ተርቲብ እና ተርምር (Sequence & Series)

ማሳሰቢያ

በዚህ ጦማር ላይ የምንጠቀምባቸው ያንዳንድ ቃሎች ትርጉሞች የሚገኙት አሃሲን እና ሆስሌት (Arithmetic & Algebra)  በሚለው ጦማር ላይ ስለሆነ፣ ይህን ጦማር ከማንበብወ በፊት ጦማሩን ቢያንስ ቢያንስ በገረፍታ ይመልከቱ።

ግንገና (Theory)፣ ገንጊሳ (Theorem) እና ነግረብ (Statement)

ባማረኛ ገነገነ ማለት ታዘበ፣ ጠረጠረ፣ መረመረ ማለት ነው።  ከዚህም  ግንገና (theory) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ገነገነ (theorize)፣ ግንግን (ግንጉን) [theorized]፣ ገንጋኒ (ገንጋኝ) [theorizer, theorist]፣ ግንገና፣ ግንግነት፣ ግንጋኔ (theorization)፣ ግንጋኖሽ እያለ ይሄዳል።  ከዚህም የሚከተሉትን የመሳሳሉ ቃሎች እናገኛለን። 

theory = ግንገና
theorize = ገነገነ
theorization = ግንጋኔ
theoretical = ግንገናዊ
theoretical physics = ግንገናዊ ጉሲን
theorem = ገንጊሳ
binomial theorem = ክሌሚያል ገንጊሳ
Pythagorean theorem = ካልቶና ገንጊሳ

ግንገና (theory) ማለት ተፈጥሯዊ ክስተትን ለመግለጽ የቀረበ፣ በመረጃ የተደገፈ ሐተታ ማለት ሲሆን፣ ገንጊሳ (theorem) ማለት ደግሞ ትክክለኛነቱ የተረጋገጠ ሒሳብሲናዊ ነግረብ(mathematical statement) ማለት ነው።  ነግረብ (statement, sentence) ማለት ዐረፍተ ነገር ምንለው ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ነገር እና ነጥብ ከሚሉት ነው።  ግሱም ሲረባ ነገረበ (to sentence)፣ ንግርብ (ንግሩብ) [sentenced]፣ ነግራቢ (sentencing)፣ ንግረባ (sentencing)፣ ንግርበት፣ ንግራቤ፣ ንግራቦሽ እያለ ይሄዳል።

sentence (statement) = ነግረብ
sentence (statement) [verb] = ነገረበ
mathematical statement = ሒሳብሲናዊ ነግረብ

ድሻር (Quotient)፣ ርሻር (Ratio) እና ወደር (Proportion)

አሃሲን እና ሆስሌት በሚለው ጦማር ላይ በሰፊው እንደተብራራው፣ ድርሻ ከሚለው ቃል ድሸራ (division) የሚለውን ቃል እናገኛለን።   ደሸራ (division) ማለት ማካፈል የምንለው ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደሸረ (divide)፣ ድሽር (ድሹር) [divided]፣ ደሻሪ (divider)፣ ድሸራ (division)፣ ድሽረት፣ ድሻሬ፣ ድሻሮሽ እያለ ይሄዳል። የድሸራ (division) ውጤት ማለትም በመደሸር የሚገኝ እሴት ድሻር (quotient) ይባላል።

ሬሽዮ (ratio) ከሚለው የንግሊዘኛ ቃል በመነሳትና ድሻር (quotient) የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ርሻር (ratio) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ገሱም ሲረባ ረሸረ፣ ርሽር (ርሹር)፣ ረሻሪ ፣ርሸራ ፣ርሻሬ፣ ረሻሮሽ እያለ ሲሄድ የንግሊዘኛ አቻ የለውም።  ረሸረ ማለት ርሻር አሰላ ወይም በርሻር አነጻጸረ ማለት ሲሆን፣ ርሽር (ርሹር) ማለት ደግሞ የተረሸረ ማለት ነው።

ድሻር (quotient) እና ርሻር (ratio) ሁለቱም በድሸራ (division) ላይ የተመሠረቱ ቃሎች ቢሆኑም፣ ትርጉማቸው ግን በመጠኑ ይለያያል።  ድሻር (quotient) ማለት በድሸራ (division) የሚገኘው እሴት (value) ማለትም የድሸራ ውጤት(result of division) ማለት ሲሆን፣ ርሻር (quotient) ማለት ግን የሁለት እሴቶች ንጽጽር (comparison) እንደማለት ነው።

ባማረኛ ወደር ማለት አቻ፣ እኩያ፣ ቢጤ ማለት ነው፣ ወደር የለውም እንዲሉ።  ይህም ቃል proportion የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ወደረ (proportionate)፣ ውድር (ውዱር) [proportionated]፣ ወዳሪ (proportionating)፣ ውደራ (proportionation)፣ /ውድረት\፣ ውዳሬ፣ ውዳሮሽ እያለ ይሄዳል።  ወደረ (proportionate) ማለት ወደራዊ (proportional) አደረገ ማለት ሲሆን፣ ውድር (ውዱር) [proportionated] ማለት ደግሞ የተወደረ፣ ማለትም ወደራዊ (proportional)፣ የተደረገ ማለት ነው። ወደር (proportion) እና ወደራዊነት (proportionality) የኬፕለር የፈለክ ሑሰት ሕጎች በሚለው ጦማር ላይ በሰፊው ተወስተዋል። 

quotient – ድሻር
ratio – ርሻር
proportion – ወደር፣ ውድረት
ratio and proportion = ርሻርና ወደር
proportional – ወደራዊ፣ ወደረኛ
proportionality – ወደራዊነት፣ ወደረኛነት
proportionality constant – ወደር ቋሚ
direct proportion (direct proportionality) – ቀጥተኛ ውድረት
directly proportional  – ቀጥተኛ ወደረኛ
inverse proportion (inverse proportionality) – ግልብጥ ውድረት
inversely proportional – ግልብጥ ወደረኛ

ፍየሳ (Progression)

