ቄጠማ ሆስሌት (Linear Algebra) ከፍል 2፤ የገበቃወች ብዘራ (Part 2: Matrix Multiplication)

ማሳሰቢያ

ይህ ጦማር (ማለትም ክፍል 2) ሙሉ በሙሉ የተመሠረተው ገበቃወችና የገበቃወች ድመራ (Matrices & Matrix Additions) በሚለው በከፍል 1 ላይ ስለሆነ፣ ይህን ክፍል ከማንበብወ በፊት ክፍልን አንድ ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ብዘራ (Multiplication)

አበዛ እና ደመረ ከሚሉት ቃሎች ብዘራ (multiplication) የሚለው ቃል እናገኛለን ፣ ማባዛት ማለት በተከታታይ መደመር ማለት ነውና።
ብዘራ የሚለው ቃል የተፈጠረው አባዛ የሚለው ቃል ግሱን ለማርባት የሚያስቸግር ከመሆኑም በላይ፣ ብዙ አደረገ የሚል ተጨማሪ ትርጉም ስላለውና ሊያደናግር ስለሚችል ነው።
በዘረ (multiply) የሚለው ግስ ሲረባ በዘረ (multiply)፣ ብዝር (ብዙር) [multiplied]፣ በዛሪ (multiplier)፣ ብዘራ (multiplication)፣ ብዝረት፣ ብዛሬ፣ ብዛሮሽ እያለ ይሄዳል።
በማናቸውም ብዘራ (multiplier) ላይ የሚበዝረው ክፍል በዛሪ (multiplier) ሲባል የሚበዘረው ክፍል ደግሞ ተበዛሪ (multiplicand) ይባላል።
በዛሪ (multiplier) እና ተበዛሪ (multiplicand) ሁለቱም የብዘራ ነታኖች (multiplication factors) ወይም ባጭሩ ነታኖች (factors) ይባላሉ። ነታን (factor) የሚለው ቃል የተገኘው ተነተነ ከሚለው ቃል ነው።
የብዘራ (multiplication) ውጤት ማለትም በመበዘር የሚገኝ እሴት ብዛር (ብዜር) ወይም ብዛሬት ወይም ብዜት (product, multiple) ይባላል።
ስለ ብዘራ (multiplication የበለጠ ለመረዳት የሆስሌት መሠረታዊ ሁጀማወች (The Fundamental Operations of Algebra) የሚለውን ጦማር ይመልከቱ።

ሃዝተን (Scalar) እና ፍላስተን (Vector)

አሐዝ (ማለትም ቁጥር) ከሚለው የግእዝ ቃል ሐዝተን (scalar) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ፍላጻ (ማለትም ቀስት) ከሚለው ያማረኛና የግእዝ ቃል ደግሞ ፍላስተን (vector) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
በጉሲን (physics) እና በሒሳብሲን (mathematics) ውስጥ ሐዝተን (scalar) ማለት መጠን (amount) ብቻ ያለው አቅጣጫ (direction) ግን የሌለው ሙቀትን (temperature) የመሰለ ነገር ማለት ነው። በሌላ አባባል ሐዝተን ማለት በቁጥር ብቻ የሚገለጽ ነገር ማለት ነው። ስለዚህም ሐዝተን ስንል አንድ የተወሰነ ቁጥር ማለታችን ነው።
በሌላ በኩል ደግሞ ፍላስተን (vector) ማለት መጠንም (amount) አቅጣጫም (direction) ያለው ፍልሰትን (displacement) የመሰለ ነገር ማለት ነው።
ስለ ሐዘተን (scalar) እና ፍላስተን (vector) ወደፊት በሌሎች ጦማሮች ላይ በሰፊው እናወሳለን። ላሁኑ ግን ቃሎቹን ብቻ ማወቅ በቂ ነው።

scalar = ሐዝተን
vector = ፍላስተን

የገበቃ ሐዝትን ብዘራ (Scalar Multiplication of a Matrix)

