ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ከፍል 3፤ የወሳጊወች ዐበርነታን ርበባ (Part 3: Cofactor Expansion of Determinants)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 3) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው በሚቀድሙት ክፍሎች (ማለትም ክፍል 1 እና 2) ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት እነሱን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ወሳጊ (Determinant) እና ፈላይ (Discriminant)

1. ውሳኔ አደረገ ከሚለው ወሰገ (determine) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ወሰገ (determine)፣ ውስግ (ውሱግ) [determined]፣ ወሳጊ (determinant)፣ ውሰጋ (determination)፣ ውስገት፣ ውሳጌ፣ ውሳጎሽ እያለ ይሄዳል። 
2. ፈለየ (ክፉውን ከበጎ ለየ) የሚለው የግእዝ ቃል ደግሞ discriminate የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ፈለየ (discriminate)፣ ፍልይ (ፍሉይ) [discriminated]፣ ፈላይ (discriminant)፣ ፍለያ (discrimination)፣ ፍልየት እያለ ይሄዳል። 
3. ወሳጊ (determinant) ፈተዞች (solutions) ማለትም ፍችወች መኖር አለመኖራቸውን ይወስጋል (determine) ማለትም ይወስናል፣ ፈላይ (discriminant) ደግሞ የፈተዞቹን ዓይነቶች (types of solutions) ይፈልያል (discriminate) ማለትም ይለያል።   

determine = ወሰገ
determinant = ወሳጊ
determinant of a matrix = የገበቃ ወሳጊ
discriminate = ፈለየ
discriminant = ፈላይ
discriminant of a quadratic equation =  የካልቶና እኩልታ ፈላይ