ፈየሱ (ማለትም ማሻሻል) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ፈየሰ (progress) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ፈየሰ (progress) ማለት ተራመደ፣ ወደፊት ገፋ፣ አደገ፣ ተሻሻለ እንደ ማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ፈየሰ (progress)፣ ፍይስ (ፍዩስ) [progressed]፣ ፈያሲ (ፈያሽ) [progressing, progressive]፣ ፍየሳ (progression)፣ ፍይሰት፣ ፍያሴ፣ ፍያሶሽ እያለ ይሄዳል።  ከዚህም አሃሲናዊ ፍየሳ (arithmetic progression)፣ ቂሳሲናዊ ፍየሳ (geometric progression) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን።  ቂሳሲን (geometry) የሚለው ቃል የተገኘው ቅየሳ ማለትም መቀየስ ከሚለው ቃል እና ሲን (logy) ከሚለው ኋልጡፍ (suffix) ነው። 

progress = ፈየሰ
progression = ፍየሳ
arithmetic progression =  አሃሲናዊ ፍየሳ
geometric progression = ቂሳሲናዊ ፍየሳ

ወዳኢ (Finite)፣ ኢወዳኢ (Infinite) እና ድካት (Limit)

ወዳኢ (finite) ማለት ማለቂያ ያለው፣ የሚፈጻም፣ የሚጨረስ ማለት ሲሆን ቃሉ የተገኘው ደግሞ ወድአ (ፈጸመ፣ ጨረሰ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።  በትግረኛም ተወዲኡ ሲሉ፣ አለቀ፣ አልቋል ማለታቸው ነው።  የወዳኢ (finite) ተቃራኒ ኢወዳኢ (infinite) ወይም አልወዳኢ  ይባላል።  ኢወዳኢ (infinite) ማለት ማለቂያ የሌለው፣ የማይፈጻም፣ የማይጨረስ ማለት ነው።

ባማረኛ ድካ ማለት ወሰን ወይም ድንበር ማለት ነው፣ ድካ የለውም እንዲሉ ወሰን የለውም ሊሉ።  ከዚህም ድካት (limit, limitation) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ድካት (limit) ማለት የመጨረሻ እሴት እንደማለት ሲሆን፣ ግሱም ሲረባ ደከተ (to limit)፣ ድክት (ድኩት) [limited]፣ ደካቲ (ዳካች) (limiting)፣ ድከታ (limiting) እያለ ይሄዳል።  ደከተ (to limit) ማለት ድካት (limit, limitation) ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ድክት (limited) ማለት ደግሞ የተደከተ ማለት ድካት እንዲኖረው የተደረገ ማለት ነው። 

finite = ወዳኢ
infinite = ኢወዳኢ፣ አልወዳኢ
limit = ድካት
limit (verb) = ደከተ

ሽከፋ (Convergence) እና ርጨፋ (Divergence)

ሸከፈ (ሰበሰበ) የሚለው ያማረኛ ቃል የሚለውን converge የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ሸከፈ (converge)፣ ሽክፍ (ሽኩፍ) [converged]፣ ሸካፊ (converging, convergent)፣ ሽከፋ (convergence)፣ ሽክፈት፣ ሽካፌ፣ ሽካፎሽ እያለ ይሄዳለ።  ሸከፈ (converge) ማለት ወደ አንድ እሴት (value) ወይም ነጥብ (point) አመራ እንደማለት ሲሆን፣ ሸካፊ (converging, convergent) ማለት ደግሞ የሚሸክፍ ማለት ነው።   ከዚህም ሸካፊ ጨረር (converging ray)፣ ሸካፊ መስታወት (converging mirror)፣ ሸካፊ ምስሮ (converging lens) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።  ምስሮ (lens) የሚለው ቃል የተገኘው ምስር (lentil) ከሚለው ቃል ነው። 

ረጨ ከሚለው ቃል በመነሳትና ሸከፈ (converge) የሚለውን ቃል አካሄድ በመከተል ረጨፈ (diverge) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  ግሱም ሲረባ ረጨፈ (diverged)፣ ርጭፍ (ርጩፍ) [diverged]፣ ረጫፊ (diverging, divergent)፣ ርጨፋ (divergence)፣ ርጭፈት፣ ርጫፌ፣ ርጫፎሽ እያለ ይሄዳል። ረጨፈ (diverge) ማለት ካንድ እሴት (value) ወይም ነጥብ (point) በመነሳት በያቅጣጫው ተረጨ ወይም ተበታተነ ማለት ነው። በሌላ አባባል ርጨፋ (divergence) የሽከፋ (convergence) ተቃራኒ ነው። ከዚህም ረጫፊ ጨረር (diverging ray)፣ ረጫፊ መስታወት (diverging mirror)፣ ረጫፊ ምስሮ (diverging lens) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን። 

converge – ሸከፈ
converging (convergent)– ሸካፊ
convergence – ሽከፋ
diverge – ረጨፈ
diverging (divergent) – ረጫፊ
divergence – ርጨፋ

ተርቲብ (Sequence) እና ተርምር (Series)

በኦሮምኛ ተርቲባ ማለት ተራ፣ ቅደም ተከተል ማለት ሲሆን፣ ባማረኛም ተርቲበኛ ማለት የቡና ማፍላት ተረኛ ማለት ነው።  ከዚህም ተርቲብ (sequence) የሚለውን ቃል እናገኛለን። ተራ እና ድምር ከሚሉት ቃሎች ደግሞ ተርምር (series, serial) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 

የተርቲብ (sequence) ግስ ሲረባ ተረተብ (to sequence)፣ ትርትብ (ትርቱብ) [sequenced]፣ ተርታቢ (sequencer)፣ ትርተባ (sequencing) እያለ ይሄዳል።  የተርምር (series, serial) ግስ ደግሞ ሲረባ ተረመረ (serialize)፣ ትርምር (ትርሙር) [serialized]፣ ተርማሪ (serializing)፣ ትርመራ (serialization) እያለ ይሄዳል። 

sequence = ተርቲብ
sequence (verb) = ተረተበ
sequencing = ትርተባ
gene sequencing = ቴሳ ትርተባ
series (serial) = ተርምር
serialize = ተረመረ
serialization = ትርመራ
serial number = ተርምር ቁጥር (ተቁ)

በሒሳብሲናዊ (mathematical) ትርጉሙ ተርቲብ (sequence) ማለት የተወሰነ ደንብን በመከተል በተርታ የሚደረደሩ ቁጥሮች ማለት ሲሆን፣ ተርምር (series) ማለት ደግሞ የተተርታቢወች ድምር (sum of sequence) ወይም ባጭሩ የተርቲብ ድምር ማለት ነው።

የተርቲብ (sequence) ተተርታቢወች የተርቲቡ ቂራጎች (terms) ወይም ዐባሎች (members, elements) ይባላሉ።  ቂራግ (term) የሚለው ቃል የተገኘው ቃል እና ሐረግ ከሚሉት ነው። 