ገበቃወችን (matrices) በተመለከተ የገበቃ ብዘራ በሐዝተን (scalar multiplication of a matrix) ወይም ባጭሩ ሐዝተን ብዘራ (scalar multiplication) ማለት ገበቃን (matrix) በወናብ ቁጥር (real number) መበዘር (multiply) ማለትም ማባዛት ማለት ነው።
አንድ ኤም በ ኤን ገበቃ (m by n matrix) በሐዝተን (scalar) ማለትም በተወሰነ ወናብ ቁጥር (real number) ሲበዘር (multiplied) የሚገኘው ሌላ ኤም በ ኤን ገበቃ (another m by n matrix) ነው። በሌላ አባባል የገበቃ ሐዘተን ብዘራ (scalar multiplication of a matrix) የተበዛሪውን ገበቃ ሚሃ (dimension) አይለውጠውም።
የሐዝተን ብዘራው (matrix multiplication) ውጤት የሆነው ብዜር ገበቃ (product matrix) እያንዳንዳቸውን የተበዛሪውን ገበቃ ዐባሎች (every member of the multiplied matrix) በሐዝተኑ በመበዘር (multiply) የሚገኝ ገበቃ (matrix) ነው ተብሎ እንደሚከተለው ይበየናል (defined)።

የሐዝትን ብዘራ ጠባዮች (Properties)

ገበቃወች (matrices) A እና B እኩል ሚሃ (equal dimension) ያላቸው ኤም በ ኤን ገበቃወች (m by n matrices) ከሆኑ እና k₁ እና k₂ ደግሞ ሐዝተኖች (scalars) ማለትም ወናብ ቁጥሮች (real numbers) ከሆኑ

1.A = A የሐዝተን ብዘራ ገመና ጠባይ (identity property of scalar multiplication)
(k₁k₂)A = (k₁)(k₂A) የሐዝተን ብዘራ አስጓዳኝ ጠባይ (associative property of scalar multiplication)
(k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A የሐዝተን ብዘራ አስከፋፋይ ጠባይ (distributive property of scalar multiplication)

የረድፍ ገበቃና የዐምድ ገበቃ ብዘራ

ገበቃ (matrix) A አንድ ረድፍ (1 row) እና n ዐምዶች (n columns) ያሉት አንድ በ ኤን ( 1 by n) ረድፍ ገበቃ (row matrix) ወይም ረድፍ ፍላስተን (row vector) ከሆነ፣
ገበቃ (matrix) B ደግሞ n ረድፎች (n rows) እና አንድ ዐምድ (1 column) ያሉት ኤን በ አንድ ( n by 1) ዐምድ ገበቃ (row matrix) ወይም ዐምድ ፍላስተን (row vector) ከሆነ፣
የብዘራ AB ውጤት አንድ የተወሰነ ቁጥር ሲሆን፣ የብዘራ BA ውጤት ደግሞ n²ዐባሎቹ (n² elements) ኤን በ ኤን ገበቃ (n by n matrix) ነው።
የብዘራ AB እና BA ውጤቶች በሚከተለው መንገድ ይበየናሉ (defined)።

መያጊ ገበቃወች (Conformable Matrices)

የገበቃወች ብዘራ (multiplication of matrices) አላስነዋኝ (noncommutative) ነው፣ ማለትም አስነዋኝ አይደለም (is not commutiative)። ይህ ማለት ደግሞ በገበቃወች ብዘራ (multiplication of matrices) ላይ የብዘራው ሰደር (order of multiplication) ወይም ተርታ ውሳኝ ነው ማለት ነው።
ሁለት ገበቃወች (two matrices) A እና B በተርታ AB ሊበዘሩ (multiplied) የሚችሉት፣ የ A ዐምዶች ቁጥር (number of columns) ከ B ረድፎች ቁጥር (number of rows) ጋር እኩል (equal) ከሆኑ ብቻ ነው። ይህን መስፈርት በማሟላት ሊበዘሩ (multiplied) የሚችሉ ማለትም ብዘራቸው የሚፈቀድ (allowed) ገበቃወች (matrices) ደግሞ ለብዘራ መያጊ ናቸው (conformable for multiplication) ይባላሉ።
መየገ (conform) ማለት ተስማማ፣ ተመሳሰለ እንደ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ማየቲስ (መስማማት) ከሚለው የወላይትኛ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ መየገ (conform)፣ ምይግ (ምዩግ) [conformed]፣ መያጊ (conforming, conformable)፣ ምየጋ (conforming)፣ ምይገት፣ ምያጌ፣ ምያጎሽ እያለ ይሄዳል።