ስለ ወሳጊ  በጥቂቱ

1. ከማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ጋር የተጎዳኙ የተለያዩ ሐዝተኖች (scalars) ማለትም ወናብ (real) ወይም ወታብ (complex) ቁጥሮች አሉ። 
2. ከነዚህም ውስጥ አንዱና ዋናው የገበቃ ወሳጊ (determinant of a matrix) ወይም ባጭሩ ወሳጊ (determinant) የሚባለው ነው። ወሳጊ (determinant) የተባለበት ምክኒያት ደግሞ ወደፊት የክሬመር ደንብ (Cramer’s rule) በሚለው ክፍል ላይ እንደምንምለከተው የቄጠማ የእኩልታ ስርካቶች (systems of linear equations) ፈተዝ (solution) ማለትም ፍች ይኑራቸው አይኑራቸው የሚወስነው እሱ በመሆኑ ነው።
3. ዘመናዊው የወሳጊ (determinant) ጥናት የተጀመረው በአስራ ሰባተኛው ቶመን (century) መጨረሻ አካባቢ በጃፓናዊው ሒሳብሲነኛ (mathematician) ሰኪ ኩዋ (Seki Kowa) እና ከይሳቅ ኒውተን (Isaac Newton) ጋር የሰልቲስ (Calculus) ዐበርፈልሳፊ (coinventor) በነበረው በጀርመናዊው ጎትፍሪድ ላይብኒዝ (Gottfried Leibniz) ነው።  ጃፓኖች ደግሞ አብዛኛውን እውቀታቸውን ይቀዱ የነበሩት ከቺናወች በመሆኑ፣ ለጃፓኖች የሚታይ ለቺኖች ስውር ሊሆን አይችልም።  ከሁሉም አስቀድመው ደግሞ ኑባወች (Nubian) ወሳጊን (determinant) የመሰለ መሠረታዊ እውቀት ሳያውቁ ታላላቆቹ ኑቢሳወች (pyramids) ገነቡ ማለት ውሃ የማይቋጥር አጉል ትርክት ነው።
4. ማናቸውም የጥናት ዘርፍ በተለይም ደግሞ የሰገል (science) እና የሒሳብሲን (mathematics) ጥናት በወራጅ ውሃ ሊመሰል ይችላል።  ጭር፣ ጭር ይል የነበረ ወራጅ ውሃ ሁኔታወች ሲመቻቹለት ገዘፎ እና አይሎ፣ ሰፍቶና ተንሰራፍቶ ታላቅ ወንዝ ሊሆን ይችላል።  ከመ ዐባይ (እንደ ዐባይ) የነበረው ደግሞ እየተመናመነ ሂዶ ጭር፣ ጭር ሊል ጭራሹንም ሊደርቅ ይችላል።  አንዳንዱ ደግሞ ዝናብ ጠብ ሲል የሚገነፈል፣ ብራ ሲውል ጭር፣ ጭር የሚል የግንፍሌ ዓይነት ወረተኛ ሊሆን ይችላል።  በወሳጊ (determinant) ጥናት ላይ የሆነውም ይሄው ነው።  ባሁኑ ጊዜ ወሳጊ (determinant) ከሞላ ጎደል ከሒሳብሲን (mathematics) ጥናት የወጣ፣ ለገያጊወች (computers) የተተወ ፀንሳብ (concept) ነው።  ይህ ማለት ግን አንድኛውን ላሃቹ ሙቷል፣ ዳግሚያ ተንሳዔ የለውም ማለት አይደለም። 
5. ነገርን ነገር ያነሳዋለና፣ አንድ ሐረግ ቢመዙ ደን ይወዘውዙ ነውና፣ ኋላ መጤወቹ አውሮጶች ባለማዊው ነገር ሊበልጡና ቅኝ ሊገዙን የቻሉት፣ የኛ ሊቃውንት ስለ ስለ ሥላሴ ሚስጥር (mistry of trinity) ሲመራመሩ የነሱ ደግሞ ስለ ሳልቶና እኩልታ (cubic equation) ያበጥሩ ስለነበር ብቻ ነው።  በያዝነው መንገድ ይብልጥ አጠናከርን እንድንቀጥልበትና ከሰገል (science) እና ከኪንሲን (techonology) ጋር ፈጽመን እንድንጣላና ዘላለማዊ የፈረንጅ ባርያ እንድንሆን ደግሞ ከፍተኛ ገንዘብ መድበው ሁሉም ሲሳይ ከሰማይ የሚል፣ በማርያም ታማልዳለች አታማልድም አጉል ክርክር ሕዝብን የሚያደነቁር፣ እንዲያጭበረብር የተጭበረበረ፣ በቅጥፈት የተካነ አደገኛ የጴንጤ ሠራዊት በስፋት አዘመቱብን።   
6. ዳሩ ግን፣ እሾህ ላጣሪው ነውና፣ ላፍሪቃ የተጫረው እሳት በራሷ ባሜሪቃም ላይ እንደ ሰደድ ተስፋፍቶ ከመፍጀትና ከማቃጠል አልፎ እያንጨረጨራት ይገኛል።  ሬገን እና ኒክሰን እንደ አህያ የጋለቡት፣ አሁን ደግሞ ትራምፕ እንደ ከብት የሚነዳው ይህን በጴንጤነት የታወረ፣ መሬት ትዞራለች ሲሉት ናላው የሚዞር፣ አትማሩ አትመራመሩ እያለ ሽንጡን ገትሮ የሚከራከር፣ ምርመርን አምርሮ የሚጠላ ሕዝብ ተብየ መንጋ ነው።
7. የኛም ጭራቅ የትራምፕ ቢጤ መሆኑ ነው።   ቁቄም ከፈስ ተቆጠረች እንዳንል ጭራቁ በጦቢያ ላይ ብሎም ባፍሪቃ ላይ እያደረሰ ያለው ጥፋት፣ ትራምፕ ባሜሪቃ ላይ ብሎም በምዕራቡ ዓለም ላይ እያደረሰ ካለው ጥፋት እጅግ የከፋ ሆነብንና ተቸገርን።  
8. ለማንኛውም፣ ግራም ነፈሰ ቀኝ፣ እድሜ ልካቸውን ቢወተውቱም ሰሚ አጥተው የሞቱት ታላቁ ቀያኒ (poet) አለቃ ከበደ ሚካኤል እንዳሉት “በሥራ በጥበብ ግሎ ለመነሳት፣  ቆስቋሽ ይፈልጋል የሰው ልጅ እንደሳት”።
9. ወደ ርዕሳችን እንመለስ።

የገበቃ ደያጎች (Diagonals of a Matrix) 