ተርቲበኛወቹ ማለትም ቂራጎቾ (terms) ወይም አባሎቹ (members, elements) ወዳኢ (finite) ሲሆኑ፣ ተርቲቡ (sequence) ወዳኢ ተርቲብ (finite sequence)፣ ተርምሩ (series) ደግሞ ወዳኢ ተርምር (finite series) ይባላል።  ኢወዳኢ (infinite) ሲሆኑ ደግሞ ተርቲቡ (sequence) ኢወዳኢ ተርቲብ (infinite sequence)፣ ተርምሩ (series) ደግሞ  ኢወዳኢ ተርምር (infinite series) ይባላል።   

አሃሲናዊ ተርቲብ (Arithmetic Sequence) እና አሃሲናዊ ተርምር (Arithmetic Series)  

አሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetic sequence, arithmetical sequence) ማለት በተከታታይ ቂራጎች (consecutive terms) መካከል ያለው ልዩነት (difference)  ቋሚ (constant) የሆነ ተርቲብ (sequence) ማለት ነው።  በሌላ አባባል፣ አሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetical sequence) ማለት ቋሚ ድምር በመደመር ከቂራግ ወደ ቂራግ የሚቀጥል ተርቲብ ማለት ነው።  አሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetic sequence) አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቀው አሃሲናዊ ፍየሳ (arithmetic progression, arithmetical progression) በሚል ስያሜ ነው።   

በአሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetic sequence) ላይ በተከታታይ ቂራጎች (consecutive terms) መካከል ያለው ቋሚ ልዩነት (constant difference) የተርቲቡ የጋራ ልዩነት (common difference) ይባላል። 

አሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetic sequence) በተርቲቡ አንደኛ ቂራግ (first terms) ማለትም የመጀመርያ ቂራግ እና በተርቲቡ የጋራ ልዩነት (common difference) አንጻር እንደሚከተለው ይበየናል (defined)።

የአሃሲናዊ ተርቲብ (arithmetic sequence) ቂራጎችን (terms) ካንደኛው ቂራግ (first term) እስክ nኛው ቂራግ (nth term) በመደመር (add) የሚገኝ እሴት (value) የተርቲቡ nኛ አሃሲናዊ ተርምር (nth arithmetic series) ይባላል።

ቂሳሲናዊ ተርቲብ (Geometric Sequence) እና ቂሳሲናዊ ተርምር (Geometric Series)  

ቂሳሲናዊ ተርቲብ (geometric sequence, geometrical sequence) ማለት በተከታታይ ቂራጎች (consecutive terms) መካከል ያለው ርሻር (ratio) ቋሚ (constant) የሆነ ተርቲብ (sequence) ማለት ነው።  በሌላ አባባል፣ ቂሳሲናዊ ተርቲብ (geometrical sequence) ማለት በቋሚ እሴት(constant value) በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ከቂራግ ወደ ቂራግ የሚቀጥል ተርቲብ ማለት ነው።  ቂሳሲናዊ ተርቲብ (geometric sequence) አብዛኛውን ጊዜ የሚታወቀው ቂሳሲናዊ ፍየሳ (geometric progression) በሚል ስያሜ ነው።  

በቂሳሲናዊ ተርቲብ (geometric sequence) ላይ በተከታታይ ቂራጎች (consecutive terms) መካከል ያለው ቋሚ ርሻር (constant ratio)  የተርቲቡ የጋራ ርሻር (common ratio) ይባላል። 

የቂሳሲናዊ ተርቲብ (geometric sequence) ቂራጎችን (terms) ካንደኛው ቂራግ (first term) እስክ nኛው ቂራግ (nth term) በመደመር (add) የሚገኝ እሴት (value) የተርቲቡ nኛ ተርምር (nth geometric series) ይባላል።

ሽካፊ ኢወዳኢ ተርምር (Convergent Infinite Series)

ያባሎቹ (elements, members) ማለትም የቂራጎቹ (terms) ቁጥር ኢወዳኢ (infinite) የሆነ ተርቲብ (sequence) በልዩ ስም ኢወዳ ኢተርቲብ(infinite sequence) ይባላል።  በሌላ አባባል ኢወዳ ኢተርቲብ (infinite sequence) ማለት አባሎቹ ወይም ቂራጎቹ ማለቂያ የሌላቸው (ተቆጥረው የማያልቁ) ተርቲብ (sequence) ማለት ነው። 

የኢወዳኢ ተርቲብ (infinite sequence) ሁሉም አባሎች ጠቅላላ ድምር ኢወዳ ኢተርምር (infinite series) ይባላል።  በሌላ አባባል ኢወዳኢ ተርምር (infinite series) ማለት ቁጥራቸው ኢወዳኢ (infinite) የሆነውን የኢወዳ ኢተርቲብ አባሎች ሁሉንም በመደመር የሚገኝ እሴት ማለት ነው።

በማናቸውም ኢወዳኢ ተርቲብ (infinite sequence) ላይ ሁሉንም የተርቲቡን ዐባሎች ሳይሆን፣ እስከወተወሰነ ደረጃ ያሉትን የተርቲቡን ዐባሎች ብቻ በመደመር የሚገኝ እሴት የተርቲቡ ከፊል ድምር (partial sum) ይልቁንም ደግሞ ከፊል ተርምር (partial series) ይባላል። 

በማናቸውም ኢወዳ ኢተርምር (infinite series) ከፊል ተርምር (partial series) ላይ የከፊል ተርምሩ ቂራጎች (terms) ማለትም ተደማሪ አባሎች ቁጥር እየጨመረና እየጨመረ በመሄድ ወደ ኢወዳኢ (infinity) በተጠጋ ቁጥር (ማለትም n → ∞)፣

1. የከፊል ተርምሩ (partial series) እሴት (value) ወደ አንድ የተወሰነ ወዳኢ ቋሚ እሴት (finite constant value) S እየተጠጋና እየተጠጋ ከሄደ፣ ኢወዳኢ ተርምሩ (infinite series) ሸካፊ ተርምር (converging series) ነው ይባላል፣ ወዳኢ ቋሚ እሴት (finite constant value) የሆነው S ደግሞ የኢወዳኢ ተርምሩ ድምር (sum) ወይም እሴት (value) ነው ይባላል። 

