያማረኛው ወገን ደግሞ በትርጉምም፣ በድምጽም ከ eigen ጋር ይመሳሰላል።
3. በንግሊዘኛ ውስጥ eigen የሚያገለገለው እንደ ፊልጡፍ (prefix) ነው።
4. ባማረኛ ግን ወገን ራሱን የቻለ ቃል ስለሆነ፣ እንደ ፊልጡፍም ራሱን እንደቻለ ቃልም ልንጠቀምበትም እንችላለን። 
5. ስለዚህም eigenvalue ለማለት ወገን እሴት ወይም ወገንእሴት ብለን እንጽፋለን።

eigen = ወገን
eigenvalue = ወገን እሴት
non-eigenvalue =  አልወገን እሴት፣ ባዳ እሴት
non-eigenvector = አልወገን ፍላስተን፣ ባዳ ፍላስተን  

የገበቃ ወገን እሴት እኩልታ (Eigenvalue Equation)

1. ገበቃ (matrix) A ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ነው እንበል፣
2. ፍላስተን (vector) v ደግሞ ለገበቃ A ግባት ፍላስተን (input vector) የሆነ ኤን በ አንድ ረድፍ ገበቃ (n by 1 row vector) ነው እንበል፣
3. ሐዝተን (scalar) λ ደግሞ የተወሰነ አልዳዶ ወናብ ቁጥር (non-zero real number) ነው እንበል፣
4. ገበቃ A በፍላስተን v ላይ በሚሆጅምበት (operate) ጊዜ የሚገኘው ውጤት Av = λv በሚል እኩልታ (equation) የሚገለጽ ከሆነ፣ 
   • በሌላ አባባል ግባት ፍላስተን (input vector) v በሆጃሚ ገበቃ (operator matrix) A በሚሆጀምበት ጊዜ (operated) ማለትም ከግራ በኩል በሚበዝርበት (multiply) ጊዜ የሚገኘው ውጣት ፍላስተን (output vector) ግባት ፍላስተኑን በተወሰነ አልዳዶ ወናብ ቁጥር በመበዘር ብቻ የሚገኝ ፍላስተን (vector) ከሆነ፣ 
   • አሁንም በሌላ አባባል ግባት ፍላስተን (input vector) v በሆጃሚ ገበቃ (operator matrix) A በሚሆጀምበት ጊዜ (operated) የሚገኘው ውጣት ፍላስተን (output vector) ከግባት ከፍላስተኑ ጋር ቄጠማ ምይፍ (linearly dependent) ከሆነ፣
5. ወናብ ቁጥር λ የገበቃ A  ወገን ሐዝተን (eigenscalar) ይባላል።
6. ፍላስተን v ከወገን ሐዝተን λ ጋር የተጎዳኘ (associated) ወገን ፍላስተን (eigenvector) ይባላል።
7. እኩልታ Av = λv የገበቃ A ወገን እሴት እኩልታ (eigenvalue equation) ይባላል። 
8. የወገን ሐዝተን (eigenscalar) λ እና ከወገን ሐዝተኑ ጋር የተጎዳኘው (associated) ወገን ፍላስተን (eigenvector) v ጥንድ (pair) ማለትም (λ, v)፣ የወገን ጥንድ (eigenpair) ይባላል።  
9. የገበቃ A ሁሉም ወገን ሐዝተኖች ስብስብ (the set of all eigenscalars of A) የገበቃው ቀልዝር (spectrum) ሲባል በመልክ  σ (A) ይጻፋል።  ቀልዝር (spectrum) የሚለው ቃል የተገኘው ቀለም እና ዝርዝር ከሚሉት ቃሎች ነው።
10. የገበቃ A ወገን ፍላስተን (eigenvector) ያልሆነ ፍላስተን (vector)፣ ለገበቃው አልወገን ፍላስተን ወይም ባዳ ፍላስተን (non-eigenvector) ይባላል።
11. የገበቃ Aወገን ሐዝተን (eigenvalue) ያልሆነ ሐዝተን (value)፣ ለገበቃው አልወገን ሐዝተን ወይም ባዳ ሐዝተን (non-eigenscalar) ይባላል።