1. ማናቸውም ገበቃ (matrix) ሁለት ደያጎች (two diagonals) አሉት።
2. ከግራ ራስጌ (top left) ወደ ቀኝ ግርጌ (bottom right) የሚሄደው የገበቃ ደያግ (diagonal of a matrix) ዐብይ ደያግ (main diagonal, major diagonal) ወይም ቀዳማይ ደያግ (primary diagonal) ይባላል። 
3. ከቀኝ ራስጌ (top right) ወደ ግራ ግርጌ (bottom left) የሚሄደው የገበቃ ደያግ (diagonal of a matrix) ደግሞ ንዑስ ደያግ (minor diagonal) ወይም ካልዓይ ደያግ (secondary diagonal) ይባላል። 

የ 2 በ 2 ገበቃ ወሳጊ (Determinant of 2 x 2 Matrix) 

1. ወሳጊ (determinant) የሚበየነው (defined) ለካልቶና ገበቃወች (square matrices) ብቻ ነው።  ማለትም አልካልቶና ገበቃወች (non-square matrices) ወሳጊ (determinant) የላቸውም።
2. የማናችውም ሁለት በሁለት ገበቃ (2 by 2 matrix) ወሳጊ (determinant) የገበቃው ዐብይ ደያጊ ዐባሎች ብዜር (product of the main diagonal elements) እና የገበቃው ንዑስ ደያግ ዐባሎች ብዜር (product of the minor diagonal elements) ልዩነት (difference) ነው ተብሎ በሚከተለው መንገድ ይበየናል (defined)። 

የ 3 በ 3 ገበቃ ወሳጊ (Determinant of 3 x 3 Matrix) 

የማናቸውም 3 በ 3 ገበቃ (3 by 3 matrix) ወሳጊ (determinant) በ 2 በ 2 ገበቃ (2 by 2 matrix) ወሳጊ (determinant) እንጻር እንደሚከተለው ይበየናል (defined)። 

የሳረስ ደንብ (Sarrus Rule)

1. የሳረስ ደንብ (Sarrus rule) የተሰየመው በፈረንሳዩ ሒሳብሲነኛ (mathematician) ጴጥሮስ ሳረስ (Pierre Sarrus) ስም ነው፣ ምንም እንኳን ደንቡን ከሳረስ በፊት ሌሎች ሒሳብሲነኞ በተለይም ደግሞ ጃፓናዊው ሒሳብሲነኛ ሰኪ ኮዋ (Seki Kowa) ያውቁት የነበረ ቢሆንም።
2. የሳረስ ደንብ (Sarrus rule) የ 3 በ 3 ገበቃወችን (3 by 3 matrices) ወሳጊወች (determinants) በቀላሉ ለማስላት የሚያስችል ደንብ (rule) ነው። 
3. ባለምታደል ግን የሳረስ ደንብ የሚያገለግለው ለ 3 በ 3 ገበቃወች ብቻ (only for 3 by 3 matrices) ነው። 
4. 3 በ 3 እና ከዚያ በላይ የሆኑ ገበቃወች ወሳጊወች (determinants) የሚሰሉት (calculated) በሚቀጥሉት ክፍሎች ላይ እንደምንመለከተው እንደ ሳረስ ደንብ (Sarrus rule) ሰታብ (simple) ማለትም ቀላል ባልሆነና ጊዜ በሚፈጅ (time consuming) ዐበርነታን ርበባ (cofactor expansion) ወይም ላፕላስ ርበባ (Laplace expansion) በሚባል የርባባ ዘዴ (expansion method) ነው።  

የ 3 በ 3 ገበቃወችን ወሳጊወች (determinants) በሳረስ ደንብ (Sarrus rule) መሠረት ለማስላት፣

1. የመጀመርያወቹ ሁለቱ የገበቃው ረድፎች (the first two rows) ከሦስተኛው ረድፍ በስተቀኝ በድጋሚ ይጻፋሉ፣
2. ከግራ ወደቀኝ በሚሄዱት ደያጎች (diagonals) ላይ ያሉት የገበቃው ዐባሎች እየተበዘሩ (multiplied) ማለትም እየተባዙ ይደመራሉ (added)፣
3. ከቀኝ ወደ ግራ በሚሂዱት ደያጎች (diagonals) ላይ ያሉት የገበቃው ዐባሎች ደግሞ እየተበዘሩ (multiplied) ይቀነሳሉ (subtracted)። 

ንዑስ (Minor)፣ ዐበርነታን (Cofactor)፣ ዐበርነታን ገበቃ (Cofactor Matrix) እና ጋወር (Adjoint)