የከፊል ተርምሩ (partial series) እሴት (value) ያለማቋረጥ እየጨመረና እየጨመረ በመሄድ ወደ ኢወዳኢ (infinity) እየተጠጋ ከሄደ ወይም ደግሞ ወደ አንድ ቋሚ እሴት ሳይሆን በተለያዩ እሴቶች መካከል ከተፈራረቀ (oscillates between different values) ኢወዳኢ ተርምሩ (infinite series) ድካት (limit) የሌለው ረጫፊ ተርምር (divergent series) ነው ይባላል።      

ኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (Infinite Geometric Series)

ቂራጎቹ (terms) ማለትም ተደማሪ ዐባሎቹ (members, elements) ማለቂያ የሌላቸው ኢወዳኢ (infinite) የሆኑ የቂሳሲናዊ ተርምር (geometric series) ኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (infinite geometric series) ይባላል። 

የኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (infinite geometric series) የጋራ ርሻር (common ratio = r) ፍጹም እሴት (absolute value) ከቶኮ (one = 1) ያነሰ ከሆነ (ማለትም |r| ≤ 1 ከሆነ)፣ ተርምሩ ሸካፊ ተርምር (convergent series) ይሆናል። እሴቱ ደግሞ በተርምሩ የመጀመርያ ቂራግ (first term = a₁) እና በተርምሩ የጋራ ርሻር (r) አንጻር a₁/(1-r) በሚል ቀላል ቀመር (formula) /ይሰጣል\። 

ለምሳሌ ያህል የጋራ ርሻሩ (common ratio ) r = 1/2 የሆነ ኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (infinite geometric series) ድምሩ (sum) ማለትም ሁሉንም ቂራጎቹን በመደመር የሚገኘው እሴት እቅጩን (exactly) ቶኮ (one = 1) ነው። 

የዚህ ኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (infinite geometric series) ጠቅላላ ድምር (sum) እቅጩን (precisely) 1 መሆኑን በሚከተለው ሱርፊክ (figure) መረዳት ይቻላል። 

1. ስፋቱ (area) እቅጩን (precisely) ቶኮ (one = 1) ከሆነ ካልቶና (square) ጀምር።
2. ካልቶናውን ለሁለት እኩሎች ክፈለው።  ያንዱ ክፍል ስፋት ½ ይሆናል።
3. ሌላኛውን እኩሌታ ለሁለት እኩል ክፍሎች ክፈለው።  ያንዱ ክፍል ስፋት ¼ ይሆናል።

ይህን ክንውን (process) እስከ ኢወዳኢ (infinitely) ብትቀጥለው ክፍልፋዮቹ በስተመጨረሻ (eventually) ካልቶናውን ሙሉ በሙሉ ይሸፍኑታል፣ ይህም የኢወዳኢ ትርምሩ ጠቅላላ ድምር እቅጩን ቶኮ (precisely one) መሆኑን ያሳያል።

ሌሎች ምሳሌወች

ሐውዚካ ተርምር (Harmonic Series)

ሐዋዝ ማለትም መስማማት፣ ማማር ከሚለው የግእዝ ቃል ሐውዚካ፣ ሐውዚካዊ (harmonic)፣ ሐውዛክ (harmony)፣ ሐውዚካም (harmonious) የሚሉትን ቃሎች እናገኛለን። ግሱም ሲረባ ሐወዘከ (harmonize)፣ ሕውዝክ (ሕውዙክ) (harmonized)፣ ሐውዛኪ [harmonizing]፣ ሕውዘካ(harmonization)፣ ሕውዝከት፣ ሕውዛኬ፣ ሕውዛኮሽ እያለ ይሄዳል። 

harmony =  ሐውዛክ
harmonize = ሐወዘከ
harmonic  = ሐውዚክ፣ ሐውዚካ፣ ሐውዚካዊ
harmonic function = ሐውዚካ ቀዘድ
harmonic motion = ሐውዚካ ሑሰት
simple harmonic motion  (SHM) = ሰታብ ሐውዚካ ሑሰት (ሰሐሑ)
harmonic progression = ሐውዚካ ፍየሳ
harmonic sequence = ሐውዚካ ተርቲብ
harmonic series = ሐውዚካ ተርምር
harmonica =   ሐውዚካ

ነሻን (fraction)፣ ፎክመን (nominator)፣ ደርመን (denominator) ስለሚሉት ቃሎች አሃሲን እና ሆስሌት (arithmetic & algebra) በሚለው ጦማር ላይ በሰፊው ተመልከተናል።  ቶካድ ነሻን (unit fraction) ማለት ፎክመኑ (nominator) ቶኮ (one = 1) ደርመኑ (denominator) ደግሞ ወንታ ጉተማ (positive integer) የሆነ ነሻን (fraction) ማለት ነው። 

ከ n = 1 እስከ n = ∞  ያሉት ያሉት ቁጥራቸው ኢወዳኢ (infinite) የሆነ ቶካድ ነሻኖች (unit fractions) ተርቲብ (sequence) ሐውዚካ ተርቲብ (harmonic sequence) ወይም ሐውዚካ ፍየሳ (harmonic progression) ይባላል።  የሐውዚካ ተርቲብ (harmonic sequence) ቂራጎችን (terms) በመደመር የሚገኝ እሴት ደግሞ ሐውዚካ ተርምር (arithmetic series) ይባላል።   

የሐውዚካ ተርቲብ (harmonic sequence) ቂራጎች (terms) ወይም ዐባሎች (member) ደረጃቸው ወይም ተራ ቁጥራቸው እየጨመረ ሲሄድ (ማለትም n እየጨመረ ሲሄድ) እሴታቸው (ማለትም 1/n )  ወደ ዳዶ (zero) እየተጠጋ ይሄዳል።  

በሌላ በኩል ግን ያባሎቹ ጠቅላላ ድምር ማለትም የሐውዚካ ተርምር (harmonic sequence) እሴት (value) ወደ ኢወዳኢ (infinity) እየተጠጋ ይሄዳል፣ ምንም እንኳን ወደ ኢወዳኢነት (infinity) የሚጠጋው በከፍተኛ ዝግታ ቢሆንም።

ስለዚህም ሐውዚካ ተርምር (harmonic sequence) ወዳኢ ቋሚ እሴት (constant finite value) ያለው ሸካፊ ተርምር (converging sequence) ሳይሆን፣ እሴቱ ወደ ኢወዳኢ (infinity) እየተጠጋ የሚሄድ ረጫፊ ተርምር (diverging sequence) ነው ማለት ነው። 

