ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ክፍል 5፤ ገበቃ እኩልታ እና የክሬመር ደንብ (Part 5: Matrix Equation & Cramer’s Rule)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 5) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም ክፍል 1 እስከ 4) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት እነሱን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ነግረብ (Statement) እና ባይሳ (Expression)

1. ዐረፍተ ነገር የሚለው የተንዛዛ ስለሆነ ነግረብ (statement, sentence) እንለዋለን።  ነግረብ የሚለው ቃል የተገኘው ነገር እና ነጥብ ከሚሉት ቃሎች ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ነገረበ (to sentence)፣ ንግርብ (ንግሩብ) [sentenced]፣ ነግራቢ (sentencing)፣ ንግረባ (sentencing) እያለ ይሄዳል።
2. ባይሴ (ዓይ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል እንዲሁም ኢብሳ (ማስረዳት፣ መግለጽ) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል \ባይሳ/ (expression) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  \ባይሳ/ (expression) ማለት አባባል፣ አገላለጽ እንደማለት ነው።  ሲነበብ የማይጠበቀው \ባይሳ/ እና የሚጠብቀው /ባይሳ\ እንዳይምታቱብወት።  /ባይሳ\ የኦሮምኛ ስም ነው።  ካሁን ባኋላ ደግሞ ባይሳ ስንል \ባይሳ/ ማለታችን ስለሆነ፣ የማላላት ምልክት አንጠቀምም፣ ማለትም \ባይሳ/ ብለን አንጽፍም።  
3.  ባይሳ (expression) ከሚለው ቃል ሒሳብሲናዊ ባይሳ (mathematical expression)፣ አስሌታዊ ባይሳ (arithmetic expression, arithmetical expression)፣ ሆስሌታዊ ባይሳ (algebraic expression, algebraical expression) የመሳሰሉትን እናገኛለን።
4. እንዲሁም ባይሳ (expression) ከሚለው ቃል በየሰ (express)፣ ብይስ (ብዩስ) [expressed ]፣ በያሲ (expressing)፣ ብየሳ (expressing) እያለ የሚሄደውን ግስ እናገኛለን።  በየሰ (express) ማለት ባይሳ (expression) አቀረበ እንደ ማለት ሲሆን፣ ብይስ (expressed) ማለት ደግሞ የተበየሰ ማለት ነው።   

statement (sentence)  = ነግረብ
statement (sentence) [verb] = ነገረበ
express = በየሰ
expression = \ባይሳ/ (ሲነበብ አይጠብቅም)
mathematical expression = ሒሳብሲናዊ ባይሳ
arithmetic expression (arithmetical expression) =  አስሌታዊ ባይሳ
algebraic expression (algebraical expression) = ሆስሌታዊ ባይሳ

እኩልታ (Equation) እና ፈተዝ (Solution)

1. እኩልታ (equation) ማለት እኩልነት ወይም እኩል መሆን ማለት ነው። የአኩልታ (equation) ግስ ሲረባ አኮለ (equate, equalize)፣ እኩልል (equated, equalized)፣ አኳሊ (አኳይ) [equator, equalizer]፣ እኮላ (equating, equalization) እያለ ይሄዳል።  አኮለ (equate, equalize) ማለት እኩል አደረገ ማለት ሲሆን፣ እኩልል (equated, equalized) ማለት ደግሞ የታኮለ ማለትም እኩል (equal) የተደረገ ማለት ነው።
2. ፈታ የሚለው ያማረኛ ቃል አያሌ ትርጉሞች ያሉት ስለሆነ የእንግሊዘኛውን solve ባማረኛ ፈተዘ እንለዋለን።  ፈተዘ (solve) ማለት መልስ አገኘ እንደ ማለት ሲሆን፣ ሲረባም ፈተዘ (solve) ፍትዝ (ፍቱዝ) [solved]፣ ፈታዚ (ፈታዥ) [solver]፣ ፍተዛ (solving) እያለ ይሄዳል።  ፈተዝ (solution) ማለት ፍች እንደ ማለት ሲሆን፣ ፍቱዝ (solved) ማለት ደግሞ የተፈተዘ ማለትም ፈተዝ (solution) የተገኘለት ማለት ነው።  

equation = እኩልታ
equate (equalize) = አኮለ
equalized = እኩልል፣ የታኮለ
solution = ፈተዝ፣ ፍች
solve = ፈተዘ
equation solver = እኩልታ ፈታዥ
solved equation = ፍትዝ እኩልታ፣ ፍቱዝ