ስለዚህም፣ አንድ ፍላስተን (vector) ለሆነ ገበቃ (matrix) ወገን ፍላስተን (eigenvector) ነው ማለት፣ ገበቃው በፍላስተኑ ላይ በሚሆጅምበት (operate) ጊዜ ሊያደርግ የሚችለው ፍላስተኑን

1. አለመለወጥ (no change)
2. ከሚውልበት ቀጤ መስመር (straight line) ላይ ሳያነሳ ማሳጠር (shrink) ወይም ማስረዘም (stretch)
3. ከሚውልበት ቀጤ መስመር (straight line) ላይ ሳያነሳ መቀልበስ (reverse direction) ማለትም በ 180^o በማዞር ወደ ተቃራኒ አቅጣጫ (opposite direction) እንዲያመለከት ማድረግ
4. ከሚውልበት ቀጤ መስመር (straight line) ላይ ሳያነሳ ማሳጠር/ማስረዘም እና በተቃራኒ አቅጣጫ እንዲያመለክት ማድረግ ብቻ ነው ማለት ነው።    

ወገን ሐዝተን (Eigenscalar) እና ወገን እሴት (Eigenvalue)

1. ወገን ፍላስተን (eigenvector) እንደምንል ሁሉ የእንግሊዘኛው eigenvalue በትክክል መባል የነበረበት ወገን ሐዝተን (eigenscalar) ነበር። 
2. ይህን ካልን ደግሞ የገበቃ ወገን እሴት (eigenvalue) ስንል የገበቃውን ወገን ሐዝተን (eigenscalar) ወይም ወገን ፍላስተን (eigenvector) ማለታችን ይሆናል። 
3. በሌላ አባባል ወገን እሴት ማለት ወገን ሐዝተንን እንዲሁም ወገን ፍላስተንን የሚያጠቃልል የወል ስም (common name) ማለትም የጋራ ስም ነው ማለት ነው።    
4. በዚህ መሠረት ደግሞ የገበቃ ወገን እሴት እኩልታ (eigenvalue equation) ስንል፣ የገበቃውን ሐዝተን እሴት (eigenscalar value) እና ፍላስተን እሴት (eigenvector value) የሚያጠቃልል የወገን እሴቶች (eigenvalues) እኩልታ ማለታችን ይሆናል።
5. ስለዚህም የንግሊዘኛው eigenvalue ባማረኛ ሲተረጎም እንዳጠቃቀሙ ወገን ሐዝተን (eigenscalar) ወይም ወገን እሴት (eigenvalue) ሊሆን ይችላል ማለት ነው።   

eigenscalar = ወገን ሐዝተን
eigenscalar value = ወገን ሐዝተን እሴት
eigenvector = ወገን ፍላስተን
eigenvector value = ወገን ፍላስተን እሴት
eigenvalue = ወገን እሴት
eigenvalue equation = ወገን እሴት እኩልታ

ፀባይ (Property) እና ዐመል (Character)

1. ፀባይ ወይም ጠባይ የሚለው ቃል property የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።
2. ዐመል የሚለው ቃል ደግሞ character (characteristic) የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። 
3. ባማረኛ ዐመል ማለት ልማድ፣ ሐራራ፣ ሡሥ፣ በሥራ የሚገለጥ ደግ ወይም ክፉ ጠባይ ማለት ነው፣ ዐመል ያወጣል ከመሃል፣ ያገባል እመሃል እንዲሉ።
4. ፀባይ (property) እና ዐመል (character) ባዘቦታዊ አጠቃቀማቸው ተመሳሳይ ቢሆኑም፣ በጥናት ዘርፎች ላይ ግን አጠቃቀማቸው እየቅል (የተለያየ) ነው።
5. ፀባይ (property) የሚለው ቃል አብዛኛውን ጊዜ የሚያገለገለው ምንነትን ለሚወስን መሠረታዊ ባሕሪ ሲሆን፣ ዐመል (character) ደግሞ አብዛኛውን ጊዜ የሚያገለግለው ለልማዳዊ ባሕሪ ነው። 

property = ፀባይ
physical property = ግኡዝ ፀባይ
commutative property = አስነዋኝ ፀባይ
associative property = አስጓዳኝ ፀባይ
distributive property = አስከፋፋይ ፀባይ
character (characteristic) – ዐመል
characterization – ዕመላ
characterize –  ዐመለ