ሐውዚካ ተርምር (harmonic series) እሴቱ ኢወዳኢ (infinite) የሆነ ረጫፊ ተርምር (diverging series) መሆኑን ከሚከተለው ሱርፊክ (figure) መረዳት ይቻላል። በቀዘድ (funciton) y = 1/x ድቻፍ (graph) ሥር ያለው ስፋት (area) ማለትም የቀዘዱ አልደንባዊ ምሳግ (improper integral) እሴቱ ኢወዳኢ (infinite) ነው።  የሐውዚካ ተርምርን (harmonic series) የሚወክሉት ሩንጌራቦች (rectangles) ደግሞ ጠቅላላ ስፋታቸው በቀዘዱ ድቻፍ ሥር ካለው ስፋት የበለጠ ነው።  ስለዚህም የነዚህ ሩንጌራቦች ጠቅላላ ስፋት ኢወዳኢ (infinite) መሆን አለበት ማለት ነው።

ሐውዚካ ተርምር (Harmonic Series) እና ቋሚ ሞገዶች (Standing Waves)

ሞገድ (wave) ከሚለው ቃል ሞገደ (to wave)፣ ሙግድ (waved)፣ ሞጋዲ (ሞጋጅ) [waving]፣ ሙገዳ (waving)፣ ሙግደት፣ ሙጋዴ፣ ሙጋዶሽ እያለ የሚሄደውን ግስ እናገኛለን።  ሞገደ (to wave) ማለት ሞገድ ሆነ ወይም አደረገ ማለት ሲሆን፣ ሙግድ (waved) ማለት ደግሞ የተሞገደ ማለት ነው።  ሞገድመልክ (waveform) ማለት ደግሞ በተወሰነ ቅጽበት (instant) ላይ የሞገድ የሚኖረውን መልክ ወይም ቅርጽ የሚያሳይ ኩርባ መስመር(curved line) ማለት ነው።

ሞገድ (wave) እና ርዝመት ከሚሉት ቃሎች ሞገድርዝመት (wavelength) ወይም ባጭሩ ሞግርመት (wavelength) የሚለውን ቃል እናገኛለን።  አዘወተረ (ማለትም ተመላለሰ) ከሚለው ቃል ደግሞ ዝውተራ (frequency) የሚለውን ቃል እናገኛለን። 

ባማረኛ መነቀ ማለት ወዘወዘ፣ ነቀነቀ ማለት ነው፣ ምንቅ፣ምንቅ አለች እንዲሉ፣ ተውረገረገች ሊሉ።  መናቃ ወይም ምንቄያም ማለት ደግሞ ወረግራጋ፣ ውርግርግ ማለት ነው።  ለማንኛውም መነቀ የሚለው ቃል oscillate የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ መነቀ (oscillate)፣ ምንቅ (ምኑቅ) [oscillated]፣ መናቂ (oscillator)፣ ምነቃ (oscillating, oscillation)፣ ምንቀት፣ ምናቄ፣ ምናቆሽ እያለ ይሄዳል። ከዚህም ምነቃዊ ሑስት (oscillatory motion)፣ ሐውዚካ መናቂ (harmonic oscillator)፣ መናቂ ተርምር (oscillating series) የመሳሰሉትን ቃሎች እናገኛለን።  

ፈደሸ (interfere) ማለት ጣልቃ ገባ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ፋደሸ (በሰው ጉዳይ ጣልቃ ገባ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። ግሱም ሲረባ ፈደሸ (interfere)፣ ፍድሽ (ፍዱሽ) [interfered]፣ ፈዳሽ (interfering)፣ ፍደሻ (interfering, interference)፣ ፍድሸት እያለ ይሄዳል። 

ደበደ (fix) ማለት እንዳይንቀሳቀስ አደረገ፣ ባለበት አቆመ ማለት ሲሆን፣ ቃሉ የተገኘው ዳቤዳ (ማለትም መቆም) ከሚለው የኦሮምኛ ቃል ነው።  ባማረኛም አደበ ማለት ረጋ፣ ሥርዓት ያዘ ማለት ነው፣ አደብ ግዛ እንዲሉ።  የደበደ ግስ ሲረባ ደበደ (fix)፣ ድብድ (ድቡድ) [fixed]፣ ደባዲ (ደባጅ) [fixer]፣ ድበዳ (fixing, fixation)፣ ድብደት፣ ድባዴ፣ ድባዶሽ እያለ ይሄዳል።  ድብድ (fixed) ማለት የተደበደ ማለትም እንዳይንቀሳቀስ የተደረገ ማለት ነው፣ ድብድ ኮኮብ (fixed star) እንዲሉ፣ ካለበት የማይንቀሳቀስ ኮኮብ ሊሉ።  

wave = ሞገድ   
wave (verb) = ሞገደ
wavelength = ሞገድ ርዝመት፣ ሞግርመት
frequency = ዝውተራ
oscillate = መነቀ
oscillation = ምነቃ
oscillator = መናቂ
harmonic oscillator = ሐውዚካ መናቂ
interfere = ፈደሸ
interference = ፍደሻ፣ ፍድሸት
constructive interference = ገንቢ ፍደሻ
destructive interference = አፍራሽ ፍደሻ
interferometer = ፍደሻ ለኪ
fix =ደበደ
fixed = ድብድ፣ ድቡድfixed end = ድብድ ጫፍ

ቋሚ ሞገድ (standing wave) ማለት ሳይጓዝ (not moving) ማለትም ቅምጠቱን (position) ሳይቀይር በቆመበት የሚሞግድ (waving) ማለትም የሚመንቅ (oscillate) ወይም የሚርገበገብ (vibrate) ሞገድ (wave) ማለት ነው።  ቋሚ ሞገድ (standing wave) የሚፈጠረው ደግሞ በተቃራኒ አቅጣጫወች (opposite directions) የሚጓዙ ሁለት ያውቴ ሞገዶች (identical waves) ማለት በሁሉም መልክ አንድ ዓይነት የሆኑ ሞገዶች (waves) ሲፋደሹ (interfere) ማለትም ርስበርስ ጣልቃ ሲገባቡ ነው።    