ቋሚ (Constant) እና ጠዋጢ (Variable)

1. ቋሚ (constant) ማለት የማይለዋወጥ እሴት ያለው ማለት ሲሆን፣ አልቋሚ (non-constant, nonconstant) ማለት ደግሞ ቋሚ ያልሆነ፣ ማለትም እሴቱ የሚለዋወጥ ማለት ነው።  ከዚህም ቋሚነት (constancy)፣ አልቋሚነት (non-constancy) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።
2. ጠዋጢ (variable) ማለት ተለዋዋጭ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ተለዋወጠ ከሚለው ነው። ግሱም ሲረባ ጠወጠ (vary)፣ ጥውጥ (varied)፣ ጠዋጢ (varying, variable)፣ ጥወጣ (variation) እያለ ይሄዳል።  ጠወጠ (vary) ማለት ተለዋወጠ ወይም ተለዋዋጭ ሆነ ማለት ሲሆን፣ ጥውጥ (varied) ማለት ደግሞ የተለዋወጠ ማለት ነው።  

constant (non-constant) = ቋሚ፣ አልቋሚ
constancy (non-constancy) = ቋሚነት፣ አልቋሚነት
vary = ጠወጠ
variation = ጥወጣ፣ ጥውጠት፣ ጥዋጤ፣ ጥዋጦሽ
variable  (variability) = ጠዋጢ፣ ጠዋጢነት

ቆኒካ (Coefficient)

1. ማናችውንም እሴት (value) የሚበዝር (multiply) ማለትም የሚያባዛ ቋሚ (constant) የሆነ ቁጥር የእሴቱ ቆኒካ (coefficient) ይባላል። 
2. ቆኒካ (coefficient) የሚለው ቃል የተገኘው ቆነነ (ማለትም ለካ፣ መጠነ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። 
3. የቆኒካ (coefficient) ግስ ሲረባ ቆነከ፣ ቁንክ፣ ቆናኪ፣ ቁነካ እያለ ሲሄድ የእንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ቆነከ (be or make coefficient) ማለት ቆኒካ (coefficient) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ቁንክ ማለት ደግሞ የተቆነከ ማለትም ቆኒካ የተደረገ ማለት ነው። 

ደርገር (Simultaneous) እና ደርገርነት (Simultaneity)

1. ደረገ ማለትም አንድ ሆነ፣ ዐበረ እንዲሁም ረገነ ማለትም አጥብቆ አሰረ፣ ሳበ፣ ገተረ ከሚሉት የግእዝ ቃሎች ደርገር (simultaneous) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ደርገር (simultaneous) ማለት ባንድነት፣ ባንድ ጊዜ፣ ባንድ ቅጽበት እንደ ማለት ነው።   ከዚህም ደርገርነት (simultaneity) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  
2. የደርገር (simultaneous) ግስ ሲረባ ደረገረ፣ ድርግር (ድርጉር)፣ ደርገሪ፣ ድርገራ፣ ድርግረት፣ ድርጋሬ፣ ድርጋሮሽ  እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ደረገረ (be or make simultaneous) ማለት ደርገር (simultaneous) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ድርግር (ድርጉር) ማለት ደግሞ የተደረገረ ማለት ነው። 

simultaneous = ደርገር
simultaneous (verb) = ደረገር
simultaneity = ደርገርነት፣ ድርጋሬ፣ ድርግረት

ደርገር እኩልታወች (Simultaneous Equations)

1. ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ጠዋጢወችን (variables) ባንድንት ስለሚጋሩ (share) በደርገር (simultaneously) ማለትም ባንድነት መፈተዝ (solved) ማለትም መፈታት ያለባቸው ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታወች ደርገር እኩልታወች (simultaneous equations)  ይባላሉ።   
2. የደርገር እኩልታወች (simultaneous equations) ሌላኛው ስም የእኩልታወች ስርካት (system of equations) ነው።
3. እኩልታወቹ ቄጠማ እኩልታወች (linear equations) ከሆኑ፣ ስርካታቸው (system) የቄጠማ እኩልታወች ስርካት (system of linear equations) ይባላል።  

simultaneous equations = ደርገር እኩልታወች
system of equations = የእኩልታወች ስርካት
system of linear equations =  የቄጠማ እኩልታወች ስርካት

የገበቃወች እኩልነት (Equality of Matrices)

ገበቃ A ከገበቃ B ጋር እኩል ነው (matrix A is equal to matrix B) የሚባለውና B = A ተብሎ የሚጻፈው

1. ገበቃ B ከገበቃ A ጋር እኩል ሚሃ (equal dimension) ካለው፣ ማለትም እኩል የረድፎች ቁጥር (equal number of rows) እና እኩል የዐምዶች ቁጥር (equal number of columns) ካለው። 
2. በተጨማሪ ደግሞ እያንዳንዳቸው የገበቃ B ዐባሎች (members) ከገበቃ A ወልታቢ ዐባሎች (corresponding members) ጋር እኩል (equal) ከሆኑ ብቻና ብቻ ነው።

ሁለት ሚሃም ገበቃ እኩልታ (Two Dimensional Matrix Equation)

1. ገበቃ (matrix) A ዐራት ቋሚወችን (constants) a b, c እና d ያቀፈ ሁለት ረድፎች (two rows) እና ሁለት ዐምዶች (two columns) ያሉት 2 በ 2 ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው እንበል፣
2. ገበቃ (matrix) B ሁለት ቋሚወችን (constants) e እና f ያቀፈ ሁለት ረድፍ (two rows) እና አንድ ዐምድ  (one column) ያለው ዐምድ ገበቃ (column matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (column vector) ነው እንበል፣
3. ገበቃ (matrix) V ደግሞ ሁለት ጠዋጢወችን (variables) x እና y ያቀፈ ሁለት ረድፍ (two rows) እና አንድ ዐምድ (one column) ያለው ዐምድ ገበቃ (column matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (column vector) ነው እንበል።
4. በመልክ AV = B የሚጻፍ እኩልታ ገበቃ እኩልታ (matrix equation) ይባላል።  ይህም እኩልታ በቃላት ሲገለጽ “የገበቃወች A እና V ብዜር (product) ከገበቃ B ጋር እኩል (equal) ነው” ይላል።
5. ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ ገበቃ እኩልታ (matrix equation) ማለት ከእኩልነት ምልክት በስተቀኝ እና በስተግራ የሚገኙ ገበቃዊ  እሴቶች እኩል ናቸው የሚል የሚል ሒሳብሲናዊ የእኩልነት ነግረብ (mathematical statement of equality) ነው።   

የገበቃ እኩልታ ርበባ (Expansion of Matrix Equation)

1. በግእዝ ረበበ ማለት አደገ፣ ሰፋ፣ ተለቀ ማለት ነው።  ይህም ቃል expand የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ረበበ (expand)፣ ርብብ (ርቡብ) [expanded]፣ ረባቢ (expanding)፣ ርበባ (expansion) እያለ ይሄዳል።
2. የሁለት ሚሃም ገበቃ እኩልታ ርብብ መልክ (expanded form of two dimensional matrix equation) ማለት በገበቃወቹ ዐባሎች አንጻር (in terms of the elements of the matrix) ተተንትኖ የተጻፈ እኩልታ ማለት ነው።
3. የገበቃ እኩልታ የሚረበበው (expanded) ደግሞ የገበቃ ብዘራን (matrix multiplication) ደንብ በመጠቀም መበዘር (ማለትም መዛት) ያለባቸውን ገበቃወች ከበዘሩ በኋላ የገበቃወችን እኩልነት (equality of matrices) ደንብ በመጠቀም ነው። 