የገበቃወች ብዘራ (Multiplication of Matrices)

ገበቃወች (matrices) A እና B ለገበቃ ብዘራ (matrix product) AB መያጊወች (conformable) ከሆኑ፣ ማለትም የገበቃ A ዐምዶች ቁጥር (number of columns) ከገበቃ B ረድፎች ቁጥር (number of rows) ጋር እኩል ከሆነ፣ የገበቃ AB = C እሴት በሚከተለው ቀመር ይበየናል (defined)።

ደያግ (Diagonal) እና ድየጋ (Diagonalization)

ወዲያ እና ጎን ከሚሉት ቃሎች ደያግ (diagonal) የሚለውን ቃል እናገኛለን።
ደያግ (diagonal) ማለት ሰያፍ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደየገ (diagonalize)፣ ድይግ (ድዩግ) [diagonalized]፣ ደያጊ (diagonalizing)፣ ድየጋ (diagonalization)፣ ድይገት፣ ድያጌ፣ ድያጎሽ እያለ ይሄዳል።
ደየገ (diagonalize) ማለት ደያግ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ድይግ (ድዩግ) [diagonalized] ማለት ደግሞ የተደየገ ማለት ነው።

diagonal = ደያግ
diagonal matrix = ደያግ ገበቃ
diagonalize = ደየገ
diagonalized = ድይግ (ድዩግ)
diagonalization = ድየጋ
diagonalizable (diagonalizability) = ተደያጊ፣ ተደያጊነት

የገበቃ ደያጎች (Diagonals of a Matrix)

ማናቸውም ገበቃ (matrix) ሁለት ደያጎች (two diagonals) አሉት።
ከግራ ራስጌ (top left) ወደ ቀኝ ግርጌ (bottom right) የሚሄደው የገበቃ ደያግ (diagonal of a matrix) ዐብይ ደያግ (main diagonal, major diagonal) ወይም ቀዳማይ ደያግ (primary diagonal) ይባላል።
ከቀኝ ራስጌ (top right) ወደ ግራ ግርጌ (bottom left) የሚሄደው የገበቃ ደያግ (diagonal of a matrix) ደግሞ ንዑስ ደያግ (minor diagonal) ወይም ካልዓይ ደያግ (secondary diagonal) ይባላል።

ደያግ ገበቃ (Diagonal Matrix)

ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ማለት አልዳዶ (nonzero) የሆኑት ዐባሎቹ (elements) ሊገኙ የሚችሉት ዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ ብቻ የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው።
ስለዚህም ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) በመጀመርያ ደረጃ የረድፎቹ ቁጥር (number of rows) እና የዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) እኩል የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው።
በሁለተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የማይገኙት ዐባሎቹ (elements) ሁሉም ዳዶ (zero) ናቸው።
በሦስተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የሚገኙት ዐባሎቹ ዳዶ (zero) ሊሆኑም ላይሆኑም ይችላሉ።

ገመና ገበቃ (Identity Matrix)

ገመና ገበቃ (identity matrix) ማለት የዐብይ ደያግ ዐባሎቹ (elements of main diagonal) ሁሉም ቶኮ (one = 1) የሆኑ ደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ማለት ነው።
ስለዚህም ገመና ገበቃ (identity matrix) በመጀመርያ ደረጃ የረድፎቹ ቁጥር (number of rows) እና የዐምዶቹ ቁጥር (number of columns) እኩል የሆነ ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው።
በሁለተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የማይገኙት ዐባሎቹ (elements) ሁሉም ዳዶ (zero) ናቸው።
በሦስተኛ ደረጃ ደግሞ በዐብይ ደያጉ (main diagonal) ላይ የሚገኙት ዐባሎቹ ሁሉም ቶኮ (one = 1) ናቸው።
የገመና ገበቃ (identity matrix) ሌላኛው ስሙ ቶካድ ገበቃ (unit matrix) ነው።