የገበቃ ዐመልኩልታ (Characteristic Equation)

1. የገበቃ ዐመል እኩልታ (characteristic equation) የገበቃውን ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) የሚሰጥ፣ ማለትም የገበቃውን ወገን ሐዝተኖች (eigenscalar)  ለማግኘት የሚያገለግል እኩልታ (equation) ነው።
2. ዐመል እኩልታ (characteristic equation) የሚለውን ባጭሩ ዐመልኩልታ እንለዋለን። 

1. የገበቃ ዐመልኩልታ (characteristic equation) ከገበቃው ወገን እሴት እኩልታ (eigenvalue equation) በሚከተለው መንገድ በቀጥታ ይረቸጋል (derived) ማለትም ይገኛል።
2. በዚህ ርቸጋ (derivation) ላይ ምስምስ የገበቃ እኩልታ (homogeneous matrix equation) አልፈንቶ ፍች (nontrivial solution) ሊኖረው የሚችለው፣ የቆኒካወቹ ገበቃ ወሳጊ (determinant of coefficients) ዳዶ (zero) ሲሆን ብቻ ነው የሚለውን በክፍል 5 ላይ በሰፊው የተወሳውን ሐቅ (fact) ተጠቅመናል።   

የገበቃ ዐመልኩልታ አቻ መልኮች (Equivalent Forms)

1. የገበቃ ዐመልኩልታን (characteristic equation) በሚከተለው መልክ (form) መግለጽ ስሌቶችን (calculations) ለመሰተበ (simplify) ማለትም ለማቃለል ይረዳል።
2. ይህ መልክ (form) የሚገኘው ደግሞ ማናቸውንም ገበቃ በተወሰነ ቁጥር (k) መበዘር (multiply) የገበቃውን ወሳጊ (determinant) በቁጥሩ ካልቶና (k²) ይበዝረዋል የሚለውን በክፍል 5 ላይ የተወሳውን የወሳጊወች ጠባይ (properties of determinants) በመጠቀም ነው።

የገበቃ ደብዛ (Trace of a Matrix)

1. ባማረኛ ደብዛ ማለት ፈለግ፣ ዱካ ማለት ነው፣ ደብዛው ጠፋ እንዲሉ።  ይህም ቃል trace የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። 
2. የደብዛ (trace) ግስ ሲረባ ደበዘ (to trace)፣ ድብዝ (ድቡዝ) [traced]፣ ዳባዚ (ደባዥ) [tracer]፣ ድበዛ (tracing)፣ ድብዘት፣ ድባዜ፣ ድባዞሽ እያለ ይሄዳል። 
3. ደበዘ (to trace) ማለት ደብዛውን አገኘ ማለት ሲሆን፣ ድብዝ (ድቡዝ) [traced] ማለት ደግሞ የተደበዘ ማለት ነው። 
4. የገበቃ ደብዛ (trace of a matrix) ማለት የገበቃውን ዐብይ ደያግ (main diagonal) ዐባሎች (elements) ሁሉንም በመደመር የሚገኝ ጠቅላላ ድምር (total sum) ማለት ነው።
5. የገበቃ A ደበዛ (trace) በመልክ tr(A) ይጻፋል።  

የገበቃ ዐመልሚያል (Characteristic Polynomial)