የክሬመር ደንብ ርቸጋ (Derivation of Cramer’s Rule)

1. ረቸገ (derive) ማለት አገኘ እንደማለት ሲሆን ቃሉ የተገኘው ደግሞ አርገቹ (ማለትም ማግኘት) ከሚለው የኦሮም ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ረቸገ (derive)፣ ርችግ (ርቹግ) [derived]፣ ረቻጊ (deriving)፣ ርቸጋ (derivation) እያለ ይሄዳል።
2. የክሬመር ደንብ (Cramer’s Rule) ማለት እኩል የጠዋጢ እና የእኩልታ ቁጥሮች (equal number of equations and variables) ያሉትን የማናቸውንም ገበቃ እኩልታ ፈተዝ (solution of matrix equation) የሚሰጥ አጠቃላይ ደንብ (general rule) ማለት ነው።
3. የክሬመር ደንብ የተሰየመው ደንቡን አጠቃላይ መልክ (general form) በመጀመርያ በረቸገው (derived) በስዊዝጌ (Switzerland) ሒሳብሲነኛ (mathematician) በገብሬል ክሬመር (Gabriel Cramer) ስም ነው፣ ምንም እንኳን የደንቡ ልዩ ረገድ (special case) በስኮትጌው (Scotland) ሒሳብሲነኛ ኮሊን ማክሎሪን (Colin Maclaurin) አስቀድሞ የተረቸገ (derived) ቢሆንም። 
4. ሁለት ጠዋጢወችን  (two variables) እና ሁለት እኩልታወችን (two equations) ላቀፈ ሁለት ሚሃም ገበቃ እኩልታ (two dimensional matrix equation) የክሬመር ደንብ (Cramer’s rule) እንደሚከተለው ይረቸጋል (derived)። ይህ ርቸጋ (derivation) የተከናወነው ደግሞ  በክፍል 4 ላይ በስፋት የተወሱትን የሚከተሉትን ሐቆች (facts) በመጠቀም ነው።   
   • (ማናቸውም ገበቃ (matrix) በግልብጡ (inverse) ሲበዘር (multiplied) ገመና ገበቃ (identity matrix) ይሰጣል። 
   • ማናቸውንም ገበቃ (matrix) በገመና ገበቃ (identity matrix) መበዘር (multiply) ገበቃውን አይለውጠውም።
   • የ 2 በ 2 ካልቶና ገበቃ ግልብጥ (inverse of a 2 by 2 square matrix) የገበቃውን ወሳጊ (determinant) በሚያካትት አጠቃላይ ቀመር (general formula) ይሰጣል።  

ስለዚህም ሁለት ጠዋጢወችን  (two variables) እና ሁለት እኩልታወችን (two equations) ያቀፈ የሁለት እኩልታወች በሁለት ጠዋጢወች ስርካት (system of two equations in two variables) ፈተዝ (solution) ማለትም ፍች በክሬመር ደንብ (Carmer’s rule) መሠረት የሚሰላው እንደሚከተለው ነው ማለት ነው።   

የክሬመር ደንብ ደተር  (Procedure)

1. ደተር (procedure) ማለት ቅደምተከተል ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደረጃ እና ተራ ከሚሉት ቃሎች ነው። 
2. ግሱም ሲረባ ደተረ፣ ድትር (ድቱር)፣ ደታሪ፣ ድተራ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም። 
3. የክሬመር ደንብ (Cramer’s Rule) ደተር (procedure) እንደሚከተለው ነው። 