የገበቃ ብዘራ ጠባዮች

ገበቃወች (matrices) A, B እና C ከዚህ በታች ለተመለከቱት የገበቃ ድመራወች (matrix additions) እና የገበቃ ብዘራወች (matrix multiplications) መያጊ (conformable) ከሆኑ እና k ደግሞ ሐዘተን (scalar) ከሆነ ማለትም ወናብ ቁጥር (real number) ከሆነ፣

A(BC) = (AB)C [የገበቃ ብዘራ አስጓዳኝ ጠባይ (associative property of matrix multiplication)]
k(AB) = (kA)B = A(kB) [ሐዝተን ብዘራ (scalar multiplication)]
A(B + C) = AB + AC [የገበቃ ብዘራ የግራ አስከፋፋይ ጠባይ (left distributive property of matrix multiplication)]
(A + B)C = AC + BC [የገበቃ ብዘራ የቀኝ አስከፋፋይ ጠባይ (right distributive property of matrix multiplication)]
ገበቃ (matrix) A ኤም በ ኤን (m by n) ገበቃ ከሆነ እና I ገመና ገበቃ (identity matrix) ከሆነ፣ AI_n = I_mA = A [ብዘራ በገመና ገበቃ (multiplication by identity matrix)]
ገበቃ (matrix) A ኤም በ ኤን (m by n) ገበቃ ከሆነ እና O ዳዶ ገበቃ (zero matrix) ከሆነ፣ AO_n = O_mA = A [ብዘራ በዳዶ ገበቃ (multiplication by zero matrix)]

ቀርበጥ (Transpose) እና ቅርበጣ (Transposition)

ባማረኛ ቀረበጠ ማለት ከንዱ ስፍራ ወደ ሌላ ስፍራ አዛውሮ አስቀመጠ ማለት ነው። ይህም ቃል የሚለውን transpose የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል። ግሱም ሲረባ ቀረበጠ (transpose)፣ ቅርብጥ (transposed)፣ ቀርባጢ (ቀርባጭ) [transposing]፣ ቅርበጣ (transposing, transposition) እያለ ይሄዳለ።
ቀረበጠ (transpose) ማለት አዛወረ እንደማለት ሲሆን፣ ቅርብጥ (transposed) ማለት ደግሞ የተቀረበጠ ማለት ነው።

transpose = ቀርበጥ
transpose (verb) = ቀረበጠ
transposing (transposition) = ቅርበጣ

የገበቃ ቀርበጥ (Transpose of a Matrix)

ገበቃ (matrix) A ኤም በ ኤን ገበቃ (m by n matrix) ነው እንበል፣
የገበቃ A ቀርበጥ (transpose of A) ማለት የገበቃን A ረድፎች (rows) ተርታቸውን በጠበቀ ሁኔታ ወደ ዐምዶች (columns) በመለወጥ የሚገኝ ኤን በ ኤም ገበቃ (n by m matrix) ነው ተብሎ ይበየናል (defined)።
የገበቃ A ቀርበጥ (transpose of A) በወመል (symbol) ማለትም በወካይ ምልከት A^T ይወመላል (symbolized)።

የገበቃ ቀርበጥ ጠባዮች

ገበቃወች (matrices) A እና B ለገበቃ ድመራ (matrix addition) መያጊ (conformable) ከሆኑ፣ ማለትም እኩል ሚሃ (equal dimension) ካላቸው እና k ደግሞ ሐዘተን (scalar) ከሆነ ማለትም ወናብ ቁጥር (real number) ከሆነ፣

(kA)^T = k(A^T) [ሐዝተን ብዜር (scalar product)]
(A^T)^T = A [የቀርበጥ ቀርበጥ (transpose of transpose)]
(A + B)^T = A^T + B^T [የድምር ቀርበጥ (transpose of sum)]
(AB)^T = B^TA^T [የብዜር ቀርበጥ (transpose of product)]
(A^k)^T = (A^T)^k [የርቢ ቀርበጥ (transpose of power)]