1. ሁለቱ ጫፎቹ ድብድ (fixed) በሆኑ፣ ማለትም እንዳይንቀሳቀሱ ሁነው በተቋጠሩ ሲባጎ (string) ላይ ሊፈጠር የሚችለው ቋሚ ሞገድ (standing wave) ሊኖረው የሚችለው ገብዲስ ሞግርመት (maximum wavelength)፣ ማለትም ከሁሉም የበለጠ ሞግርመት (wavelength) የገመዱን ርዝመት ሁለት እጠፍ ነው።  ይህም ሞግርመት በልዩ ስም መሠረት (fundamental) ወይም አንደኛ ሐውዚክ (first harmonic) ይባላል።  
2. በርዝመቱ አንጻር በሁለተኛ ደረጃ የሚገኘው ሞግርመት (wavelength) ርዝመቱ ያንደኛ ሐውዚክን አንድ ሁለተኛ (ማለትም ግማሽ) ሲሆን፣ እሱም ሁለተኛ ሐውዚክ (second harmonic) ወይም አንደኛ ላዕልቃና (first overtone) ይባላል። 
3. በርዝመቱ አንጻር በሦስተኛ ደረጃ የሚገኘው ሞግርመት (wavelength) ርዝመቱ ያንደኛ ሐውዚክን አንድ ሦስተኛ (ማለትም ሲሦ) ሲሆን፣ እሱም ሦስተኛ ሐውዚክ (third harmonic) ወይም ሁለተኛ ላዕልቃና (second overtone) ይባላል። 
4. በርዝመቱ አንጻር ባራተኛ ደረጃ የሚገኘው ሞግርመት (wavelength) ርዝመቱ ያንደኛ ሐውዚክን አንድ አራተኛ (ማለትም ሩብ) ሲሆን፣ እሱም አራተኛ ሐውዚክ (fourth harmonic) ወይም ሦስተኛ ላዕልቃና (third overtone) ይባላል።  ወዘተ.

ፒተርምር (p-series)

ፒተርምር (p-series) ማለት በሚከተለው መንገድ የሚበየን (defined) ኢወዳኢ ተርምር (infinite series) ነው። 

በፒተርምር (p-series) ላይ የ p እሴት ቶኮ (one = 1) ሲሆን (ማለትም  p=1  ሲሆን)፣ ተርምሩ ሐውዚካ ተርምር (harmonic series) ይሆናል።  በሌላ አባባል ሐውዚካ ተርምር (harmonic series) ማለት p = 1 የሚሆንበት የፒተርምር (p-series) ልዩ ረገድ (special case) ነው ማለት ነው። 

ሪማን ዜታ ቀዘድ (Riemann Zeta Function)

ሐውዚካ ተርምር (harmonic series) የፒተርምር (p-series) ልዩ ረገድ (special case) እንደሆነ ሁሉ፣ ፒተርምርም (p-series) በራሱ ሪማን ዜታ ቀዘድ (Riemann zeta function) የሚባል የሌላ ሰፊ ቀዘድ (function) ልዩ ረገድ (special case) ነው። ሪማን ዜታ ቀዘድ (Riemann zeta function) በሚከተለው መንገድ የሚበየን (defined) የወታብ ጠዋጢ (complex variable) ወታብ ቀዘድ (complex function) ነው። 

የሪማን ዜታ ቀዘድ (Riemann zeta function) የኦይለር ብዜር ቀመር (Euler’s product formula) በሚባል ልዩ ቀመር (formula) ከቶከኛ ቁጥሮች (prime numbers) ጋር የተጎዳኘ በመሆኑ፣ አብዛኛውን ጊዜ የሚያገለገለው እነዚህን ቁጥሮች ለመፈለግ ነው። 

ርቢ ተርምር (Power Series)

ርቢ ተርምር (power series) ማለት በሚከተለው ብያኔ (definition) የሚበየን (defined) ኢወዳኢ ተርምር (infinite series) ነው። 

1. የርቢ ተርምር (power series) ጉባኮች (exponents) ድፍን ቁጥሮች (whole numbers 0, 1, 2, 3, …) እንጅ ሉንታ (negative) ወይም ነሻን (fraction) ሊሆኑ አይችሉም። 
2. የርቢ ተርምር (power series) ጠዋጢ (variable) (ማለትም x) ወናብ ጠዋጢ (real variable) ወይም ወታብ ጠዋጢ (complex variable) ሊሆን ይችላል።
3. የርቢ ተርምር (power series) ቆኒካወች (coefficients) (ማለትም a₀, a₁, a₂, …)  እንዲሁም የርቢ ተርምር ማዕከል (center of power series) (ማለትም c) በጠዋጢ (variable) x ላይ የማይመይፉ (depend) ማለትም የማይመኩ ቋሚወች (constants) ናቸው።  እነዚህም ቆኒካወች (coefficients) ወናብ ቋሚወች (real constants) ወይም ወታብ ቋሚወች (complex constants) ማለትም ወናብ ቁጥሮች (real numbers) ወይም ወታብ ቁጥሮች (complex numbers) ሊሆኑ ይችላሉ።  
4. የርቢ ተርምር ማዕከል (center of power series) ዳዶ (zero) ሲሆን (ማለትም c = 0 ሲሆን)፣ ተርምሩ የሚከተለውን ሰታብ መልክ (simplified form) ማለትም ቀላል መልክ ይይዛል። 

ማናቸውንም ማዕከሉ (center) ዳዶ (zero) የሆነ ርቢ ተርምር (power series) በተመለከተ የተርምሩን መሸከፍ (convergence) ወይም አለመሸከፍ (non-convergence) ማለትም መረጨፍ (divergence) የሚወስን ወንታ ወናብ ቁጥር (real number) r አለ።  የጠዋጢ (variable) x ፍጹም እሴት (absolute value)  ከ r ያነሰ ከሆነ (ማለትም |x|  <  r  ከሆነ)፣ ርቢ ተርምሩ ይሸክፋል (converge)፣ የበለጠ ከሆነ (ማለትም |x|  >  r ከሆነ) ደግሞ ርቢ ተርምሩ ይረጨፋል (diverge)።  ወናብ ቁጥር (real number) r የርቢ ተርምሩ (power series) የሽከፋ አክዘንግ (radius of convergence) ይባላል።   

ለምሳሌ ያህል በቀደመው ክፍል ላይ የተመለከትነው ሸካፊ ኢወዳኢ ቂሳሲናዊ ተርምር (convergent infinite geometric series)

ሁሉም ቆኒካወቹ (all coefficients) እኩል (equal) የሆኑ፣ ማዕከሉ (center) ዳዶ (zero) የሆነ (ማለትም c = 0 የሆነ)፣ የሽከፋ አክዘንጉ (radius of convergence) ደግሞ ቶኮ (one ) የሆነ (ማለትም r = 1 የሆነ) ርቢ ተርምር (power series) ነው።