1. በመጀመርያ የእኩልታው ስርካት (system of equation) አንድ የቆኒካወች ገበቃ (one matrix of coefficients) እና ሁለት የጠዋጢወች ገበቃወች (two matrices of variables) ወዳቀፈ አቻ የገበቃ እኩልታ (equivalent matrix equation) ይለወጣል።  በሌላ አባባል የእኩልታው ስርካት በገበቃ መልክ (matrix form) ይጻፋል።   
2. የቆኒካወች ገበቃ (matrix of coefficients) ካልቶና ገበቃ (square matrix) ሲሆን፣ ሚሃው (dimension) ደግሞ ከእኩልታወቹ ቁጥር (number of equations) ጋር እኩል ነው።  ለምሳሌ ያህል ሁለት እኩልታወችን ላቀፈ የእኩልታ ስርካት (system of two equations in two variables) የቆኒካወች ገበቃ (matrix fo coefficients) ሁለት ሚሃም ካልቶና ገበቃ (two dimensional square matrix) ሲሆን፣ ሦስት እኩልታወችን ላቀፈ የእኩልታ ስርካት (system of three equations in three variables) ደግሞ ሦስት ሚሃም ካልቶና ገበቃ (three dimensional square matrix) ይሆናል። 
3. የጠዋጢወች ገበቃ (matrix of variables) እና የቋሚወች ገበቃ (matrix of constants) ሚሃቸው (dimensions) ከእኩልታወቹ ቁጥር (number of equations) ጋር እኩል የሆነ ዐምድ ገበቃወች (column matrices) ወይም ዐምድ ፍላስተኖች (column vectors) ናቸው።  ለምሳሌ ያህል ሁለት እኩልታወችን ላቀፈ የእኩልታ ስርካት (system of two equations in two variables) እነዚህ ገበቃወች ሁለት ሚሃም ዐምድ ገበቃወች (two dimensional column matrices) ሲሆኑ፣ ሦስት እኩልታወችን ላቀፈ የእኩልታ ስርካት (system of three equations in three variables) ደግሞ ሦስት ሚሃም ዐምድ ገበቃወች (three dimensional column matrices) ይሆናሉ።  
4. በሁለተኛ ደረጃ የቆኒካወች ገበቃ (matrix of coefficients) ወሳጊ (determinant) ይሰላል፣ ውጤቱም የቆኒካወች ወሳጊ (determinant of coefficients) ይባላል።
5. በሦስተኛ ደረጃ
   • በቆኒካወች ገበቃ (matrix of coefficients) ላይ የመጀመርያውን ዐምድ (first column) በቋሚወች ዐምድ ገበቃ ዐባሎች (elements of the column matrix of coefficients) በመተካት (substitute) የሚገኘው ገበቃ (matrix) ያለው ወሳጊ (determinant) ይሰላል፣ ውጤቱም የመጀመርያው ጠዋጢ ወሳጊ (determinant of the first variable) ማለትም የ x ወሳጊ (determinant of x) ይባላል።   
   • በቆኒካወች ገበቃ (matrix of coefficients) ላይ ሁለተኛውን ዐምድ (second column) በቋሚወች ዐምድ ገበቃ ዐባሎች (elements of the column matrix of coefficients) በመተካት (substitute) የሚገኘው ገበቃ (matrix) ያለው ወሳጊ (determinant) ይሰላል፣ ውጤቱም የሁለተኛው ጠዋጢ ወሳጊ (determinant of the second variable) ማለትም የ y ወሳጊ (determinant of y) ይባላል።  
   • በዚህ መንገድ የሁሉም ጠዋጢወች ወሳጊወች ይሰላሉ።   
6. በመጨረሻም
   • የጠዋጢ x እሴት (value of x) የ x ወሳጊን (determinant of x) በቆኒካወች ወሳጊ (determinant of coefficients) በመደሸር (divide) ማለትም በማካፈል ይሰላል።  
   • የጠዋጢ y እሴት (value of y) የ y ወሳጊን (determinant of y) በቆኒካወች ወሳጊ (determinant of coefficients) በመደሸር (divide) ይሰላል።
   • በዚህ መንገድ የሁሉም ጠዋጢወች እሴቶች ይሰላ።   