የርቢ ቀርበጥ (transpose of power) የሚለው አምስተኛው ጠባይ የሚያገለግለው ለካልቶና ገበቃወች (square matrices) ብቻ ሲሆን፣ የገበቃወች ርቢ (power of matrices) በሚለው ክፍል ላይ እንመለከተዋለን።

ክምክም ገበቃ (Symmetric Matrix)

ካብይ ደያጉ (main diagonal) በታችና በላይ ያሉት ሁሉም ዐባሉቹ ባደራደርና እና በእሴት ያውቴ (same) ማለትም አንድ ዓይነት የሆኑበት ካልቶና ገበቃ (square matrix) ክምክም ገበቃ (symmetric matrix) ይባላል።
በሌላ አባባል ክምክም ገበቃ (symmetric matrix) ማለት ዐባሉቹ ካብይ ደያግ (main diagonal) አንጻር መስታዋታዊ ነጸብራቅ (mirror reflections) የሆኑበት ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው።
አሁንም በሌላ አባባል ክምክም ገበቃ (symmetric matrix) ማለት ሁሉም ረድፎቹ (rows) ዐምዶች (columns) ቢደረጉ፣ ሁሉም ዐምዶቹ (columns) ደግሞ ረድፎች (rows) ቢደረጉ የማይለወጥ፣ ስለዚህም የገዛራሱ ቀርበጥ (transpose of itself) የሆን ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው።
ባጠቃላይ አነጋገር ደግሞ ክምክም ገበቃ (symmetric matrix) A ማለት የገበቃው ዐባል a_ji ከዐባል a_ij ጋር እኩል የሆነበት፣ ማለትም a_ji = a_ij የሆነበት ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው።

ሽውር ክምክም ገበቃ (Skew Symmetric Matrix)

ክምክም ገበቃ (symmetric matrix) A ማለት የገበቃው ዐባል a_ji ከዐባል a_ij ጋር እኩል የሆነበት፣ ማለትም a_ji = a_ij የሆነበት ካልቶና ገበቃ (square matrix) ማለት ነው ብለናል።
በሌላ በኩል ደግሞ ዐባል a_ji የዐባል a_ij ሉንታ (negative) የሆነበት፣ ማለትም a_ji = – a_ij የሆነበት ካልቶና ገበቃ (square matrix) ሽውር ክምክም (skew symmetric) ይባላል።
ሽወር (skew) የሚለው ቃል የተገኘው ሸውራራ ከሚለው ቃል ነው።

የካልቶና ገበቃ ርቢ (Power Square Matrix)

አንድን ገበቃ (matrix) ራሱን በራሱ መበዘር (multiply a matrix by itself) ማለትም ማባዛት የሚቻለው ገበቃው ካልቶና ገበቃ (square matrix) ከሆነ ብቻ ነው፣ አለያ ውስጣዊ ሚሃወች እኩል መሆን አለባቸው (inner dimensions must be equal) የሚለውን የገበቃ ብዘራ መስፈርት (criterion for matrix multiplication) ሊያሟላ አይችልምና።
ስለዚህም የገበቃ ርቢ (power of matrix) ማለትም ገበቃን ራሱን በራሱ መበዘር ትርጉም የሚኖረው ለካልቶና ገበቃ (square matrix) ብቻ ነው ማለት ነው።
ገበቃ (matrix) A ኤን በ ኤን ካልቶና ገበቃ (n by n square matrix) ከሆነ፣ የዚህን ገበቃ ድፍን ቁጥር (whole) ርቢወች ( powers) በሚከተለው ተከታታይ መንገድ መበየን (defined) ይቻላል።

የገበቃ ርቢ ጠባዮች

የካልቶና የገበቃ ርቢ (power of square matrix) የሚከተሉት ጠባዮች (properties) አሉት።

የደያግ ገበቃ ርቢ (Power Diagonal Matrix)

ቁጥር k ድፍን ቁጥር (whole number) ነው (ማለትም k = 0, 1, 2, 3, … ነው ) እንበል፣
ገበቃ (matrix) A ደግሞ ኤን በ ኤን ደያግ ገበቃ (n by n diagonal matrix) ስለሆነም ካልቶና ገበቃ (square matrix) ነው እንበል፣
የገበቃ A በድፍን ቁጥር k ረቢ (power) በሚከተለው ቀመር ይሰጣል።