ማዕከሉ (center) c ለሆነ ርቢ ተርምር (power series) ደግሞ የሽከፋ አክዘንጉ (radius of convergence) በሚከተለው መንገድ ይበየናል።

ርቢ ተርምር (Power Series) እና ማቶሚያሎች (Polynomials)

ማናችውም ማቶሚያል (polynomial) የርቢ ተርምር (power series) ከፊል ድምር (partial sum) እንደሆነ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።  ይህም የሚደረገው ደግሞ ጉለሞቻቸው (degrees) ከማቶሚያሉ ጉለሞች (degrees) በላይ የሆኑት የርቢ ተርምር (power series) ቂራጎች (terms) ቆኒካወች (coefficients) ሁሉም ዳዶ (zero) እንደሆኑ አድርጎ በመውሰድ ነው።  ለምሳሌ ያህል ጉለሙ (degree) 2 የሆነው የሚከተለው ማቶሚያል (polynomial)

በማዕከል c = 0  ዙርያ እንደሚከተለው በርቢ ተርምር (power series) መልክ ሊጻፍ ይችላል። 

በማዕከል c = 1 ዙርያ ደግሞ እንደሚከተለው በርቢ ተርምር (power series) መልክ ሊጻፍ ይችላል።

ውለጣ (Differentiation) እና ውላጥ (Derivative)

በግእዝ ወለጠ ማለት ለወጠ ወይም ተካ ማለት ነው።  ይህም ቃል differentiate የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ወለጠ (differentiate)፣ ውልጥ (ውሉጥ) [differentiated]፣ ወላጢ (ወላጭ) [differentiating]፣ ውለጣ (differentiation)፣ /ውልጠት\፣ ውላጤ፣ ውላጦሽ እያለ ይሄዳል። ከዚህም የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን። 

differentiate = ወለጠ
differentiation = ውለጣ
differential = ውለጣ፣ ውለጣዊ
differential equation =  ውለጣ እኩልታ
differential calculus = ውለጣ ሰልቲስ
differential geometry = ውለጣ ቂሳሲን
differential operator = ውለጣ ሆጃሚ
differentiable (differentiability) = ተወላጭ፣ ተወላጭነት
derivative = ውላጥ
first derivative = አንደኛ ውላጥ
second derivative = ሁለተኛ ውላጥ
partial derivative = ከፊል ውላጥ

ስለ ውለጣ ሰልቲስ (differential calculus) ወደፊት በሌላ ጦማር ላይ በሰፊው እናወሳለን። ሰልቲስ (calculus) የሚለው ቃል የተገኘው ስሌት ከሚለው ቃል ነው። 

ርበባ (Expansion)

በግእዝ ርበበ ማለት በለጠ፣ ተለቀ፣ አደገ ማለት ነው።  ይህም ቃል expand የሚለውን የንግሊዘኛ ቃል ይተካልናል።  ግሱም ሲረባ ረበበ (expand)፣ ርብብ (ርቡብ) [expanded]፣ ረባቢ (expanding)፣ ርባባ (expansion)፣ ርብበት፣ ርባቤ፣ ርባቦሽ እያለ ይሄዳል። ከዚህም የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን። 

expand = ረበበ
expansion = ርበባ
expansion coefficient = ርበባ ቆኒካ
thermal expansion = ገለታዊ ርበባ
adiabatic expansion = ያውግለታዊ ርበባ
binomial expansion = ክሌሚያል ርበባ
Taylor expansion = ቴለር ርበባ

ቴለር ተርምር (Taylor Series)

ቴለር ተርምር (Taylor series) በእንግሊዛዊው ሒሳብሲነኛ (mathematician) ብሩክቴለር (Brook Taylor) ስም የተሰየመ ርቢ ተርምር (power series) ሲሆን፣ አብዛኛውን የሚታወቀው ቴለር ርበባ (Taylor expansion) በመባል ነው።  

በቴለር ግንገና (Taylor’s theorem) መሠረት ነጥብ  x = a ላይ ኢወዳዊ ተወላጢነት (infinite differentiability) ያለው ማናቸውም ቀዘድ (function)፣  እዚህ ነጥብ ላይ ባሉት ውላጦች (derivatives) አንጻር በሚከተለው ርቢ ተርምር (power series) ሊሰጥ ይችላል። 

በቴለር ተርምር (Taylor series) ላይ  f’ (a), f’’ (a), f’’’ (a) ማለት f(x) ነጠብ  x = a ላይ ያለው አንደኛ ውላጥ (first derivative)፣ ሁለተኛ ውላጥ (second derivative) ሶስተኛ ውላጥ (third derivative) ወዘተ. ማለት ነው።

እንዲሁም በቴለር ተርምር(Taylor series) ላይ n! ማለት n ነታኔት(n factorial) ማለት ሲሆን፣ የሚገኘውም ከቶኮ (one = 1) ጀምሮ እስከ n ድረስ የሚገኙትን ጉተማወች (integers) በመበዘር (multiply) ማለትም በማባዛት ነው።  ነታኔት (factorial) የሚለው ቃል የተገኘው ነታን (factor) ከሚለው ቃል ነው።  

በቴለር ተርምር (Taylor series) ላይ a = 0 ከሆነ፣ ተርምሩ በስኮታዊው (Scottish) ሐሳብሲነኛ (mathematician) ኮሊን ማክሎሪን (Colin Maclaurin) ስም ማክሎሪን ተርምር (Maclaurin series) ይባላል።

የተወሳኑ ቀዘዶች (functions) ማክሎሪን ተርምሮች (Maclaurin series) በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተዘርዝረዋል። 

ቀዘድ (function) f (x) = e^x ናርቲ ጉባካዊ ቀዘድ (natural exponential function) ወይም በቀላሉ ናርቲ ጉባይን ቀዘድ (natural exponential function) ወይም አብዛኛውን ጊዜ ባጭሩ ጉባይን ቀዘድ (exponential function) ይባላል።  ጉባይን (exponential) የሚለው ቃል የተገኘው ጉባክ (exponent) ከሚለው ቃል በመነሳትና ሳይን (sine)፣ ኮሳይን (cosine) የሚሉትን ቃሎች አካሄድ በመከተል ነው።  ከዚህም የሚከተሉትን የመሳሰሉ ቃሎች እናገኛለን። 

exponential = ጉባካዊ፣ ጉባይን
exponential function = ጉባይን ቀዘድ
natural exponential function = ናርቲ ጉባይን ቀዘድ ወይም ባጭሩ ጉባይን ቀዘድ
exponential decay = ጉባይን ብስከት
exponential growth =  ጉባይን እድገት