1. ከገበቃ ዐመልኩልታ (characteristic equation) በቀጥታ የሚገኝ፣ በገበቃው ወገን ሐዝተን (eigenscalar) λ አንጻር የሚገለጽ ማቶሚያል (polynomial)፣ የገበቃው ዐመል ማቶሚያል (characteristic polynomial) ወይም ባጭሩ ዐመልሚያል ይባላል። 
2. የ ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ዐመልሚያል (characteristic polynomial) ባለ ኤን ጉለም ማቶሚያል (polynomial of degree n) ነው። 
   • ለምሳሌ ያህል የ 2 በ 2 ካልቶና ገበቃ (2 by 2 square matrix) ዐመልሚያል (characteristic polynomial) ባለ 2 ጉለም ማቶሚያል (polynomial of degree 2) ነው።
   • የ 3 በ 3 ካልቶና ገበቃ (3 by 3 square matrix) ዐመልሚያል (characteristic polynomial) ባለ 3 ጉለም ማቶሚያል (polynomial of degree 3) ነው ወዘተ.
3. የገበቃ ዐመልሚያል (characteristic polynomial) ቆኒካወች (coefficients) በገበቃው ዐባሎች (elements) አንጻር ሊገለጹ ይችላሉ።  
   1. የ λⁿ ቆኒካ (coefficient) ሁልዜም ቶኮ (one = 1) ነው።
   1. የ λ^n-1 ቆኒካ (coefficient) የገበቃው ደብዛ ሉንታ [negative of trace =  -tr(A)] ነው።
   1. የ λ⁰ ቆኒካ (coefficient) ማለትም የዐመልሚያሉ ቋሚ ቂራግ (constant term) ደግሞ  (-1)ⁿdet(A) ነው።
4. ማናቸውም ባለ ኤን ጉለም ማቶሚያል (polynomial of degree n) ኤን ሥርቢወቹ (n roots) አሉት፣ ሥርቢወች (roots) ሊደጋገሙ (repeated) ወይም ወታብ ቁጥሮች (complex numbers) ሊሆኑ እንደሚችሉ ከግምት ውስጥ እስካስገባን ድረስ። 
5. ስለዚህም ማናቸውም ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ኤን ወገን ሐዝተኖች (n eigenscalars) አሉት ማለት ነው፣ ወገን ሐዝተኖቹ ሊደጋገሙ (repeated) ወይም ወታብ ቁጥሮች (complex numbers) ሊሆኑ እንደሚችሉ ከግምት ውስጥ እስካስገባን ድረስ። 

የገበቃ ወገን ሐዝተኖች እና የወገን ፍላስተኖች ስሌት

የገበቃ ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) እና ወገን ፍላስተኖች (eigenvectors) አብዛኛውን ጊዜ የሚሰሉት (calculated) በሚከተለው ደተር (procedure) ማለትም ቅደምተከተል መሠረት ነው። 

1. በመጀመርያ የገበቃው ዐመልሚያል (characteristic polynomial) ከገበቃው ዐመልኩልታ (characteristic equation) ይረቸጋል (derived) ማለትም ይገኛል።  
2. ቀጠሎ ደግሞ የገበቃውን ዐመልሚያል (characteristic equation) ሥርቢወች (roots) በመፈለግ የገበቃው ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) ይገኛሉ።
3. በመጨረሻም እነዚህን ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) እያንዳንዳቸውን በገበቃው ወገን እሴት እኩልታ (eigenvalue equation) ውስጥ በመጠቀም፣ የገበቃው ወገን ፍላስተኖች (eigenvectors) ይሰላሉ።

የገበቃ ወገን ሐዝተኖች (Eigenscalars)፣ ወሳጊ (Determinant) እና ደብዛ (Trace)

1. የማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ወገን ሐዝተኖች (eigenscalars) ከታወቁ፣ የገበቃውን ደብዛ (trace) እና ወሳጊ (determinant) በቀላሉ ማስላት ይቻላል። 
2. የገበቃው ደብዛ (trace) የገበቃው ሁሉም ወገን ሐዝተኖች (all eigenscalars) ጠቅላላ ድምር (total sum) ነው። 
3. የገበቃው ወሳጊ (determinant) ደግሞ የገበቃው ሁሉም ወገን ሐዝተኖች (all eigenscalars) ጠቅላላ ብዜር (total product) ነው። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com