1. ንዑስ (minor)፣ ዐበርነታን (cofactor)፣ ዐበርነተን ገበቃ (cofactor matrix) እና ጋወር (adjoint, adjutant) ከማናቸውም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ጋር የተጎዳኙ እሴቶች ናቸው። 
2. የነዚህን እሴቶች ብያኔወች (definitions) በቀላሉ ለመረዳት ደግሞ የሚከተለውን 3 በ 3 ገበቃ (3 by 3 matrix) እናጢን።
3. የዚህ ገበቃ የመጀመርያ ዐባል (first member) የሆነውን ባንደኛው ረድፍ (first row) እና ባንደኛው ዐምድ (first column) ላይ የሚገኘውን a₁₁ እንውሰድ።
4. ዐባሉ የሚገኝበትን ርድፍ እና ዐምድ (ማለትም አንደኛውን ረድፍ እና እንደኛውን ዐምድ) በመሰረዝ የሚገኘው እናሳ ገበቃ ያለው ወሳጊ (determinant) ከዐባሉ ጋር የተጎዳኘ የዋናው ገበቃ ንዑስ (minor) ነው ይባላል።  ንዑስ (minor) የተባለበትም ምክኒያት ደግሞ ከዋናው ገበቃ ያነሰ አናሳ ገበቃ በመሆኑ ነው።
5. ከዐባል a₁₁ ጋር የተጎዳኘው ንዑስ (minor) በመልክ M₁₁ ይጻፋል። 
6. የዐባል a₁₁ ታሕታቦች (subscripts) i = 1, j = 1 ናቸው።  እሴት (-1)^i+j = (-1)¹⁺¹ ደግሞ ከዚህ ዐባል ጋር የተጎዳኘ ቆኒካ (coefficient) ይባላል። 
7. ከዐባል a₁₁ ጋረ የተጎዳኘውን ንዑስ (ማለትም M₁₁ ) ከዚሁ ዐባል ጋር ከተጎዳኘው ቆኒካ [ማለትም (-1)¹⁺¹] ጋር በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት የሚገኝ እሴት [ማለትም (-1)¹⁺¹ M₁₁] ደግሞ ከዚሁ ዐባል ጋር የተጎዳኘ ዐብርነታን (cofactor) ነው ይባላል።
8. ነታን (factor) የሚለው ቃል የተገኘው ተነተነ ከሚለው ቃል ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ነተነ (factorize)፣ ንትን (ንቱን) [factorized]፣ ነታኒ (ነታኝ) [factorizer]፣ ንተና (factorization) እያለ ይሄዳል። 
9. ከዐባል a₁₁ ጋር የተጎዳኘው ዐብርነታን (cofactor) በመልክ C₁₁ ይጻፋል። 
10. ከያንዳንዱ የገበቃ ዐባል ጋር የተጎዳኙት ዐበርነታኖች (cofactors) ባንድነት የሚሠሩት ገበቃ (matrix) የዋናው ገበቃ ዐበርነታን ገበቃ (cofactor matrix of the main matrix) ይባላል።
11. የዐበርነታን ገበቃ (coefactor matrix) ቀርበጥ (transpose) ማለትም ዐበርነታን ገበቃን በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ በመገልበጥ (flip) የሚገኝ ገበቃ ደግሞ የዋናው ገበቃ ጋወር (adjoint or adjugate of the main matrix) ይባላል። 
12. ጋወር (adjoint, adjugate) የሚለው ቃል የተገኘው ገወራ ከሚባለው የጎጃም ምድር ሲሆን፣ ትርጉሙ ደግሞ ጎረቤት ማለት ነው።  ግሱም ሲረባ ገወረ (adjoin)፣ ግውር (adjoined)፣ ገዋሪ (adjoining)፣ ግወራ (adjoining) እያለ ይሄዳል።  ገውሬት (adjunct) ማለት ደግሞ የተጨመረ፣ የተደመረ፣ የተቀጠለ እንደ ማለት ነው፣ ገውሬት ነብታሚ (adjunct professor) እንዲሉ በትርፍ ሰዓት ሚድካ (college) የሚያስተምር ሊሉ።  