ብስከት (decay) የሚለው ቃል የተገኘው በሰከ (ቆረጠ፣ በጠሰ፣ በተከ) ከሚለው ያማረኛ ቃል ነው። 

ቴለር ቅርበዛ (Taylor Approximation)

ማናቸውም ተወላጢ ቀዘድ (differentiable function) በ x = a ዙርያ ካለው ቴለር ተርምር (Taylor series) ውስጥ ጥቂቶቹን ቂራጎች (few terms) በመጠቀም ብቻ ቀዘዱ (function) በ x = a ዙርያ ያለውን ጠባይ በቅርበዛ (approximately) የሚገለጽ ማቶሚያል (polynomial) ማግኘት ይቻላል።  ይህም የቅርበዛ ዘዴ (approximation method) ቴለር ቅርበዛ (Taylor approximation) ይባላል።

በቴለር ተርምር (Taylor series) ላይ ቋሚውን ቂራግ (constant term) እና አንደኛ ውላጥን (first derivative) የሚያካትተውን ቂራግ (term) በመጠቀም ብቻ የሚገለጽ ቅርበዛ (approximation) አንደኛ ደረጃ ቴለር ቅርበዛ (first-order Taylor approximation) ወይም ሃድቶና ቅርበዛ ወይም ቀጀላ ቅርበዛ (linear approximation) ይባላል።

በሌላ በኩል ደግሞ ቋሚውን ቂራግ (constant term)፣ አንደኛ ውላጥን (first derivative) የሚያካትተውን ቂራግ (term) እና ሁለተኛ ውላጥን (second derivative) የሚያካትተውን ቂራግ (term) በመጠቀም የሚገለጽ ቅርበዛ (approximation) ሁለተኛ ደረጃ ቴለር ቅርበዛ (second-order Taylor approximation) ወይም ካልቶና ቅርበዛ  (quadratic approximation) ይባላል።

ለምሳሌ ያህል ጉባይን ቀዘድ (exponential function) f(x) = e^x  በ  x = 0 ዙርያ ያሉት አንደኛ ደረጃ ቴለር ቅርበዛ (first-order Taylor approximation) እና ሁለተኛ ደረጃ ቴለር ቅርበዛ (second-order Taylor approximation) በሚከተለው ሱርፊክ (figure) ላይ ተመልክተዋል። 

የቴለር ቅርበዛ (Taylor approximation) ደረጃ (order) ከፍ እያለ በሄደ ቁጥር ቅርበዛው (approximation) ፐጡሩ (better) እየሆነ፣ ማለትም ለትክክለኛው እሴት ፐቅርብ (closer) እየሆነ ይሄዳል። 

ክሌሚያል ገንጊሳ (Binomial Theorem)

ክሌሚያል ገንጊሳ (binomial theorem) ማለት የክሌሚያል ርቢ (power of polynomial) የሚገኝበትን መንገድ የሚሰጥ የርበባ ቀመር (expansion formula) ማለት ነው። 

የክሌሚያል ገንጊሳ (binomial theorem) ቆኒካወች (coefficients) ክሌሚያል ቆኒካወች (binomial coefficients) ይባላሉ።  እነዚህም ቆኒካወች ሲነሰቁ (arrayed) ማለትም በኒሳቅ (array) መልክ ሲደረደሩ ፓስካል ስሌጎን (Pascal triangle) የሚባለውን የቁጥሮች ስሌጎን ይሠራሉ።  ይህም ኒሳቅ (array) ስሌጎን (triangle) በሚሠሩ በሁለት ረድፎች (rows) በተረደፉ ሦስት ቶኮወች (three ones) ይጀመርና ቁጥሮችን በቀጥታ ከበላያቸው የሚገኙ ቁጥሮች ድምር እያደረጉ ረድፎችን በመጨመር ይቀጥላል። 

ኒሳቅ (array) የሚለው ቃል የተገኘው ነሰቀ (ሰደረ፣ ደረደረ፣ ገጣጠመ) ከሚለው የግእዝ ቃል ነው።  ግሱም ሲረባ ነሰቀ (array)፣ ንስቅ (ንሱቅ) [arrayed]፣ ነሳቂ (arraying)፣ ንሰቃ (arraying)፣ ንስቀት፣ ንሳቄ፣ ንሳቆሽ እያለ ይቀጥላል።

ክሌሚያል ተርምር (Binomial Series)

ክሌሚያል ገንጊሳ (binomial theorem) የሚያገለግለው የርቢው (power) ጉባክ (exponent) ወንታ ጉተማ (positive integer) ሲሆን (ማለትም n = 1, 2,  3, …  ሲሆን) ብቻ ነው።  በክሌሚያል ተርምር (binomial series) ላይ ግን የርቢው ጉባክ (exponent) ማናቸውንም ወንታ ቁጥር (real number) ወይም ወናብ ቁጥር (complex number) ሊሆን ይችላል።  ስለዚህም ክሌሚያል ተርምር (binomial series) የክሌሚያል ገንጊሳ (binomial theorem) ጥቅለዛ (generalization) እንደሆነ ተደርጎ ሊታይ ወይም ሊወሰድ ይችላል ማለት ነው። 

ክሌሚያል ተርምር (binomial series) ልዩ ዓይነት ርቢ ተርምር (power series) ነው።  እንደ ርቢ ተርምር (power series) ሲታይ፣ ክሌሚያል ተርምር (binomial series) ማለት የሽከፋ አክዘንጉ (radius of convergence) ቶኮ (one = 1) የሆነ የቀዘድ (function) f(x) = (1 + x)^α ማክሎሪን ተርምር (Maclaurin series) ማለት ነው። 

ክሌሚያል ቅርበዛ (Binomial Approximation)

በክሌሚያል ተርምር (binomial series) ላይ የ |x| እሴት ከቶኮ (one = 1) በጣም ያነሰ በሚሆንበት ጊዜ (ማለትም |x| ≪ 1 ሲሆን)፣ የመጀመርያወቹን ጥቂት ቂራጎች (first few terms) በመጠቀም ብቻ የተርምሩን እሴት በጥሩ ቅርበዛ (good approximation) ማግኘት ይቻላል።  ይህም ቅርበዛ ክሌሚያል ቅርበዛ (binomial approximation) ይባላል። 

መስፍን አረጋ
mesfinamharic.com
mesfin.arega@gmail.com