አልፀንቃሚ ስርካት  (Inconsistent System)

1. ፀንቃሚ (consistent) ማለት የሚስማማ፣ አብሮ የሚሄድ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግም ጽኑ እና ቋሚ ከሚሉት ነው።  ግሱም ሲረባ ፀነቀመ፣ ፅንቅም (ፅንቁም)፣ ፀንቃሚ፣ ፅንቀማ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ፀነቀመ (be or make consistent) ማለት ፀንቃሚ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ፅንቁም ማለት ደግሞ የተፀነቀመ ማለት ነው። 
2. ፀንቃሚ (consistent) ከሚለው አልፀንቃሚ (inconsistent) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  አልፀንቃሚ (inconsistent) ማለት ፀንቃሚ (consistent) ያልሆነ፣ አብሮ የማይሄድ፣ የማይስማማ ማለት ነው። 
3. ከዳዶ (zero) በስተቀር ሌላ ፈተዝ (solution) ማለትም ፍች የሌለው የእኩልታወች ስርካት (system of equations) አልፀንቃሚ የእኩልታወች ስርካት (inconsistent system of equations) ወይም ባጭሩ አልፀንቃሚ ስርካት (inconsistent system) ይባላል።  

መሳ (Homo) እና ሌሳ (Hetero)

1. ባማረኛ መሳ ማለት እኩል፣ ትክክል ማለት ነው፣ መሳ ለመሳ እንዲሉ።  ይህም ቃል መሳ (homo) የሚለውን ፊልጡፍ (prefix) ማለትም ባዕድ መነሻ ይሰጠናል። 
2. ከመሳ (homo) ጋር አብሮ እንዲሄድልን፣ ሌላ ከሚለው ቃል ሌሳ (hetero) የሚለውን ፊልጡፍ (prefix) እንፈጥራለን። ሌሳ (hetero) የመሳ (homo) ተቃራኒ ነው። 
3. መሳ (homo) ከሚለው ፊልጡፍ ምስምስ (homogenous) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ምስምስ (homogenous) ማለት አንድ ወጥ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ መሰመሰ (homogenize)፣ ምስምስ (homogenized)፣ መስማሲ (መስማሽ) [homogenizer]፣  ምስመሳ (homogenization) እያለ ይሄዳል።
4. ሌሳ (hetero) ከሚለው ፊልጡፍ ሌስምስ (heterogenous) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ሌስምስ (heterogenous) ማለት ምስምስ (homogenous) ያልሆነ፣ ማለትም አንድ ወጠ ያልሆነ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ሌሰመሰ (heterogenize)፣ ልስምስ (heterogenized)፣ ሌስማሲ (ሌስማሽ) [heterogenizer]፣ ልስመሳ (heterogenization) እያለ ይሄዳል።

homo = መሳ
homogeneous = ምስምስ
nonhomogenous = አልምስምስ
homogeneity = ምስምስነት
homogenize  = መሰመሰ
homogenization  = ምስመሳ
hetero  = ሌሳ
heterogeneous = ሌስምስ
nonheterogenous = አልሌስምስ
heterogeneity = ሌስምስነት
heterogenize = ለሰመሰ
heterogenization = ልስመሳ 

ምስምስ ስርካት (Homogenous System)