1. በዐበርነታን ቀመር (cofactor formula) ላይ ንዑስን (minor) የሚበዝረው (multiply) ቆኒካ (coefficient) ያለው እሴት ወንታ ቶኮ (positive one = +1) ወይም ሉንታ ቶኮ (negative one = -1) ነው። 
2. ስለዚህም ዐበርነታን (cofactor) ማለት ሌላ ምንም ማለት ሳይሆን ወንታ ንዑስ (positive minor) ወይም ሉንታ ንዑስ (negative minor) ነው ማለት ነው።   
3. ከማናቸውም የገበቃ ዐባል a_ij ጋር የተጎዳኘው ዐበርነታን (C_ij) ከዐባሉ ጋር ከተጎዳኘው ንዑስ (M_ij) ጋር እኩል (equal) የሚሆነው (ማለትም C_ij = M_ij የሚሆነው)፣ የዐባሉ ታሕታቦች ድምር (sum of subscripts = i + j) ሙሉ ቁጥር (even number) ሲሆን ነው።
4. ከማናቸውም የገበቃ ዐባል a_ij ጋር የተጎዳኘው ዐበርነታን (C_ij) ከዐባሉ ጋር የተጎዳኘውን ንዑስ (M_ij) ሉንታ (negative) የሚሆነው (ማለትም C_ij = -M_ij የሚሆነው) ደግም የዐባሉ ታሕታቦች ድምር (sum of subscripts = i + j) ጎዶሎ ቁጥር (even number) ሲሆን ነው።

የወሳጊ ዐበርነታን ርበባ (Cofactor Expansion of Determinant)

1. በግእዝ ረበበ ማለት አደገ፣ ሰፋ፣ ተለቀ ማለት ነው።  ይህም ቃል የሚለውን expand የንግሊዘኛ ቃል ይተካለናል።  ግሱም ሲረባ ረበበ (expand)፣ ርብብ (ርቡብ) [expanded]፣ ረባቢ (expanding)፣ ርበባ (expansion) እያለ ይሄዳል።
2. ከ 3 በ 3 ወይም ከዚያ በላይ የሆነን ያማናችውንም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ወሳጊ (determinant)፣ የዐበርነታን ርበባ (cofactor expansion) በሚባል የርባባ ቀመር (expansion formula) ማስላት ይቻላል።
3. ያበርነታን ርበባ (cofactor expansion) ለላኛው ስሙ ላፕላስ ርበባ (Laplace expansion) ሲሆን፣ የተሰየመውም በፈረንሳዊው ሒሳበሲነኛ (mathematician) ጴጥሮስ ስምዖን ላፕላስ (Pierre-Simon Laplace) ስም ነው። 
4. ያበርነታን ርበባ (cofactor expansion) ረድፋዊ ርበባ (row expansion) ወይም ዐምዳዊ ርበባ (column expansion) ሊሆን ይችላል። 

የማናችውም ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ወሳጊ (determinant) ዐበርነታናዊ ረድፋዊ ርበባ (cofactor expansion of determinant in rows) የሚገኘው በሚከተለው ደተር (procedure) ማለትም ቅደም ተከተል መሠረት ነው። 

1. ከገበቃው ረድፎች (rows) ውስጥ አንዱን ምረጥ።
2. የዳዶወቹ (zeros) ቁጥር ዥትልቅ (greatest) የሆነውን፣ ማለትም የዳዶወቹ ቁጥር ከሁሉም የበለጠ የሆነውን ረድፍ (row) መምረጥ ርበባውን (expansion) ዥሰታብ (simplest) ማለትም ከሁሉም የበለጠ ሰታብ (simple) ወይም ቀላል ያደርገዋል። 
3. በተመረጠው ረድፍ (choosen row) ውስጥ ከሚገኙት ከያንዳንዳቸው የገበቃው ዐባሎች (elements) አንጻር፣ ገበቃው ያለውን ዐበርነታን (cofactor) አስላ።
4. ከያንዳንዱ የረድፉ ዐባል አንጻር የተሰላውን ዐበርነታን (cofactor) በዚያው በረድፉ ዐባል እሴት (value of the element) በዝረው (multiply) ማለትም አባዛው።
5. የገበቃው ወሳጊ (determinant of the matrix) በተራ ቁጥር (4) ላይ የተገኙት ብዜሮች (products) ድምር (sum) ነው።    

በተመሳሳይ ሁኔታ የማናችውም ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ወሳጊ (determinant) ዐበርነታናዊ ዐምዳዊ ርበባ (cofactor expansion of determinant in columns) የሚገኘው በሚከተለው ደተር (procedure) ማለትም ቅደም ተከተል መሠረት ነው። 