የደያግ ገበቃወች ብዘራ

ደያግ ገበቃወች (diagonal matrices) የረድፍና የዐምድ ቁጥሮቻቸው እኩል የሆኑ ካልቶና ገበቃወች (square matrices) ስለሆኑ፣ ሚሃወቻቸው (dimensions) እኩል እስከሆኑ ድረስ ለብዜር መያጊ (conformable for multiplication) ናቸው፣ ማለትም ሊበዘሩ (multiplied) ይችላሉ።
የደያግ ገበቃወች ብዘራ (multiplication of diagonal matrices) ሁልጊዘም አስነዋኝ (commutative) ነው፣ ማለትም በደያግ ገበቃወች ብዘራ ላይ የብዘራው ቅደም ተከተል ለውጥ አያመጣም።
ደያገ ገበቃወችን መበዘር (multiply) ማለት በዐብይ ደያጎቻቸው (main diagonals) ላይ የሚገኙትን ወልታቢ ዐባሎቻቸውን መበዘር (multiplying corresponding elements) ማለት የሆነ በጣም ቀላል ብዘራ (multiplication) ነው።

ሎግ (Scale) እና ልወጋ (Scaling)

ሎግ (scale) ማለት መመዘኛ፣ ማነጻጸርያ፣ ማወዳደርያ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ደግሞ ሎገ (ለካ፣ ሰፈረ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው።
የሎግ (scale) ግስ ሲረባ ለወገ (to scale)፣ ልውግ (scaled)፣ ለዋጊ (scaling)፣ ልወጋ (scaling)፣ ልውገት፣ ልዋጌ፣ ልዋጎሽ እያለ ይሄዳል።

scale = ሎግ
scale (verb) = ለወገ
logarithmic scale = ኮፍሲካ ሎግ
Richter scale = ሪክተር ሎግ
PH scale = ፒኤች ሎግ

የአልደያግ ገበቃ በደያግ ገበቃ ብዘራ

የሁለት ደያግ ገበቃወች (diagonal matrices) ብዘራ (multiplication) አስነዋኝ (commutative) ቢሆንም፣ የአልደያግ ገበቃ (nondiagonal matrix) በደያግ ገበቃ (diagonal matrix) ብዘራ ግን አስነዋኝ አይደለም፣ ማለትም አላስነዋኝ (noncommutative) ነው።
አልደያግ ገበቃ (nondiagonal matrix) A በደያግ ገበቃ (digonal matrix) D ከግራ በኩል ሲበዘር (multiplied from the left)፣ የA አንደኛ ረድፍ (first row) ሁሉም ዐባሎች (elements) በD አንደኛ አባል (first element) ይበዘራሉ (multiplied)፣ የA ሁለተኛ ረድፍ (second row) ሁሉም ዐባሎች (elements) በD ሁለተኛ አባል (second element) ይበዘራሉ፣ የA ሦስተኛ ረድፍ (third row) ሁሉም ዐባሎች በD ሶስተኛ አባል (third element) ይበዘራሉ ወዘተ. በዚህም ምክኒያት ይህ ብዘራ ረድፍ ልወጋ (row scaling) ይባላል።
በሌላ በኩል ደግሞ አልደያግ ገበቃ (nondiagonal matrix) A በደያግ ገበቃ (digonal matrix) D ከቀኝ በኩል ሲበዘር (multiplied from the right)፣ የA አንደኛ ዐምድ (first column) ሁሉም ዐባሎች (elements) በD አንደኛ አባል (first element) ይበዘራሉ (multiplied)፣ የA ሁለተኛ ዐምድ (second column) ሁሉም ዐባሎች (elements) በD ሁለተኛ አባል (second element) ይበዘራሉ፣ የA ሦስተኛ ዐምድ (third column) ሁሉም ዐባሎች በD ሶስተኛ አባል (third element) ይበዘራሉ ወዘተ. በዚህም ምክኒያት ይህ ብዘራ ዐምድ ልወጋ (column scaling) ይባላል።

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com