1. ገበቃ (matrix) A ኤን ረድፎች (n rows) እና ኤን ዐምዶች (n columns) ያሉት ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ነው እንበል፣
2. ገበቃ (matrix) v ደግሞ ኤን ረድፎች (n rows) እና አንድ ዐምድ (one column) ያሉት ዐምድ ገበቃ (column matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (column vector) ነው እንበል፣
3. ገበቃ (matrix) 0 ደግሞ ኤን ረድፎቸ (n rows) እና አንድ ዐምድ (one column) ያሉት ሁሉም ዐባሎቹ ዳዶ (zero) የሆኑ ዳዶ ገበቃ (zero matrix, null matrix) ነው እንበል፣ 
4. በመልክ Av = 0 የሚጻፍ እኩልታ ምስምስ የእኩልታወች ስርካት (homogenous system of equation) ወይም ባጭሩ ምስምስ ስርካት (homogenous system) ይባላል። 
5. ምስምስ (homogenous) ያልሆነ የእኩልታወች ስርካት ደግሞ አልምስምስ ስርካት (non-homogenous system) ይባላል። 

homogenous system = ምስምስ ስርካት
non-homogenous system = አልምስምስ ስርካት

የምስምስ ስርካት ፈንቶ ፈተዝ (Trivial Solution)

1. በማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ላይ ያንዱ ረድፍ (one column) ወይም ያንዱ ዐምድ (one row) ዐባሎች ሁሉም ዳዶ (all zeros) ከሆኑ፣ የገበቃው ወሳጊ (determinant) ዳዶ (zero) ይሆናል።
2. በዚህም ምክኒያት በምስምስ ስርካት (homogenous system) ላይ የሁሉም ጠዋጢወች ወሳጊወች (determinants of variables) ዳዶ (zero) ናቸው። 
3. ስለዚህም በክሬመር ደንብ (Cramer’s rule) መሠረት የምስምስ እኩልታ ፈተዝ (solution) ሁሉም ጠዋጢወች ዳዶ (all variables equal to zero) የሆኑበት ፈተዝ ነው።  ይህ ፈተዝ (solution) ደግሞ ፈተዝነቱ ግልጽ የሆነና ምንም ፋይዳ የሌለው ፈተዝ ስለሆነ፣ ፈንቶ ፈተዝ (trivial solution) ወይም ባጭሩ ፈፈ ይባላል።
4. ባማረኛ ፈንቶ ማለት የማይረባ፣ ምንም ትካር የሌለው፣ ምናምንቴ ማለት ነው፣ እንቶ ፈንቶ እንዲሉ፣ እከሌ ፈንቶ ሊሉ። 
5. ፈንቶ ያልሆነ ፈተዝ አልፈንቶ ፈተዝ (nontrivial solution) ወይም ባጭሩ አልፈፈ ይባላል።

trivial = ፈንቶ
triviality = ፈንቶነት
nontrivial = አልፈንቶ
nontriviality = አልፈንቶነት
trivial solution = ፈንቶ ፈተዝ፣ ፈፈ
nontrivial solution = አልፈንቶ ፈተዝ፣ አልፈፈ

የምስምስ ስርካት አልፈንቶ ፈተዝ (Nontrivial Solution)

1. የጠዋጢወቹ ቁጥር (number of variables) ከእኩልታወቹ ቁጥር (number of equations) ጋር እኩል (equal) የሆነ ማናቸውም ምስምስ ስርካት (homogenous equation) አልፈንቶ ፈተዝ (nontrivial solution) ሊኖረው የሚችለው የቆኒካወቹ ወሳጊ (determinant of coefficients) ዳዶ (zero) ከሆነ ብቻ ነው። 
2. ክፍል 4 ላይ በስፋት እንደተወሳው ደግሞ ወሳጊው (determinant) ዳዶ (zero) የሆነ ገበቃ ግልብጥ (inverse) የለውም፣ ማለትም አልተገልባጭ (noninvertible) ወይም አንድቻ (singular) ነው። 
3. ስለዚህም የጠዋጢወቹ ቁጥር (number of variables) ከእኩልታወቹ ቁጥር (number of equations) ጋር እኩል (equal) የሆነ ማናቸውም ምስምስ ስርካት (homogenous equation) አልፈንቶ ፈተዝ (nontrivial solution) ሊኖረው የሚችለው የቆኒካወቹ ገበቃ (matrix of coefficients) አልተገልባጭ (noninvertible) ወይም አንድቻ (singular) ከሆነ ብቻ ነው። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com