1. ከገበቃው ዐምዶች (columns) ውስጥ አንዱን ምረጥ።
2. የዳዶወቹ (zeros) ቁጥር ዥትልቅ (greatest) የሆነውን፣ ማለትም የዳዶወቹ ቁጥር ከሁሉም የበለጠ የሆነውን ዐምድ (column) መምረጥ ርበባውን (expansion) ዥሰታብ (simplest) ማለትም ከሁሉም የበለጠ ሰታብ (simple) ያደርገዋል። 
3. በተመረጠው ዐምድ (choosen column) ውስጥ ከሚገኙት ከያንዳንዳቸው የገበቃው ዐባሎች (elements) አንጻር፣ ገበቃው ያለውን ዐበርነታን (cofactor) አስላ።
4. ከያንዳንዱ የዐምዱ ዐባል አንጻር የተሰላውን ዐበርነታን (cofactor) በዚያው በዐምዱ ዐባል እሴት (value of the element) በዝረው (multiply) ማለትም አባዛው።
5. የገበቃው ወሳጊ (determinant of the matrix) በተራ ቁጥር (4) ላይ የተገኙት ብዜሮች (products) ማለትም ብዜቶች ድምር (sum) ነው።    

ባጠቃላይ አገላለጽ ደግሞ በማናቸውም ረድፍ (i) ወይም በማናቸውም ዐምድ (j) ላይ የሚደረግ የወሳጊ ዐበርነታን ርበባ (cofactor expansion of determinant) በሚከተለው ባጭሩ ሊጻፍ ይችላል። 

የደያግ ገበቃ ወሳጊ (Determinant)

1. የደያግ ገበቃ (diagonal matrix) አልደያግ ዐባሎች (non-diagonal elements) ሁሉም ዳዶ (zero) ስለሆኑ፣ የወሳጊ ዐብርነታን ርብባን (cofactor expansion of determinant) በመጠቀም የደያግ ገበቃን ወሳጊ (determinant) ማስላት በጣም ቀላል ይሆናል። 
2. የማናቸውም ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ወሳጊ (determinant) የገበቃውን ደያግ ዐባሎች (diagonal elements) ሁሉንም በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ይገኛል።   

የወሳጊ ጠባዮች  (Properties of Determinant)

የገበቃ ውሳጊ ጠባዮች በሚከተለው ሰንጠርዥ ላይ ተዘርዝረዋል። 

1. የገመና ገበቃ (identity matrix) ወሳጊ (determinant) ቶኮ (one = 1) ነው።
2. የሁለት ገበቃወች ብዜር ውሳጊ (the determinant of the product of two matrices) የገበቃወቹ ውሳጊወች ብዜር (the product of the deteminants of the matrices) ነው።
3. የገበቃ ቅርበጣ (transposing a matrix) የገበቃውን ውሳጊ (determinant) አይለውጠውም።
4. ገበቃን በሐዝተን (scalar) k መበዘር (multiply) ማለትም ማባዛት የገበቃውን ውሳጊ (determinant) በሐዝተን k² ይበዝረዋል።
5. የገበቃን ረድፎች ቦታቸውን ማቀያየር፣ ወይም ዐምዶች ቦታቸውን ማቀያየር የገበቃውን ወሳጊ (determinant) ምልክት (sign) ይቀይረዋል፣ ማለትም ወንታ (positive) ከሆነ ሉንታ (negative)፣ ሉንታ ከሆነ ደግሞ ወንታ ያደርገዋል። 
6. የገበቃ አንዱ ረድፍ (ዐምድ) ሌላኛውን ረድፍ (ዐምድ) በሐዝተን (scalar) k በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት የተገኘ ከሆነ፣ የገበቃው ውሳጊ (determinant) ዳዶ (zero = 0) ይሆናል።  በተለይም ደግሞ  k=1 ከሆነ፣ ማለትም የገበቃ አንዱ ረድፍ (ዐምድ) ከሌላኛው ረድፍ ጋር ያውቴ (same) ከሆነ፣ የገበቃው ወሳጊ (determinant) ዳዶ (zero = 0) ።   
7. የገበቃን አንዱን ረድፍ (one column) ብቻ በሐዝተን (scalar) መበዘር (multiply) የገበቃውን ወሳጊ (determinant) በዚያው ሐዝተን (scalar) ይበዝረዋል። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com